标签: 2020版高中数学第二章数列2.1.2数列的递推公式(选学)学案(含解析)新人教B版必修5  
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doc 2.1.2 数列的递推公式(选学) 学习目标 1.理解数列的几种表示方法,能选择适当的方法表示数列.2.理解递推公式的含义,能根据递推公式求出数列的前几项.3.了解用叠加法、叠乘法由递推公式求通项公式. 知识点一 递推公式 如果已知数列的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)(n≥2)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式. 特别提醒:(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样,并不是所有的数列都有递推公式. (2)递推公式也是表示数列的一种重要方法,它和通项公式一样,都是关于项数n的恒等式. (3)递推公式可以通过赋值逐项求出数列的项,直至求出数列的任何一项和所需的项. 知识点二 递推公式与通项公式的比较 通项公式和递推公式都是给出数列的方法.已知数列的通项公式,可以直接求出任意一项;已知递推公式,要求某一项,则必须依次求出该项前面所有的项. 思考 (1)已知求a4; (2)已知an=2n,求a4. 答案 (1)a2=a1+2=4,a3=a2+2=6,a4=a3+2=8; (2)a4=2×4=8. 1.数列{an}中,若an+1=2an,n∈N+,则a2=2a1.( √ ) 2.利用an+1=2an,n∈N+可以确定数列{an}.( × ) 3.an=n与y=x的图象是相同的.( × ) 4.有些数列难以用通项公式和递推公式表示,但可以用列表法轻松表示.( √ ) 题型一 由数列前若干项归纳递推公式 例1 图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形,在四个三角形图案中,着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项,请写出这个数列的递推公式和一个通项公式. 解 如题图,这四个三角形图案中着色的小三角形第(2)个是第(1)个的3倍,第(3)个是第(2)个的3倍,故有递推公式个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂,指数为序号减1.所以,这个数列的一个通项公式是an=3n-1,n∈N+. 反思感悟 求数列的递推公式注重观察数列项与项的关系,求通项公式注重观察项与序号的关系,图象法则一如既往地直观. 跟踪训练1 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如,他们将石子摆成如图所示的三角形点阵,就将其所对应石子的个数称为三角形数,则第n个三角形数比第n-1(n≥2,n∈N+)个三角形数多________个石子. 答案 n 解析 ∵a2-a1=2,a3-a2=3,…,∴an-an-1=n. 题型二 数列的递推公式 命题角度1 由递推公式求前若干项 例2 设数列{an}满足写出这个数列的前5项. 解 由题意可知a1=1,a2=1+=2,a3=1+=,a4=1+=,a5=1+=1+=. 引申探究 若数列{an}满足a1=2,an+1=,n∈N+,求a2019. 解 a2===-3, a3===-, a4===, a5===2=a1, ∴{an}是周期为4的数列, ∴a2019=a4×504+3=a3=-. 反思感悟 递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式,已知n的值即可得到相应的项;而递推公式则要已知首项(或前几项),才可依次求得其他的项.若项数很大,则应考虑数列是否具有规律. 跟踪训练2 已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=an+1-an,n∈N+,试写出a3,a4,a5,a6,a7,a8,你发现数列{an}具有怎样的规律?你能否求出该数列中的第2019项? 解 a1=1,a2=2,a3=1,a4=-1,a5=-2,a6=-1,a7=1,a8=2,…. 发现:an+6=an,数列{an}具有周期性,周期T=6. 证明如下:∵an+2=an+1-an, ∴an+3=an+2-an+1=(an+1-an)-an+1=-an. ∴an+6=-an+3=-(-an)=an. ∴数列{an}是周期数列,且T=6. ∴a2019=a336×6+3=a3=1. 命题角度2 由递推公式求通项 例3 (1)对于任意数列{an},等式:a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=an(n≥2,n∈N+)都成立.