标签: 2020版高中数学第二章数列2.3.1等比数列(第2课时)等比数列的性质学案(含解析)新人教B版必修5  
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doc 第2课时 等比数列的性质 学习目标 1.灵活应用等比数列的通项公式推广形式及变形.2.理解等比数列的有关性质,并能用相关性质简化计算. 知识点一 等比数列通项公式的推广和变形 等比数列{an}的公比为q,则 an=a1·qn-1 ① =am·qn-m ② =·qn ③ 其中当②中m=1时,即化为①. 当③中q>0且q≠1时,y=·qx为指数型函数. 知识点二 等比数列常见性质 (1)对称性:a1an=a2an-1=a3an-2=…=am·an-m+1(n>m且n,m∈N+); (2)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则ak·al=am·an; (3)若m,p,n成等差数列,则am,ap,an成等比数列; (4)在等比数列{an}中,连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列; (5)若{an}是等比数列,公比为q,则数列{λan}(λ≠0),,{a}都是等比数列,且公比分别是q,,q2. (6)若{an},{bn}是项数相同的等比数列,公比分别是p和q,那么{anbn}与也都是等比数列,公比分别为pq和. 1.an=amqn-m(n,m∈N+),当m=1时,就是an=a1qn-1.( √ ) 2.等比数列{an}中,若公比q<0,则{an}一定不是单调数列.( √ ) 3.若{an},{bn}都是等比数列,则{an+bn}是等比数列.( × ) 4.若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列,且公比相同,则{an}是等比数列.( × ) 题型一 等比数列通项公式的推广应用 例1 已知等比数列{an}中. (1)若a4=2,a7=8,求an; (2)若{an}为递增数列,且a=a10,2(an+an+2)=5an+1,求通项公式an. 解 (1)∵=q7-4=, 即q3=4,∴q=, ∴(n∈N+). (2)由a=a10=a5·q10-5,且a5≠0, 得a5=q5,即a1q4=q5, 又q≠0,∴a1=q. 由2(an+an+2)=5an+1得,2an(1+q2)=5qan, ∵an≠0,∴2(1+q2)=5q, 解得q=或q=2. ∵a1=q,且{an}为递增数列,∴ ∴an=2·2n-1=2n(n∈N+). 反思感悟 (1)应用an=amqn-m,可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式,不必再求a1. (2)等比数列的单调性由a1,q共同确定,但只要单调,必有q>0. 跟踪训练1 已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7等于(  ) A.21B.42C.63D.84 答案 B 解析 设等比数列{an}的公比为q,则由a1=3,a1+a3+a5=21得3(1+q2+q4)=21, 解得q2=-3(舍去)或q2=2,于是a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42,故选B. 题型二 等比数列的性质及其应用 例2 已知{an}为等比数列. (1)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5; (2)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值. 解 (1)a2a4+2a3a5+a4a6=a+2a3a5+a =(a3+a5)2=25, ∵an>0,∴a3+a5>0,∴a3+a5=5. (2)根据等比数列的性质,得 a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9, ∴a1a2…a9a10=(a5a6)5=95, ∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a9a10) =log395=10. 反思感悟 抓住各项序号的数字特征,灵活运用等比数列的性质,可以顺利地解决问题. 跟踪训练2 设各项均为正数的等比数列{an}满足a4a8=3a7,则log3(a1a2…a9)等于(  ) A.38B.39C.9D.7 答案 C 解析 ∵a4·a8=a5·a7=3a7且a7≠0,∴a5=3, ∴log3(a1a2…a9)=log3a=log339=9. 题型三 由等比数列衍生的新数列 例3 已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6等于(  ) A.4B.6C.7D.5 答案 D 解析 ∵{an}为等比数列, ∴a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9也成等比数列, ∴(a4a5a6)2=(a1a2a3)(a7a8a9) =5×10, 又{an}各项均为正数, ∴a4a5a6=5. 