标签: 2020高考数学刷题首选卷第二章函数、导数及其应用考点测试12函数与方程文(含解析)  
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doc 考点测试12 函数与方程 高考概览 考纲研读 结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数 一、基础小题 1.若函数f(x)=ax+b的零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是(  ) A.0,2 B.0, C.0,- D.2,- 答案 C 解析 由题意知2a+b=0,即b=-2a.令g(x)=bx2-ax=0,得x=0或x==-. 2.若函数f(x)=ax+1在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a的取值范围是(  ) A.(1,+∞) B.(-∞,1) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,1) 答案 C 解析 由题意知,f(-1)f(1)<0,即(1-a)(1+a)<0,解得a<-1或a>1. 3.下列函数图象与x轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是(  ) 答案 C 解析 能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a,b]上连续不断,并且有f(a)·f(b)<0.A,B中不存在f(x)<0,D中函数不连续.故选C. 4.用二分法研究函数f(x)=x5+8x3-1的零点时,第一次经过计算得f(0)<0,f(0.5)>0,则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为(  ) A.(0,0.5),f(0.125) B.(0.5,1),f(0.875) C.(0.5,1),f(0.75) D.(0,0.5),f(0.25) 答案 D 解析 ∵f(x)=x5+8x3-1,f(0)<0,f(0.5)>0, ∴f(0)·f(0.5)<0,∴其中一个零点所在的区间为(0,0.5),第二次应计算的函数值为f(0.25),故选D. 5.二次函数f(x)=ax2+bx+c,若f(1)>0,f(2)<0,则f(x)在(1,2)上零点的个数为(  ) A.至多有一个 B.有一个或两个 C.有且仅有一个 D.一个也没有 答案 C 解析 ∵f(1)>0,f(2)<0,∴f(x)在(1,2)上必有零点,又∵函数为二次函数,∴有且只有一个零点. 6.函数f(x)=3x+x2-2的零点个数为(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C 解析 函数f(x)=3x+x2-2的零点个数即为函数y=3x与函数y=2-x2的图象的交点个数,由图象易知交点个数为2,则f(x)=3x+x2-2的零点个数为2,故选C. 7.已知自变量和函数值的对应值如下表: x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 … y=2x 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.063 8.0 10.556 … y=x2 0.04 0.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.76 9.0 11.56 … 则方程2x=x2的一个根位于区间(  ) A.(0.6,1.0) B.(1.4,1.8) C.(1.8,2.2) D.(2.6,3.0) 答案 C 解析 令f(x)=2x,g(x)=x2,因为f(1.8)=3.482,g(1.8)=3.24,f(2.2)=4.595,g(2.2)=4.84.令h(x)=2x-x2,则h(1.8)>0,h(2.2)<0.故选C. 8.函数f(x)=ex+2x-3的零点所在的一个区间为(  ) A.(-1,0) B.0, C.,1 D.1, 答案 C 解析 ∵f=e-2<0,f(1)=e-1>0,∴零点在,1上,故选C. 9.设函数f(x)=x3-3x,若函数g(x)=f(x)+f(t-x)有零点,则实数t的取值范围是(  ) A.(-2,2) B.(-,) C.[-2,2] D.[-,] 答案 C 解析 由题意,g(x)=x3-3x+(t-x)3-3(t-x)=3tx2-3t2x+t3-3t,当t=0时,显然g(x)=0恒成立;当t≠0时,只需Δ=(-3t2)2-4×3t×(t3-3t)≥0,化简得t2≤12,即-2≤t≤2,t≠0.综上可知,实数t的取值范围是[-2,2]. 10.若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间(  ) A.(a,b)和(b,c)内 B.(-∞,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内 答案 A 解析 易知f(a)=(a-b)(a-c),f(b)=(b-c)(b-a),f(c)=(c-a)(c-b).