试根据这一结论,完成问题:已知数列{an}满足:a1=1,an+1-an=2,n∈N+,求通项an; (2)若数列{an}中各项均不为零,则有a1···…·=an(n≥2,n∈N+)成立.试根据这一结论,完成问题:已知数列{an}满足:a1=1,=(n≥2,n∈N+),求通项an. 解 (1)当n≥2时, an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) =1+=2(n-1)+1=2n-1. a1=1也符合上式, 所以数列{an}的通项公式是an=2n-1,n∈N+. (2)当n≥2时,an=a1···…· =1···…·=. a1=1也符合上式, 所以数列{an}的通项公式是an=,n∈N+. 反思感悟 形如an+1-an=f(n)的递推公式,可以利用a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=an(n≥2,n∈N+)求通项公式;形如=f(n)的递推公式,可以利用a1···…·=an(n≥2,n∈N+)求通项公式.以上方法分别叫叠加法和叠乘法. 跟踪训练3 已知数列{an}满足a1=-1,an+1=an+-,n∈N+,求数列的通项公式an. 解 ∵an+1-an=-, ∴a2-a1=-, a3-a2=-, a4-a3=-, …, an-an-1=-(n≥2), ∴(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1) =++…+, 即an-a1=1-(n≥2,n∈N+). ∴an=a1+1-=-1+1-=-(n≥2,n∈N+), 又当n=1时,a1=-1也符合上式.∴an=-,n∈N+. 1.数列1,3,6,10,15,…的递推公式是(  ) A.an+1=an+n,n∈N+ B.an=an-1+n,n∈N+,n≥2 C.an+1=an+(n+1),n∈N+ D.an=an-1+(n-1),n∈N+,n≥2 答案 C 解析 由已知得a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,a5-a4=5,…,an+1-an=n+1,n∈N+,故选C. 2.已知数列{an}满足anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N+)且a1=1,则等于(  ) A.B.C.D. 答案 B 解析 由a1=1得a2a1=a1+(-1)2,则a2=2; 由a3a2=a2+(-1)3,得a3=;同理得a4=3,a5=,故==,故选B. 3.已知数列{an}满足a1=2,an+1-an+1=0(n∈N+),则此数列的通项an等于(  ) A.n2+1B.n+1C.1-nD.3-n 答案 D 解析 ∵an+1-an=-1. ∴当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) =2+ =2+(-1)×(n-1)=3-n. 当n=1时,a1=2也符合上式. 故数列的通项an=3-n(n∈N+). 4.数列{xn}中,若x1=1,xn+1=-1(n∈N+),则x2019=________. 答案 1 解析 ∵x1=1,∴x2=-,∴x3=1, ∴数列{xn}的周期为2,∴x2019=x1=1. 5.用火柴棒按下图的方法搭三角形: 按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是______________. 答案 an=2n+1,n∈N+ 解析 a1=3,a2=3+2=5,a3=3+2+2=7, a4=3+2+2+2=9,…,∴an=2n+1,n∈N+. 1.{an}与an是不同的两种表示,{an}表示数列a1,a2,…,an,…,是数列的一种简记形式.而an只表示数列{an}的第n项,an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系. 2.数列的表示方法 (1)图象法;(2)列表法;(3)通项公式法;(4)递推公式法. 3.通项公式和递推公式的区别:通项公式直接反映an和n之间的关系,即an是n的函数,知道任意一个具体的n值,就可以求出该项的值an;而递推公式则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,不能由n直接得出an. 一、选择题 1.数列,-,,-,…的第n项an与第n+1项an+1的关系是(  ) A.an+1=2an B.an+1=-2an C.an+1=an D.an+1=-an 答案 D 2.已知数列{an}的首项a1=1,且满足an+1=an+(n∈N+),则此数列的第4项是(  ) A.1B.C.D. 