标签: 2020版高中数学第二章数列2.2.2等差数列的前n项和(第1课时)等差数列的前n项和公式学案(含解析)新人教B版必修5  
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doc 第1课时 等差数列的前n项和公式 学习目标 1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.熟练掌握等差数列的五个量a1,d,n,an,Sn的关系,能够由其中三个求另外两个.3.已知数列{an}的前n项和公式求通项an. 知识点一 等差数列的前n项和 1.定义:对于数列{an},一般地,称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和. 2.表示:常用符号Sn表示,即Sn=a1+a2+a3+…+an. 知识点二 等差数列前n项和公式 等差数列的前n项和公式 已知量 首项,末项与项数 首项,公差与项数 求和公式 Sn= Sn=na1+d 知识点三 a1,d,n,an,Sn知三求二 1.在等差数列{an}中,an=a1+(n-1)d,Sn=或Sn=na1+d. 两个公式共涉及a1,d,n,an及Sn五个基本量,它们分别表示等差数列的首项,公差,项数,项和前n项和. 2.依据方程的思想,在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量,即“知三求二”. 知识点四 数列中an与Sn的关系 对于一般数列{an},设其前n项和为Sn, 则有an= 特别提醒:(1)这一关系对任何数列都适用. (2)若在由an=Sn-Sn-1(n≥2)求得的通项公式中,令n=1求得a1与利用a1=S1求得的a1相同,则说明an=Sn-Sn-1(n≥2)所得通项公式也适合n=1的情况,数列的通项公式用an=Sn-Sn-1表示. 若在由an=Sn-Sn-1(n≥2)求得的通项公式中,令n=1求得的a1与利用a1=S1求得的a1不相同,则说明an=Sn-Sn-1(n≥2)所得通项公式不适合n=1的情况,数列的通项公式采用分段形式. 1.若数列{an}的前n项和为Sn,则S1=a1.( √ ) 2.若数列{an}的前n项和为Sn,则an=Sn-Sn-1,n∈N+.( × ) 3.等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加法.( √ ) 4.1+2+3+…+100=.( √ ) 题型一 等差数列前n项和公式的基本运算 例1 在等差数列{an}中: (1)已知a5+a10=58,a4+a9=50,求S10; (2)已知S7=42,Sn=510,an-3=45,求n. 解 (1)方法一 由已知条件得 解得 ∴S10=10a1+d=10×3+×4=210. 方法二 由已知条件得 ∴a1+a10=42, ∴S10==5×42=210. (2)S7==7a4=42, ∴a4=6. ∴Sn====510. ∴n=20. 反思感悟 (1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时,要注意方程思想和整体思想的运用. (2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1,d,n,an,Sn,知其三能求其二. 跟踪训练1 在等差数列{an}中,已知d=2,an=11,Sn=35,求a1和n. 解 由得 解方程组得或 题型二 由数列{an}的前n项和Sn求an 例2 已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 解 根据Sn=a1+a2+…+an-1+an可知 Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2,n∈N+), 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n- =2n-, ① 当n=1时,a1=S1=12+×1=,也满足①式. ∴数列{an}的通项公式为an=2n-,n∈N+. ∵an+1-an=2(n+1)--=2, 故数列{an}是以为首项,2为公差的等差数列. 引申探究 若将本例中前n项和改为Sn=n2+n+1,求通项公式. 解 当n≥2时,an=Sn-Sn-1 =- =2n-. ① 当n=1时,a1=S1=12++1=不符合①式. ∴an= 反思感悟 已知前n项和Sn求通项an,先由n=1时,a1=S1求得a1,再由n≥2时,an=Sn-Sn-1求得an,最后验证a1是否符合an,若符合则统一用一个解析式表示,不符合则分段表示. 跟踪训练2 已知数列{an}的前n项和Sn=3n,求an. 解 当n=1时,a1=S1=3; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=2·3n-1. 当n=1时,代入an=2·3n-1得a1=2≠3. ∴an= 题型三 等差数列在实际生活中的应用 例3 某人用分期付款的方式购买一件家电,价格为1150元,购买当天先付150元,以后每月的这一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月,则分期付款的第10个月该交付多少钱?