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doc 考点测试50 两条直线的位置关系与距离公式 高考概览 考纲研读 1.能根据两直线方程判断这两条直线平行或垂直 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离 一、基础小题 1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是(  ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 答案 A 解析 设直线方程为x-2y+c=0(c≠-2),又该直线经过点(1,0),故c=-1,所求直线方程为x-2y-1=0.故选A. 2.若点P(a,b)与Q(b-1,a+1)关于直线l对称,则直线l的倾斜角α为(  ) A.135° B.45° C.30° D.60° 答案 B 解析 由题意知,PQ⊥l,∵kPQ==-1, ∴kl=1,即tanα=1,∴α=45°.故选B. 3.已知点A(1,-2),B(m,2),且线段AB的垂直平分线的方程是x+2y-2=0,则实数m的值是(  ) A.-2 B.-7 C.3 D.1 答案 C 解析 因为线段AB的中点,0在直线x+2y-2=0上,代入解得m=3. 4.已知直线x+y-1=0与直线2x+my+3=0平行,则它们之间的距离是(  ) A.1 B. C.3 D.4 答案 B 解析 ∵=≠,∴m=2,两平行线之间的距离d==.故选B. 5.已知点M是直线x+y=2上的一个动点,若点P的坐标为(,-1),则|PM|的最小值为(  ) A. B.1 C.2 D.3 答案 B 解析 |PM|的最小值即点P(,-1)到直线x+y=2的距离,又=1,故|PM|的最小值为1.选B. 6.若直线l1:ax+2y-8=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行,则实数a的值为(  ) A.1 B.1或2 C.-2 D.1或-2 答案 A 解析 直线l1的方程为y=-x+4.若a=-1,显然两直线不平行,所以a≠-1;要使两直线平行,则有=,解得a=1或a=-2.当a=-2时,两直线重合,所以不满足条件,所以a=1.故选A. 7.若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2恒过定点(  ) A.(0,4) B.(0,2) C.(-2,4) D.(4,-2) 答案 B 解析 直线l1:y=k(x-4)恒过定点(4,0),其关于点(2,1)的对称点为(0,2).又由于直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,故直线l2恒过定点(0,2). 8.若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为(  ) A.3 B. C.3 D.2 答案 C 解析 点M在直线x+y-6=0上,到原点的最小距离等价于原点O(0,0)到直线x+y-6=0的距离,即d===3.故选C. 9.已知x,y满足x+2y-5=0,则(x-1)2+(y-1)2的最小值为(  ) A. B. C. D. 答案 A 解析 (x-1)2+(y-1)2表示点P(x,y)到点Q(1,1)的距离的平方.由已知可得点P在直线l:x+2y-5=0上,所以|PQ|的最小值为点Q到直线l的距离,即d==,所以(x-1)2+(y-1)2的最小值为d2=.故选A. 10.已知△ABC的顶点A(5,1),边AB上的中线CM所在直线的方程为2x-y-5=0,边AC上的高BH所在直线的方程为x-2y-5=0,则直线BC的方程为(  ) A.2x+y-11=0 B.6x-5y-10=0 C.5x-6y-9=0 D.6x-5y-9=0 答案 D 解析 依题意知kAC=-2,点A(5,1),则直线AC的方程为2x+y-11=0, 联立可得点C(4,3). 设B(x0,y0),则AB的中点M为,, 代入2x-y-5=0,得2x0-y0-1=0, 所以解得点B(-1,-3),故kBC=,则直线BC的方程为y-3=(x-4),即6x-5y-9=0.故选D. 11.已知A(-2,1),B(1,2),点C为直线y=x上的动点,则|AC|+|BC|的最小值为(  ) A.2 B.2 C.2 D.2 答案 C 解析 设B关于直线y=x的对称点为B′(x0,y0),则解得B′(2,-1).由平面几何知识得|AC|+|BC|的最小值即是|B′A|==2.故选C. 12.已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值为________. 答案 -或- 解析 由题意及点到直线的距离公式得=,解得a=-或-. 二、高考小题 13.(2016·全国卷Ⅱ)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=(  ) A.- B.- C. D.2 答案 A 解析 圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1=0的距离为=1,解得a=-.故选A. 14.(2015·山东高考)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为(  ) A.-或- B.-或- C.-或- D.-或- 答案 D 解析 如图,作出点P(-2,-3)关于y轴的对称点P0(2,-3).由题意知反射光线与圆相切,其反向延长线过点P0.故设反射光线为y= k(x-2)-3,即kx-y-2k-3=0.∴圆心到直线的距离 d==1,解得k=-或k=-.故选D. 15.(2015·广东高考)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是(  ) A.2x+y+5=0或2x+y-5=0 B.2x+y+=0或2x+y-=0 C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x-y+=0或2x-y-=0 答案 A 解析 设与直线2x+y+1=0平行的直线方程为2x+y+m=0(m≠1),因为直线2x+y+m=0与圆x2+y2=5相切,即点(0,0)到直线2x+y+m=0的距离为,所以=,|m|=5.故所求直线的方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.故选A. 16.(经典重庆高考)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=________. 答案 4± 解析 由△ABC为等边三角形可得,C到AB的距离为,即(1,a)到直线ax+y-2=0的距离d==,即a2-8a+1=0,可求得a=4±. 三、模拟小题 17.(2018·福建闽侯六中模拟)“直线(m+2)x+3my+1=0与(m-2)x+(m+2)y=0互相垂直”是“m=”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 若直线(m+2)x+3my+1=0与(m-2)x+(m+2)y=0互相垂直,则(m+2)(m-2)+3m(m+2)=0,解得m=-2或m=,即“直线(m+2)x+3my+1=0与(m-2)x+(m+2)y=0互相垂直”是“m=”的必要不充分条件. 