答案 B 解析 a2=a1+=1;a3=a2+=;a4=a3+=. 3.已知数列{an}中,an-1=man+1(n>1,n∈N+),且a2=3,a3=5,则实数m等于(  ) A.B.C.2D.3 答案 A 解析 由题意得a2=ma3+1,即3=5m+1,∴m=. 4.已知a1=1,an=an-1+3(n≥2,n∈N+),则数列的通项公式为(  ) A.an=3n+1 B.an=3n C.an=3n-2 D.an=3(n-1) 答案 C 解析 ∵an=an-1+3(n≥2,n∈N+),∴an-an-1=3. ∴a2-a1=3,a3-a2=3,a4-a3=3,…,an-an-1=3, 以上各式两边分别相加,得an-a1=3(n-1), ∴an=a1+3(n-1)=1+3(n-1)=3n-2,a1=1也符合上式,故选C. 5.若a1=1,an+1=(n∈N+),则给出的数列{an}的第4项是(  ) A.B.C.D. 答案 C 解析 a2===,a3===,a4===. 6.已知数列{an}中,an=-2n2+25n+30(n∈N+),则数列中最大项的值是(  ) A.107B.108C.108D.109 答案 B 解析 由已知得an=-2n2+25n+30=-22+108, 由于n∈N+,故当n取距离最近的正整数6时,an取得最大值108. ∴数列{an}中的最大项的值为a6=108. 二、填空题 7.已知数列{an}中,a1=2,an=-(n≥2,n∈N+),则a2019=________. 答案 2 解析 ∵a2=-=-,a3=-=2,a4=-=a2, ∴{an}的周期为2,∴a2019=a1=2. 8.若数列{an}满足(n-1)an=(n+1)an-1(n≥2,n∈N+),且a1=1,则a100=________. 答案 5050 解析 由(n-1)an=(n+1)an-1,即=(n≥2,n∈N+), 则a100=a1···…·=1×××…×=5050. 9.已知数列{an}中,a1a2…an=n2(n∈N+),则a9=________. 答案  解析 a1a2…a8=82, ① a1a2…a9=92, ② ②÷①得a9==. 10.如图是一棵小树的生长示意图,第二年新生枝桠2个,第三年新生枝桠4个,……, 设第n年新生枝桠数为an,则数列{an}的递推公式为________. 答案 an= 三、解答题 11.根据下列条件,写出数列的前4项,并归纳猜想它的通项公式. (1)a1=0,an+1=an+2n-1(n∈N+); (2)a1=1,an+1=an+(n∈N+). 解 (1)a1=0,a2=1,a3=4,a4=9. 猜想an=(n-1)2(n∈N+). (2)a1=1,a2=,a3==2,a4=. 猜想an=(n∈N+). 12.已知各项均不为0的数列{an}满足a1=,anan-1=an-1-an(n≥2,n∈N+),求数列{an}的通项公式. 解 ∵anan-1=an-1-an,且各项均不为0, ∴-=1. ∴当n≥2时, =+++…+ =2+=n+1. ∴=n+1,∴当n≥2时,an=. ∵a1=也符合上式,∴an=(n∈N+). 13.已知数列{an}满足:a1=m(m为正整数),an+1=若a4=4,求m所有可能的取值. 解 若a3为奇数,则3a3+1=4,a3=1,若a2为奇数,则3a2+1=1,a2=0(舍去),若a2为偶数,则=1,a2=2. 若a1为奇数,则3a1+1=2,a1=(舍去), 若a1为偶数,=2,a1=4; 若a3为偶数,则=4,a3=8, 若a2为奇数,则3a2+1=8,a2=(舍去). 若a2为偶数,则=8,a2=16. 若a1为奇数,则3a1+1=16,a1=5. 若a1为偶数,则=16,a1=32. 故m所有可能的取值为4,5,32. 14.由1,3,5,…,2n-1,…构成数列{an},数列{bn}满足b1=2,当n≥2时,bn=,则b6的值是(  ) A.9B.17C.33D.65 答案 C 解析 ∵bn=,∴b2==a2=3,b3==a3=5,b4==a5=9,b5==a9=17,b6==a17=33. 15.在一个数列中,如果对任意n∈N+,都有anan+1an+2=k(k为常数),那么这个数列叫做等积数列,k叫做这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列,且a1=1,a2=2,公积为8,则a1+a2+a3+…+a12=________. 答案 28 解析 依题意得数列{an}是周期为3的数列,且a1=1,a2=2,a3=4,因此a1+a2+a3+…+a12=4(a1+a2+a3)=4×(1+2+4)=28.

2020版高中数学 第二章 数列 2.1.2 数列的递推公式(选学)学案(含解析)新人教B版必修5.docx

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