全部贷款付清后,买这件家电实际花费多少钱? 解 设每次交款数额依次为a1,a2,…,a20, 则a1=50+1000×1%=60, a2=50+(1000-50)×1%=59.5, … a10=50+(1000-9×50)×1%=55.5, 即第10个月应付款55.5元. 由于{an}是以60为首项,以-0.5为公差的等差数列, 所以有S20=×20=1105, 即全部付清后实际付款1105+150=1255(元). 反思感悟 建立等差数列的模型时,要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数. 跟踪训练3 甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动,甲第1分钟走2m,以后每分钟比前1分钟多走1m,乙每分钟走5m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇? (2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回,甲继续每分钟比前1分钟多走1m,乙继续每分钟走5m,那么开始运动几分钟后第二次相遇? 解 (1)设n分钟后两人第1次相遇,由题意, 得2n++5n=70,整理得n2+13n-140=0. 解得n=7,n=-20(舍去). 所以第1次相遇是在开始运动后7分钟. (2)设n分钟后第2次相遇,由题意, 得2n++5n=3×70, 整理得n2+13n-420=0. 解得n=15,n=-28(舍去). 所以第2次相遇是在开始运动后15分钟. 1.已知等差数列{an}满足a1=1,am=99,d=2,则其前m项和Sm等于(  ) A.2300B.2400C.2600D.2500 答案 D 解析 由am=a1+(m-1)d,得99=1+(m-1)×2, 解得m=50,所以S50=50×1+×2=2500. 2.记等差数列的前n项和为Sn,若S2=4,S4=20,则该数列的公差d等于(  ) A.2B.3C.6D.7 答案 B 解析 方法一 由解得d=3. 方法二 由S4-S2=a3+a4=a1+2d+a2+2d=S2+4d,所以20-4=4+4d,解得d=3. 3.在一个等差数列中,已知a10=10,则S19=________. 答案 190 解析 S19== =19a10=19×10=190. 4.已知数列{an}是等差数列,Sn是它的前n项和.若S4=20,a4=8,则S8=________. 答案 72 解析 设{an}的公差为d,则由解得a1=d=2, ∴S8=8×2+×2=72. 5.已知数列{an}满足a1+2a2+…+nan=n(n+1)(n+2),则an=________. 答案 3(n+1)(n∈N+) 解析 由a1+2a2+…+nan=n(n+1)(n+2), ① 当n≥2,n∈N+时,得a1+2a2+…+(n-1)an-1=(n-1)n(n+1), ② ①-②,得nan=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1) =n(n+1)[(n+2)-(n-1)]=3n(n+1), ∴an=3(n+1)(n≥2,n∈N+). 又当n=1时,a1=1×2×3=6也适合上式, ∴an=3(n+1),n∈N+. 1.求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法,在某些数列求和中也可能用到. 2.等差数列的两个求和公式中,一共涉及a1,an,Sn,n,d五个量.若已知其中三个量,通过方程思想可求另外两个量.在利用求和公式时,要注意整体思想的应用,注意下面结论的运用: 若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(n,m,p,q∈N+);若m+n=2p,则am+an=2ap(m,n,p∈N+). 3.由Sn与an的关系求an主要使用an= 一、选择题 1.在等差数列{an}中,若a2+a8=8,则该数列的前9项和S9等于(  ) A.18B.27C.36D.45 答案 C 解析 S9=(a1+a9)=(a2+a8)=36. 2.在-20与40之间插入8个数,使这10个数成等差数列,则这10个数的和为(  ) A.200B.100C.90D.70 答案 B 解析 S10==100. 3.已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+(n≥2,n∈N+),则数列{an}的前9项和等于(  ) A.27B.C.45D.-9 答案 A 解析 由已知数列{an}是以1为首项,以为公差的等差数列, ∴S9=9×1+×=9+18=27. 4.在等差数列{an}和{bn}中,a1=25,b1=75,a100+b100=100,则数列{an+bn}的前100项的和为(  ) A.10000 B.8000 C.9000 D.11000 答案 A 解析 由已知得{an+bn}为等差数列,故其前100项的和为S100= =50×(25+75+100)=10000. 