标签: 2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程阶段训练三(含解析)北师大版选修1-1  
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doc 阶段训练三 (范围:§1~§3) 一、选择题 1.若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为(  ) A. B. C. D. 考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线方程 答案 B 解析 由题意知,点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离,因此点P在线段OF的垂直平分线上,而F,所以点P的横坐标为,代入抛物线方程得y=±,故点P的坐标为,故选B. 2.曲线+=1(m<6)与曲线+=1(5<n<9)的(  ) A.焦距相同 B.离心率相等 C.准线相同 D.焦点相等 考点 双曲线的简单性质 题点 由双曲线的方程研究简单性质 答案 A 解析 由+=1(m<6)知该方程表示焦点在x轴上的椭圆, 由+=1(5<n<9)知该方程表示焦点在y轴上的双曲线,排除C,D;椭圆的离心率小于1,双曲线离心率大于1,排除B,故选A. 3.设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为(  ) A.B.C.D. 答案 D 解析 不妨设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),则可令F(c,0),B(0,b),直线FB:bx+cy-bc=0与渐近线y=x垂直,所以-·=-1,即b2=ac,所以c2-a2=ac,即e2-e-1=0,所以e=或e=(舍去). 4.一条直线过点,且与抛物线y2=x交于A,B两点.若|AB|=4,则弦AB的中点到直线x+=0的距离等于(  ) A.B.2C.D.4 考点 抛物线的焦点弦问题 题点 与焦点弦有关的其他问题 答案 C 解析 ∵抛物线方程为y2=x, ∴其焦点坐标为,准线方程为x=-, ∴直线AB过抛物线焦点, ∴由抛物线的定义知,弦AB的中点到直线x=-的距离为2, ∴弦AB的中点到直线x+=0的距离等于2+=. 5.已知抛物线C的顶点为原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点,若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为(  ) A.y2=4x B.y2=-4x C.x2=4y D.y2=8x 考点 直线与抛物线的位置关系 题点 直线与抛物线相交弦中点问题 答案 A 解析 依题意可设抛物线方程为y2=2px(p>0), 设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1, ∵P(2,2)为AB的中点,∴y1+y2=4, 由得(y2+y1)(y2-y1)=2p(x2-x1), ∴2p=(y2+y1)=4,∴抛物线C的方程为y2=4x. 6.若双曲线与椭圆+=1有相同的焦点,它的一条渐近线方程为y=-x,则双曲线的方程为(  ) A.y2-x2=96 B.y2-x2=160 C.y2-x2=80 D.y2-x2=24 考点 双曲线性质的应用 题点 双曲线与椭圆结合的有关问题 答案 D 解析 设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0),因为双曲线与椭圆有相同的焦点,且焦点为(0,±4),所以λ<0,且-2λ=(4)2,得λ=-24.故选D. 7.椭圆+=1与双曲线-x2=1有公共点P,则P与双曲线两焦点连线构成的三角形的面积为(  ) A.4B.5C.5D.3 考点 双曲线性质的应用 题点 双曲线与椭圆结合的有关问题 答案 D 解析 由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0,4)和F2(0,-4),不妨设|PF1|>|PF2|, 由椭圆与双曲线的定义可得 所以|PF1|=5+,|PF2|=5-. 在△PF1F2中,由余弦定理,得 cos∠F1PF2= ==, 且∠F1PF2是三角形的内角,于是sin∠F1PF2=. 因此△PF1F2的面积S=|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2=×(5+)×(5-)×=3. 8.一动圆与直线x=-1相切且始终过点(1,0),动圆的圆心的轨迹为曲线C,那么曲线C上的一点到直线x=-1的距离与到直线x+y+4=0的距离和的最小值为(  ) A.B.C.D. 考点 抛物线的定义 题点 由抛物线定义求最值 答案 B 解析 由题意知动圆的圆心轨迹为以F(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线,其方程为y2=4x, 设抛物线上的一点P,点P到直线x=-1的距离为d1,到直线x+y+4=0的距离为d2, 由抛物线的定义知,d1=|PF|,所以d1+d2=|PF|+d2, |PF|+d2的最小值为点F到直线x+y+4=0的距离=.