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doc 单元质量测试(一)   时间:120分钟   满分:150分 第Ⅰ卷 (选择题,共60分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.全集U={1,2,3,4,5,6},M={2,3,4},N={4,5},则∁U(M∪N)=(  ) A.{1,3,5} B.{2,4,6} C.{1,5} D.{1,6} 答案 D 解析 ∵M={2,3,4},N={4,5},∴M∪N={2,3,4,5},则∁U(M∪N)={1,6}.故选D. 2.(2018·合肥质检二)命题p:∀a≥0,关于x的方程x2+ax+1=0有实数解,则綈p为(  ) A.∃a<0,关于x的方程x2+ax+1=0有实数解 B.∃a<0,关于x的方程x2+ax+1=0没有实数解 C.∃a≥0,关于x的方程x2+ax+1=0没有实数解 D.∃a≥0,关于x的方程x2+ax+1=0有实数解 答案 C 解析 由全称命题的否定为特称命题知,綈p为∃a≥0,关于x的方程x2+ax+1=0没有实数解,故选C. 3.(2019·安徽百所重点高中模拟)已知集合A={1,2,4},B={x|x2∈A},则集合A∩B的子集的个数为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 D 解析 由题意知B={±1,±,±2},则A∩B={1,2},故A∩B的子集的个数为4.故选D. 4.(2018·湖南六校联考)下列有关命题的说法正确的是(  ) A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1” B.命题“若xy=0,则x=0”的逆否命题为真 C.命题“∃x0∈R,使得x+x0+1<0”的否定是“∀x∈R,均有x2+x+1≥0” D.“m=1”是“直线x-my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件 答案 C 解析 命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2≠1,则x≠1”,故选项A不正确;命题“若xy=0,则x=0”为假命题,从而其逆否命题为假命题,故选项B不正确;由特称命题的否定为全称命题可知选项C正确;“直线x-my=0和直线x+my=0互相垂直”等价于m=±1,从而选项D不正确.综上,故选C. 5.(2018·河南洛阳二模)设全集U=R,集合A={x|log2x≤1},B={x|x2+x-2≥0},则A∩∁UB=(  ) A.(0,1] B.(-2,2) C.(0,1) D.[-2,2] 答案 C 解析 不等式log2x≤1即log2x≤log22,由y=log2x在(0,+∞)上单调递增,得不等式的解集为(0,2],即A=(0,2].由x2+x-2≥0,得(x+2)(x-1)≥0,得B={x|x≤-2或x≥1},所以∁UB=(-2,1),从而A∩∁UB=(0,1).故选C. 6.已知命题p:有的四边形是平行四边形,则(  ) A.綈p:有的四边形不是平行四边形 B.綈p:有的四边形是非平行四边形 C.綈p:所有的四边形都是平行四边形 D.綈p:所有的四边形都不是平行四边形 答案 D 解析 命题p:有的四边形是平行四边形,其中“有的”是存在量词,所以对它的否定,应该改存在量词为全称量词“所有”,然后对结论进行否定,故有綈p:所有的四边形都不是平行四边形.故选D. 7.(2019·唐山模拟)设集合A={x∈Z|y=log2(9-x2)},B={x|x∈N},则A∩B中元素的个数为(  ) A.5 B.4 C.3 D.2 答案 C 解析 因为集合A={x∈Z|y=log2(9-x2)},所以A={x∈Z|9-x2>0}={-2,-1,0,1,2}.又B={x|x∈N},所以A∩B={0,1,2},所以A∩B中的元素的个数为3.故选C. 8.给出以下四个命题:①若2≤x<3,则(x-2)(x-3)≤0;②已知x,y∈R,若x=y=0,则x2+y2=0;③若x2-3x+2=0,则x=1或x=2;④若x,y都是偶数或x,y都是奇数,则x+y是偶数.则下列判断正确的是(  ) A.①的否命题为真 B.②的逆命题为假 C.③的否命题为真 D.④的逆否命题为假 答案 C 解析 因为①的否命题“若x<2或x≥3,则(x-2)(x-3)>0”不成立,所以选项A错误;因为②的逆命题“已知x,y∈R,若x2+y2=0,则x=y=0”成立,所以选项B错误;因为③的否命题“若x2-3x+2≠0,则x≠1且x≠2”成立,所以选项C正确;因为④的原命题为真,所以它的逆否命题“若x+y不是偶数,则x,y不都是偶数且x,y不都是奇数”必为真,故选项D错误.综上,应选C. 9.