5.在等差数列{an}中,若S10=4S5,则等于(  ) A.B.2C.D.4 答案 A 解析 由题意得10a1+×10×9d=4, ∴10a1+45d=20a1+40d,∴10a1=5d,∴=. 6.在小于100的自然数中,所有被7除余2的数之和为(  ) A.765B.665C.763D.663 答案 B 解析 ∵a1=2,d=7,2+(n-1)×7<100,∴n<15, ∴n=14,S14=14×2+×14×13×7=665. 7.在等差数列{an}中,a+a+2a3a8=9,且an<0,则S10等于(  ) A.-9B.-11C.-13D.-15 答案 D 解析 由a+a+2a3a8=9,得(a3+a8)2=9, ∵an<0,∴a3+a8=-3, ∴S10====-15. 8.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-2n(n∈N+),则a2+a18等于(  ) A.36B.35C.34D.33 答案 C 解析 方法一 a2=S2-S1=(22-2×2)-(12-2×1)=1, a18=S18-S17=182-2×18-(172-2×17)=33. ∴a2+a18=34. 方法二 易知{an}为等差数列.∴a2+a18=a1+a19,S19==192-2×19,∴a1+a19=34,即a2+a18=34. 二、填空题 9.在等差数列{an}中,an=2n+3,n∈N+,前n项和Sn=an2+bn+c(a,b,c为常数),则a-b+c=________. 答案 -3 解析 因为an=2n+3,所以a1=5,Sn==n2+4n,与Sn=an2+bn+c比较,得a=1,b=4,c=0,所以a-b+c=-3. 10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若=a1+a200·,且A,B,C三点共线(该直线不过原点O),则S200=________. 答案 100 解 因为A,B,C三点共线(该直线不过原点O), 所以a1+a200=1,所以S200==100. 11.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9=________. 答案 15 解析 设等差数列的公差为d, 则S3=3a1+d=3a1+3d=3,即a1+d=1, S6=6a1+d=6a1+15d=24,即2a1+5d=8. 由解得 故a9=a1+8d=-1+8×2=15. 三、解答题 12.在等差数列{an}中, (1)已知a6=10,S5=5,求a8; (2)已知a2+a4=,求S5. 解 (1)方法一 ∵a6=10,S5=5, ∴解得∴a8=a6+2d=16. 方法二 ∵S6=S5+a6=15, ∴15=,即3(a1+10)=15. ∴a1=-5,d==3.∴a8=a6+2d=16. (2)方法一 ∵a2+a4=a1+d+a1+3d=, ∴a1+2d=. ∴S5=5a1+10d=5(a1+2d)=5×=24. 方法二 ∵a2+a4=a1+a5,∴a1+a5=, ∴S5==×=24. 13.已知数列{an}的所有项均为正数,其前n项和为Sn,且Sn=a+an-(n∈N+). (1)证明:{an}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明 当n=1时,a1=S1=a+a1-, 解得a1=3或a1=-1(舍去). 当n≥2时, an=Sn-Sn-1=(a+2an-3)-(a+2an-1-3). 所以4an=a-a+2an-2an-1, 即(an+an-1)(an-an-1-2)=0. 因为an+an-1>0,所以an-an-1=2(n≥2). 所以数列{an}是以3为首项,2为公差的等差数列. (2)解 由(1)知an=3+2(n-1)=2n+1,n∈N+. 14.现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为________. 答案 10 解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列,最上面一层钢管数为1,逐层增加1个. ∴钢管总数为1+2+3+…+n=. 当n=19时,S19=190.当n=20时,S20=210>200. ∴当n=19时,剩余钢管根数最少,为10根. 15.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足:a3a4=117,a2+a5=22. (1)求数列{an}的通项公式an; (2)若数列{bn}是等差数列,且bn=,求非零常数c. 解 (1)设等差数列{an}的公差为d,且d>0. ∵a3+a4=a2+a5=22,又a3a4=117, ∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的

2020版高中数学 第二章 数列 2.2.2 等差数列的前n项和(第1课时)等差数列的前n项和公式学案(含解析)新人教B版必修5.docx

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