又a<b<c,则f(a)>0,f(b)<0,f(c)>0,又该函数是二次函数,且图象开口向上,可知两个零点分别在(a,b)和(b,c)内. 11.已知f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点比1大,一个零点比1小,则实数a的取值范围是________. 答案 (-2,1) 解析 函数f(x)的大致图象如图所示,则f(1)<0,即1+(a2-1)+a-2<0,得-2<a<1.故实数a的取值范围是(-2,1). 12.函数f(x)=有两个不同的零点,则实数a的取值范围为________. 答案  解析 由于当x≤0时,f(x)=|x2+2x-1|的图象与x轴只有1个交点,即只有1个零点,故由题意只需方程2x-1+a=0有1个正根即可,变形为2x=-2a,结合图形只需-2a>1⇒a<-即可. 二、高考小题 13.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)= g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是(  ) A.[-1,0) B.[0,+∞) C.[-1,+∞) D.[1,+∞) 答案 C 解析 画出函数f(x)的图象,再画出直线y=-x并上下移动,可以发现当直线y=-x过点A时,直线y=-x与函数f(x)的图象有两个交点,并且向下无限移动,都可以保证直线y=-x与函数f(x)的图象有两个交点,即方程f(x)=-x-a有两个解,也就是函数g(x)有两个零点,此时满足-a≤1,即a≥-1,故选C. 14.(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=(  ) A.- B. C. D.1 答案 C 解析 解法一:f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)=(x-1)2+a[ex-1+e-(x-1)]-1, 令t=x-1,则g(t)=f(t+1)=t2+a-1. ∵g(-t)=(-t)2+a(e-t+et)-1=g(t), ∴函数g(t)为偶函数. ∵f(x)有唯一零点,∴g(t)也有唯一零点. 又g(t)为偶函数,由偶函数的性质知g(0)=0, ∴2a-1=0,解得a=.故选C. 解法二:f(x)=0⇔a(ex-1+e-x+1)=-x2+2x. ex-1+e-x+1≥2 =2, 当且仅当x=1时取“=”. -x2+2x=-(x-1)2+1≤1,当且仅当x=1时取“=”. 若a>0,则a(ex-1+e-x+1)≥2a, 要使f(x)有唯一零点,则必有2a=1,即a=. 若a≤0,则f(x)的零点不唯一.故选C. 15.(2017·山东高考)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是(  ) A.(0,1]∪[2,+∞) B.(0,1]∪[3,+∞) C.(0,]∪[2,+∞) D.(0,]∪[3,+∞) 答案 B 解析 在同一直角坐标系中,分别作出函数f(x)=(mx-1)2=m22与g(x)=+m的大致图象. 分两种情形: (1)当0<m≤1时,≥1,如图①,当x∈[0,1]时,f(x)与g(x)的图象有一个交点,符合题意;   (2)当m>1时,0<<1,如图②,要使f(x)与g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点,只需g(1)≤f(1),即1+m≤(m-1)2,解得m≥3或m≤0(舍去). 综上所述,m∈(0,1]∪[3,+∞).故选B. 16.(2016·天津高考)已知函数 f(x)=(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-x恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是(  ) A. B. C.∪ D.∪ 答案 C 解析  要使函数f(x)在R上单调递减,只需解得≤a≤,因为方程|f(x)|=2-x恰有两个不相等的实数解,所以直线y=2-x与函数y=|f(x)|的图象有两个交点,如图所示. 易知y=|f(x)|的图象与x轴的交点的横坐标为-1,又≤-1≤2,故由图可知,直线y=2-x与y=|f(x)|的图象在x>0时有一个交点;当直线y=2-x与y=x2+(4a-3)x+3a(x<0)的图象相切时,设切点为(x0,y0),则整理可得4a2-7a+3=0,解得a=1(舍)或a=.而当3a≤2,即a≤时,直线y=2-x与y=|f(x)|的图象在y轴左侧有一个交点,综合可得a∈∪. 17.(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)=cos在[0,π]的零点个数为________. 答案 3 解析 ∵0≤x≤π,∴≤3x+≤.由题可知,当3x+=,3x+=,或3x+=时,f(x)=0.解得x=,,或.故函数f(x)=cos3x+在[0,π]上有3个零点. 18.