(2018·湖南八市联考)已知数列{an}是等差数列,m,p,q为正整数,则“p+q=2m”是“ap+aq=2am”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 在等差数列中,对于正整数m,p,q,若p+q=2m,则ap+aq=2am;但对于公差为0的等差数列,由ap+aq=2am,不一定能推出p+q=2m,所以“p+q=2m”是“ap+aq=2am”的充分不必要条件,故选A. 10.(2018·湖南衡阳联考二)下列说法错误的是(  ) A.“若x≠2,则x2-5x+6≠0”的逆否命题是“若x2-5x+6=0,则x=2” B.“x>3”是“x2-5x+6>0”的充分不必要条件 C.“∀x∈R,x2-5x+6≠0”的否定是“∃x0∈R,x-5x0+6=0” D.命题“在锐角△ABC中,sinA<cosB”为真命题 答案 D 解析 由逆否命题的定义知A正确;由x2-5x+6>0得x>3或x<2,所以“x>3”是“x2-5x+6>0”的充分不必要条件,故B正确;因为全称命题的否定是特称命题,所以C正确;锐角△ABC中,由A+B>,得sinA>sin-B=cosB,所以D错误,故选D. 11.(2018·湖北武汉4月调研)在△ABC中,角A,B,C的对应边分别为a,b,c,条件p:a≤,条件q:A≤,那么条件p是条件q成立的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 一方面由条件p:a≤得cosA=≥=≥=(当且仅当b=c=a时取等号),又0<A<π,所以0<A≤(当且仅当b=c=a时取等号).另一方面由q:A≤=可知0<A≤,从而“p⇒q”成立.令A=,B=,C=,b=t,可得a=t,c=2t,显然a=t>=,所以“q⇒p”不成立.综上,故选A. 12.(2018·广东汕头一模)已知命题p:关于x的方程x2+ax+1=0没有实根;命题q:∀x>0,2x-a>0.若“綈p”和“p∧q”都是假命题,则实数a的取值范围是(  ) A.(-∞,-2)∪(1,+∞) B.(-2,1] C.(1,2) D.(1,+∞) 答案 C 解析 方程x2+ax+1=0无实根等价于Δ=a2-4<0,即-2<a<2;∀x>0,2x-a>0等价于a<2x在(0,+∞)上恒成立,即a≤1. 因“綈p”是假命题,则p是真命题,又因“p∧q”是假命题,则q是假命题,∴得1<a<2,所以实数a的取值范围是(1,2),故选C. 第Ⅱ卷 (非选择题,共90分) 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知集合A={1,2,3},B∩A={3},B∪A={1,2,3,4,5},则集合B=________. 答案 {3,4,5} 解析 由题意知,3∈B,1∉B,2∉B,4∈B,5∈B,故B={3,4,5}. 14.(2018·衡水金卷A信息卷五)命题p:若x>0,则x>a;命题q:若m≤a-2,则m<sinx(x∈R)恒成立.若p的逆命题,q的逆否命题都是真命题,则实数a的取值范围是________. 答案 [0,1) 解析 命题p的逆命题是若x>a,则x>0,故a≥0.因为命题q的逆否命题为真命题,所以命题q为真命题,则a-2<-1,解得a<1.则实数a的取值范围是[0,1). 15.设函数f(x)=ax+bx-cx,其中c>a>0,c>b>0.记集合M={(a,b,c)|a,b,c不能构成一个三角形的三条边长,且a=b},则(a,b,c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为________. 答案 {x|0<x≤1} 解析 由题设知f(x)=0,a=b,则2ax=cx,即x=.又a+b≤c,a=b,∴≤,从而x≤x,x>0,∴≤x,解得0<x≤1.故所求取值集合为{x|0<x≤1}. 16.某校高三(1)班50个学生选择选修模块课程,他们在A,B,C三个模块中进行选择,且至少需要选择1个模块,具体模块选择的情况如下表: 模块 模块选择的学生人数 模块 模块选择的学生人数 A 28 A与B 11 B 26 A与C 12 C 26 B与C 13 则三个模块都选择的学生人数是________. 答案 6 解析 设三个模块都选择的学生人数为x,则各部分的人数如图所示,则有(1+x)+(5+x)+(2+x)+(12-x)+(13-x)+(11-x)+x=50,解得x=6. 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知集合A={x|2-a≤x≤2+a},B={x|x2-5x+4≥0}. (1)当a=3时,求A∩B,A∪(∁UB); (2)若A∩B=∅,求实数a的取值范围. 解 (1)当a=3时,A={x|-1≤x≤5}, B={x|x2-5x+4≥0}={x|x≤1或x≥4}, ∁UB={x|1<x<4}, ∴A∩B={x|-1≤x≤1或4≤x≤5}, A∪(∁UB)={x|-1≤x≤5}. (2)当a<0时,A=∅,显然A∩B=∅. 