反思感悟 借助新数列与原数列的关系,整体代换可以减少运算量. 跟踪训练3 等比数列{an}中,若a12=4,a18=8,则a36为(  ) A.32B.64C.128D.256 答案 B 解析 由等比数列的性质可知,a12,a18,a24,a30,a36成等比数列,且=2, 故a36=4×24=64. 等比数列的实际应用 典例 某人买了一辆价值13.5万元的新车,专家预测这种车每年按10%的速度贬值. (1)用一个式子表示n(n∈N+)年后这辆车的价值. (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车,他大概能得到多少钱? 解 (1)n年后车的价值(万元)依次设为:a1,a2,a3,…,an, 由题意,得a1=13.5(1-10%),a2=13.5(1-10%)2,…. 由等比数列定义,知数列{an}是等比数列, ∴n年后车的价值为an=13.5×(0.9)n万元. (2)由(1)得a4=a1·q4=13.5×0.94≈8.9(万元), ∴用满4年时卖掉这辆车,大概能得到8.9万元. [素养评析] (1)等比数列实际应用问题的关键是:建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题,解数学模型即解等比数列问题. (2)发现和提出问题,建立和求解模型,是数学建模的核心素养的体现. 1.在等比数列{an}中,a2=8,a5=64,则公比q为(  ) A.2B.3C.4D.8 答案 A 解析 由a5=a2q3,得q3=8,所以q=2. 2.等比数列{an}中,若a2a6+a=π,则a3a5等于(  ) A.B.C.D. 答案 C 解析 a2a6=a=a3a5,∴a3a5=. 3.已知等比数列{an}共有10项,其中奇数项之积为2,偶数项之积为64,则其公比是(  ) A.B.C.2D.2 答案 C 解析 奇数项之积为2,偶数项之积为64,得a1a3a5a7a9=2,a2a4a6a8a10=64,则=q5=32,则q=2,故选C. 4.在1与2之间插入6个正数,使这8个数成等比数列,则插入的6个数的积为________. 答案 8 解析 设这8个数组成的等比数列为{an},则a1=1,a8=2. 插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7 =(a2a7)·(a3a6)·(a4a5) =(a1a8)3=23=8. 5.已知an=2n+3n,判断数列{an}是不是等比数列? 解 不是等比数列. ∵a1=21+31=5,a2=22+32=13,a3=23+33=35, ∴a1a3≠a,∴数列{an}不是等比数列. 1.解题时,应该首先考虑通式通法,而不是花费大量时间找简便方法. 2.所谓通式通法,指应用通项公式,前n项和公式,等差中项,等比中项等列出方程(组),求出基本量. 3.巧用等比数列的性质,减少计算量,这一点在解题中也非常重要. 一、选择题 1.在等比数列{an}中,若a2019=8a2016,则公比q的值为(  ) A.2B.3C.4D.8 答案 A 解析 ∵a2019=8a2016=a2016·q3,∴q3=8,∴q=2. 2.已知各项均为正数的等比数列{an}中,lg(a3a8a13)=6,则a1·a15的值为(  ) A.100 B.-100 C.10000 D.-10000 答案 C 解析 ∵lg(a3a8a13)=lga=6, ∴a=106,∴a8=102=100.∴a1a15=a=10000. 3.(2018·大连模拟)在单调递减的等比数列{an}中,若a3=1,a2+a4=,则a1等于(  ) A.2B.4C.D.2 答案 B 解析 在等比数列{an}中,a2a4=a=1,又a2+a4=,数列{an}为单调递减数列,所以a2=2,a4=,所以q2==,所以q=(舍负),a1==4. 4.等比数列{an}中,a1+a2=3,a2+a3=6.则a8等于(  ) A.64B.128C.256D.512 答案 B 解析 a2+a3=q(a1+a2)=3q=6, ∴q=2,∴a1+a2=a1+2a1=3a1=3, ∴a1=1.∴a8=27=128. 5.已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列,则该等比数列的公比q为(  ) A.B.3C.±D.±3 答案 B 解析 设等差数列为{an},公差为d,d≠0. 则a=a2·a6,∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d), 化简得d2=-2a1d, ∵d≠0,∴d=-2a1,∴a2=-a1,a3=-3a1,∴q==3. 6.