(2018·天津高考)已知a>0,函数f(x)=若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是________. 答案 (4,8) 解析 设g(x)=f(x)-ax= 方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解即函数y=g(x)有两个零点,即y=g(x)的图象与x轴有2个交点,满足条件的y=g(x)的图象有以下两种情况: 情况一: 则∴4<a<8. 情况二: 则不等式组无解. 综上,满足条件的a的取值范围是(4,8). 19.(2018·浙江高考)已知λ∈R,函数 f(x)=当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是________;若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是________. 答案 (1,4) (1,3]∪(4,+∞) 解析 当λ=2时,不等式f(x)<0等价于 或即2≤x<4或1<x<2,故不等式f(x)<0的解集为(1,4). 易知函数y=x-4(x∈R)有一个零点x1=4,函数y=x2-4x+3(x∈R)有两个零点x2=1,x3=3. 在同一坐标系中作出这两个函数的图象如图,要使函数f(x)恰有2个零点,则只能有以下两种情形:①两个零点为1,3,由图可知,此时λ>4.②两个零点为1,4,由图可知,此时1<λ≤3.综上,λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞). 三、模拟小题 20.(2018·河南濮阳一模)函数f(x)=ln 2x-1的零点所在区间为(  ) A.(2,3) B.(3,4) C.(0,1) D.(1,2) 答案 D 解析 由f(x)=ln 2x-1,得函数是增函数,并且是连续函数,f(1)=ln 2-1<0,f(2)=ln 4-1>0,根据函数零点存在性定理可得,函数f(x)的零点位于区间(1,2)上,故选D. 21.(2018·安徽安庆二模)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=且f(x+1)=f(x-1),若g(x)=3-log2x,则函数F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)内的零点个数为(  ) A.3 B.2 C.1 D.0 答案 B 解析 由f(x+1)=f(x-1),知f(x)的周期是2,画出函数f(x)和g(x)的部分图象,如图所示,由图象可知f(x)与g(x)的图象有2个交点,故F(x)有2个零点.故选B. 22.(2018·沈阳质检一)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(2-x),当x∈[-2,0]时,f(x)=x-1,则在区间(-2,6)上关于x的方程f(x)-log8(x+2)=0的解的个数为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 解析 原方程等价于y=f(x)与y=log8(x+2)的图象的交点个数问题,由f(x+2)=f(2-x),可知f(x)的图象关于x=2对称,再根据f(x)是偶函数这一性质,可由f(x)在[-2,0]上的解析式,作出f(x)在(0,2)上的图象,进而作出f(x)在(-2,6)上的图象,如图所示. 再在同一坐标系下,画出y=log8(x+2)的图象,注意其图象过点(6,1),由图可知,两图象在区间(-2,6)内有三个交点,从而原方程有三个根,故选C. 23.(2018·郑州质检一)已知函数f(x)=(a∈R),若函数f(x)在R上有两个零点,则实数a的取值范围是(  ) A.(0,1] B.[1,+∞) C.(0,1) D.(-∞,1] 答案 A 解析 由于x≤0时,f(x)=ex-a在(-∞,0]上单调递增,x>0时,f(x)=2x-a在(0,+∞)上也单调递增,而函数f(x)在R上有两个零点,所以当x≤0时,f(x)=ex-a在(-∞,0]上有一个零点,即ex=a有一个根.因为x≤0,0<ex≤1,所以0<a≤1.当x>0时,f(x)=2x-a在(0,+∞)上有一个零点,即2x=a有一个根.因为x>0,2x>0,所以a>0.所以函数f(x)在R上有两个零点,则实数a的取值范围是(0,1],故选A. 24.(2019·贵阳模拟)已知定义在[-2,2]上的函数f(x)=若g(x)=f(x)-a(x+2)的图象与x轴有3个不同的交点,则实数a的取值范围是(  ) A.0, B.0, C., D.,+∞ 答案 C 解析 ∵g(x)的图象与x轴有3个不同的交点,∴y=f(x) 与y=a(x+2)的图象有3个不同的交点.作出y=f(x) 与y=a(x+2)的图象,如图所示,易知直线y=a(x+2)过定点A(-2,0),斜率为a. 当直线y=a(x+2)与y=ln (x+2)相切时是一个临界状态,设切点为(x0,y0),则解得x0=e-2,a=.又B(2,ln 4),kAB==,故≤a<.故选C.

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