18.(2018·天津一中模拟)已知直线x+a2y+6=0与直线(a-2)x+3ay+2a=0平行,则a的值为(  ) A.0或3或-1 B.0或3 C.3或-1 D.0或-1 答案 D 解析 由题意知1×3a-a2(a-2)=0,即a(a2-2a-3)=0,∴a=0,a=-1或a=3,经验证当a=3时,两直线重合.故选D. 19.(2018·广西陆川模拟)光线沿着直线y=-3x+b射到直线x+y=0上,经反射后沿着直线y=ax+2射出,则有(  ) A.a=,b=6 B.a=-,b=-6 C.a=3,b=- D.a=-3,b= 答案 B 解析 由题意,直线y=-3x+b与直线y=ax+2关于直线y=-x对称,故直线y=ax+2上点(0,2)关于y=-x的对称点(-2,0)在直线y=-3x+b上,∴b=-6,y=-3x-6上的点(0,-6),关于直线y=-x对称点(6,0)在直线y=ax+2上,∴a=-,故选B. 20.(2018·杭州月考)已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组的解的情况是(  ) A.无论k,P1,P2如何,总是无解 B.无论k,P1,P2如何,总有唯一解 C.存在k,P1,P2,使之恰有两解 D.存在k,P1,P2,使之有无穷多解 答案 B 解析 由题意,直线y=kx+1一定不过原点O,P1,P2是直线y=kx+1上不同的两点,则与不平行,因此a1b2-a2b1≠0,所以二元一次方程组 一定有唯一解.故选B. 21.(2018·湖北孝感五校联考)已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线,若点A,B的坐标分别是(-4,2),(3,1),则点C的坐标为(  ) A.(-2,4) B.(-2,-4) C.(2,4) D.(2,-4) 答案 C 解析 设A(-4,2)关于直线y=2x的对称点为(x,y),则解得 ∴BC所在直线方程为y-1=(x-3),即3x+y-10=0. 联立解得则C(2,4).故选C. 22.(2018·百校联盟TOP20联考)我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术,也就是用内接正多边形去逐步逼近圆,即圆内接正多边形边数无限增加时,其周长就越逼近圆周长.这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就,现作出圆x2+y2=2的一个内接正八边形,使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上,则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为(  ) A.x+(-1)y-=0 B.(1-)x-y+=0 C.x-(+1)y+=0 D.(-1)x-y+=0 答案 C 解析 如图所示,可知A(,0),B(1,1),C(0,),D(-1,1),所以直线AB,BC,CD的方程分别为y=(x-),y=(1-)x+,y=(-1)x+,整理成一般式为x+(-1)y-=0,(1-)x-y+=0,(-1)x-y+=0,分别对应题中的A,B,D选项.故选C. 23.(2018·北京西城区月考)已知l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当l1,l2间的距离最大时,则直线l1的方程是________. 答案 x+2y-3=0 解析 当直线AB与l1,l2垂直时,l1,l2间的距离最大.因为A(1,1),B(0,-1),所以kAB==2,所以两平行直线的斜率为k=-,所以直线l1的方程是y-1=-(x-1),即x+2y-3=0. 24.(2018·河南焦作调研)著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好,割裂分家万事休.”事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,如: 可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)的距离.结合上述观点,可得f(x)=+的最小值为________. 答案 5 解析 ∵f(x)=+= +,∴f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(-2,4)与B(-1,3)的距离之和,设点A(-2,4)关于x轴的对称点为A′,则A′为(-2,-4).要求f(x)的最小值,可转化为|MA|+|MB|的最小值,利用对称思想可知|MA|+|MB|≥|A′B|==5,即f(x)=+的最小值为5. 一、高考大题 本考点在近三年高考中未涉及此题型. 二、模拟大题 1.(2018·江西九江月考)已知直线l1:x+a2y+1=0和直线l2:(a2+1)x-by+3=0(a,b∈R). (1)若l1∥l2,求b的取值范围; (2)若l1⊥l2,求|ab|的最小值. 解 (1)因为l1∥l2,所以-b-(a2+1)a2=0, 即b=-a2(a2+1)=-a4-a2=-2+, 因为a2≥0,所以b≤0. 又因为a2+1≠3,所以b≠-6. 故b的取值范围是(-∞,-6)∪(-6,0]. (2)因为l1⊥l2,所以(a2+1)-a2b=0,显然a≠0,所以ab=a+,|ab|=≥2,当且仅当a=±1时等号成立,因此|ab|的最小值为2. 2.(2018·湖北十堰模拟)已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),l2:4x-2y-1=0和l3:x+y-1=0,且两平行直线l1与l2间的距离是. (1)求a的值; (2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件:①P是第一象限的点;②P点到l1的距离是P点到l2的距离的;③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶.若能,求P点坐标;若不能,说明理由. 解 (1)l2的方程可化为2x-y-=0, ∴l1与l2间的距离d==, ∴=,∴a+=, ∵a>0,∴a=3. (2)能. 假设存在满足题意的P点. 设点P(x0,y0),因为P点满足条件②,所以P点在与l1,l2平行的直线l′:2x-y+C=0上,其中C满足=×,C≠3且C≠-, 则C=或C=, ∴2x0-y0+=0或2x0-y0+=0. 因为P点满足条件③, 所以由点到直线的距离公式得 =×, 即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|, ∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0. ∵P点在第一象限, ∴3x0+2=0不满足题意. 由解得(舍去). 由解得 ∴存在满足题意的P点,且P点的坐标为,.

2020高考数学刷题首秧第七章平面解析几何考点测试50两条直线的位置关系与距离公式理含解析.docx

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