故选B. 二、填空题 9.双曲线-=1(mn≠0)的离心率为2,有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,则mn的值为________. 考点 抛物线的简单性质 题点 抛物线与其他曲线结合有关问题 答案  解析 抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0), 则双曲线的焦距为2,则有 解得∴mn=. 10.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p=________. 考点 抛物线的简单性质 题点 抛物线与其他曲线结合有关问题 答案 2 解析 双曲线的离心率e===2, 解得=,联立得y=, 所以S△OAB=×=,将=代入解得p=2. 11.已知抛物线y2=8x,过动点M(a,0),且斜率为1的直线l与抛物线交于不同的两点A,B,若|AB|≤8,则实数a的取值范围是________. 考点 直线与抛物线的位置关系 题点 直线与抛物线相交时的其他问题 答案 (-2,-1] 解析 将l的方程y=x-a代入y2=8x, 得x2-2(a+4)x+a2=0, 则Δ=4(a+4)2-4a2>0,∴a>-2. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=2(a+4),x1x2=a2, ∴|AB|==≤8, 即≤1. 又a>-2,∴-2<a≤-1. 三、解答题 12.已知双曲线的一条渐近线为x+y=0,且与椭圆x2+4y2=64有相同的焦距,求双曲线的标准方程. 解 椭圆方程为+=1,可知椭圆的焦距为8. ①当双曲线的焦点在x轴上时, 设双曲线方程为-=1 (a>0,b>0), ∴解得 ∴双曲线的标准方程为-=1. ②当双曲线的焦点在y轴上时, 设双曲线方程为-=1 (a>0,b>0), ∴ 解得 ∴双曲线的标准方程为-=1. 由①②可知,双曲线的标准方程为 -=1或-=1. 13.斜率为k的直线l经过抛物线y=x2的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,若线段AB的长为8. (1)求抛物线的焦点F的坐标和准线方程; (2)求直线的斜率k. 考点 抛物线的焦点弦问题 题点 与焦点弦有关的其他问题 解 (1)化y=x2为标准方程x2=4y, 由此,可知抛物线的焦点F的坐标为(0,1),准线方程为y=-1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2), 由抛物线的定义知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1, 于是|AB|=y1+y2+2, 又|AB|=8,所以y1+y2=6, 由(1)得,抛物线的焦点为(0,1), 所以直线l的方程为y=kx+1, 所以kx1+1+kx2+1=6,k(x1+x2)=4, 由直线l的方程与抛物线方程联立得kx+1=, 即x2-4kx-4=0,Δ=16k2+16>0,所以x1+x2=4k, 代入k(x1+x2)=4,得k2=1,k=±1. 14.若抛物线y2=x上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+b对称,且y1y2=-1,则实数b的值为(  ) A.-3B.3C.2D.-2 考点 直线与抛物线的位置关系 题点 直线与抛物线相交时的其他问题 答案 D 解析 由题意知,=-1, ∴=-1,则y1+y2=-1, ∵y1y2=-1,∴x1+x2=y+y=(y1+y2)2-2y1y2=3, ∴两点A(x1,y1),B(x2,y2)中点坐标为,代入y=x+b,可得b=-2. 15.如图,已知△AOB的一个顶点为抛物线y2=2x的顶点O,A,B两点都在抛物线上,且∠AOB=90°, (1)证明:直线AB必过一定点; (2)求△AOB面积的最小值. 考点 直线与抛物线的位置关系 题点 直线与抛物线相交时的其他问题 (1)证明 设OA所在直线的方程为y=kx(k≠0),则直线OB的方程为y=-x, 由解得或 即A点的坐标为. 同样由解得B点的坐标为(2k2,-2k). 所以AB所在直线的方程为y+2k=(x-2k2), 化简并整理,得y=x-2. 不论实数k取任何不等于0的实数,当x=2时,恒有y=0. 故直线过定点P(2,0). (2)解 由于AB所在直线过定点P(2,0), 所以可设AB所在直线的方程为x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2). 由消去x并整理, 得y2-2my-4=0,Δ=4m2+16>0. 所以y1+y2=2m,y1y2=-4. 于是|y1-y2|= == =2. S△AOB=×|OP|×(|y1|+|y2|) =|OP|·|y1-y2| =×2×2=2. 所以当m=0时,△AOB的面积取得最小值4.

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