当a≥0时,A≠∅,A={x|2-a≤x≤2+a}, B={x|x2-5x+4≥0}={x|x≤1或x≥4}. 由A∩B=∅,得解得0≤a<1. 故实数a的取值范围是(-∞,1). 18.(2018·广东茂名五大联盟9月联考)(本小题满分12分)已知非空集合A={x|2a-3<x<3a+1},集合B={x|-5<x<4}. (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数a的取值范围; (2)是否存在实数a,使“x∈A”是“x∈B”的充要条件?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由. 解 (1)因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件, 所以A⊆B,又A≠∅, 则解得-1≤a≤1.所以a∈[-1,1]. (2)若存在实数a,使“x∈A”是“x∈B”的充要条件,即A=B,则必有 即则方程组无解.故不存在实数a,使“x∈A”是“x∈B”的充要条件. 19.(本小题满分12分)已知全集U={1,3,4,8,9},集合A={x|x2+2mx+9=0},求∁UA. 解 由题意,当A=∅时,方程x2+2mx+9=0无实数根,此时Δ=(2m)2-36<0,-3<m<3, 此时∁UA=∁U∅=U={1,3,4,8,9}. 当A≠∅时,方程x2+2mx+9=0的实数根x1,x2必须在U内,由于x1x2=9,所以只可能是以下几种情形: ①当x1=x2=3时,2m=-6,m=-3, 此时A={3},∁UA={1,4,8,9}; ②当x1=1,x2=9或x1=9,x2=1时,2m=-10,m=-5, 此时A={1,9},∁UA={3,4,8}. 综上所述,当-3<m<3时,∁UA={1,3,4,8,9}; 当m=-3时,∁UA={1,4,8,9}; 当m=-5时,∁UA={3,4,8}. 20.(本小题满分12分)已知m∈R,设p:∀x∈[-1,1],x2-2x-4m2+8m-2≥0;q:∃x0∈[1,2],log(x-mx0+1)<-1.如果“p∨q”为真,“p∧q”为假,求实数m的取值范围. 解 若p为真,则∀x∈[-1,1],4m2-8m≤x2-2x-2恒成立. 设f(x)=x2-2x-2=(x-1)2-3, 则f(x)在[-1,1]上的最小值为-3, 所以4m2-8m≤-3,解得≤m≤, 所以p为真时,≤m≤. 若q为真,则∃x0∈[1,2],x-mx0+1>2, 所以m<. 设g(x)==x-, 易知g(x)在[1,2]上是增函数,所以g(x)的最大值为g(2)=,所以m<, 所以q为真时,m<. 因为“p∨q”为真,“p∧q”为假,所以p与q一真一假. 当p真q假时,所以m=; 当p假q真时,所以m<. 综上所述,实数m的取值范围是mm<或m=. 21.(2018·安徽滁州联合质量检测)(本小题满分12分)已知p:∃x∈(0,+∞),x2-2eln x≤m,q:函数y=x2-2mx+1有两个零点. (1)若p∨q为假命题,求实数m的取值范围; (2)若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数m的取值范围. 解 若p为真,设f(x)=x2-2eln x,则 f′(x)=2x-=,令f′(x)=0,解得x=,则函数f(x)=x2-2eln x在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增, 故f(x)min=f()=0,故m≥0. 若q为真,则Δ=4m2-4>0,即m>1或m<-1. (1)若p∨q为假命题,则p,q均为假命题,实数m的取值范围为[-1,0). (2)若p∨q为真命题,p∧q为假命题,则p,q一真一假. 若p真q假,则实数m满足即0≤m≤1; 若p假q真,则实数m满足 即m<-1. 所以实数m的取值范围为(-∞,-1)∪[0,1]. 22.(本小题满分12分)已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:在定义域D内存在x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立. (1)函数f(x)=是否属于集合M?说明理由; (2)若函数f(x)=kx+b属于集合M,求实数k和b的取值范围; (3)设函数f(x)=lg 属于集合M,求实数a的取值范围. 解 (1)假设f(x)=属于集合M. 若f(x)=,根据题意得D=(-∞,0)∪(0,+∞), 则存在非零实数x0,使得=+1, 即x+x0+1=0,因为Δ<0

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