(2018·长春模拟)公比不为1的等比数列{an}满足a5a6+a4a7=18,若a1am=9,则m的值为(  ) A.8B.9C.10D.11 答案 C 解析 由题意得,2a5a6=18,a5a6=9,∵a1am=9,∴a1am=a5a6,∴m=10,故选C. 7.(2018·济南模拟)在正项等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n等于(  ) A.12B.13C.14D.15 答案 C 解析 设数列{an}的公比为q,由a1a2a3=4=aq3与a4a5a6=12=aq12,可得q9=3,an-1anan+1=aq3n-3=324,因此q3n-6=81=34=q36,所以n=14,故选C. 二、填空题 8.设数列{an}为公比q>1的等比数列,若a4,a5是方程4x2-8x+3=0的两根,则a6+a7=________. 答案 18 解析 由题意得a4=,a5=,∴q==3. ∴a6+a7=(a4+a5)q2=×32=18. 9.已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=________. 答案 -6 解析 由题意知,a3=a1+4,a4=a1+6. ∵a1,a3,a4成等比数列,∴a=a1a4, ∴(a1+4)2=(a1+6)a1, 解得a1=-8,∴a2=-6. 10.已知等比数列{an}中,有a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且b7=a7,则b5+b9=________. 答案 8 解析 由等比数列的性质,得a3a11=a,∴a=4a7. ∵a7≠0,∴a7=4,∴b7=a7=4. 再由等差数列的性质知b5+b9=2b7=8. 11.在等比数列{an}中,若a1a2a3a4=1,a13a14a15a16=8,则a41a42a43a44=________. 答案 1024 解析 设等比数列{an}的公比为q, a1a2a3a4=a1·a1q·a1q2·a1q3=a·q6=1, ① a13a14a15a16=a1q12·a1q13·a1q14·a1q15=a·q54=8, ② ②÷①得q48=8,q16=2, ∴a41a42a43a44=a1q40·a1q41·a1q42·a1q43=a·q166=a·q6·q160=(a·q6)(q16)10=210=1024. 三、解答题 12.已知数列{an}是等比数列,a3+a7=20,a1a9=64,求a11的值. 解 ∵{an}为等比数列,∴a1·a9=a3·a7=64. 又∵a3+a7=20,∴a3=4,a7=16或a3=16,a7=4. ①当a3=4,a7=16时,=q4=4,此时a11=a3q8=4×42=64. ②当a3=16,a7=4时,=q4=,此时a11=a3q8=16×2=1. 13.在等比数列{an}(n∈N+)中,a1>1,公比q>0.设bn=log2an,且b1+b3+b5=6,b1b3b5=0. (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项公式an; (3)试比较an与Sn的大小. (1)证明 因为bn=log2an, 所以bn+1-bn=log2an+1-log2an=log2=log2q(q>0)为常数, 所以数列{bn}为等差数列且公差d=log2q. (2)解 因为b1+b3+b5=6, 所以(b1+b5)+b3=2b3+b3=3b3=6,即b3=2. 又因为a1>1, 所以b1=log2a1>0, 又因为b1·b3·b5=0,所以b5=0, 即即解得 因此Sn=4n+·(-1)=. 又因为d=log2q=-1, 所以q=,b1=log2a1=4, 即a1=16, 所以an=25-n(n∈N+). (3)解 由(2)知,an=25-n>0, 当n≥9时,Sn=≤0, 所以当n≥9时,an>Sn. 又因为a1=16,a2=8,a3=4,a4=2,a5=1,a6=, a7=,a8=, S1=4,S2=7,S3=9,S4=10,S5=10,S6=9,S7=7,S8=4, 所以当n=3,4,5,6,7,8时,an<Sn; 当n=1,2或n≥9,n∈N+时,an>Sn. 14.已知等比数列{an}的公比为q(q≠-1),记bn=am(n-1)+1+am(n-1)+2+…+am(n-1)+m,cn=am(n-1)+1·am(n-1)+2·…·am(n-1)+m(m,n∈N+),则以下结论一定正确的是(  ) A.数列{bn}为等差数列,公差为qm B.数列{bn}为等比数列,公比为q2m C.数列{cn}为等比数列,公比为qm2 D.数列{cn}为等比数列,公比为qmm 答案 C 解析 bn=am(n-1)+1·(1+q+q2+…+qm-1),由q≠-1易知bn≠0,==

2020版高中数学 第二章 数列 2.3.1 等比数列(第2课时)等比数列的性质学案(含解析)新人教B版必修5.docx

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