标签: 2020高考数学刷题首选卷第五章不等式、推理与证明、算法初步与复数考点测试34一元二次不等式及其解法理(含解析)  
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doc 考点测试34 一元二次不等式及其解法 高考概览 考纲研读 1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系 3.会解一元二次不等式 一、基础小题 1.不等式2x2-x-3>0的解集是(  ) A.-,1 B.(-∞,-1)∪,+∞ C.-1, D.-∞,-∪(1,+∞) 答案 B 解析 2x2-x-3>0可因式分解为(x+1)(2x-3)>0,解得x>或x<-1,∴不等式2x2-x-3>0的解集是(-∞,-1)∪,+∞.故选B. 2.若不等式ax2+bx-2<0的解集为,则ab=(  ) A.-28 B.-26 C.28 D.26 答案 C 解析 ∵-2,是方程ax2+bx-2=0的两根, ∴∴∴ab=28. 3.不等式x2+ax+4<0的解集不是空集,则实数a的取值范围是(  ) A.[-4,4] B.(-4,4) C.(-∞,-4]∪[4,+∞) D.(-∞,-4)∪(4,+∞) 答案 D 解析 不等式x2+ax+4<0的解集不是空集,只需Δ=a2-16>0,∴a<-4或a>4.故选D. 4.关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a=(  ) A. B. C. D. 答案 A 解析 由x2-2ax-8a2=0的两个根为x1=-2a,x2=4a,得6a=15,所以a=. 5.若函数f(x)=的定义域为R,则实数k的取值范围是(  ) A.{k|0<k≤1} B.{k|k<0或k>1} C.{k|0≤k≤1} D.{k|k>1} 答案 C 解析 当k=0时,8>0恒成立;当k≠0时,只需 即则0<k≤1.综上,0≤k≤1. 6.不等式|x2-x|<2的解集为(  ) A.(-1,2) B.(-1,1) C.(-2,1) D.(-2,2) 答案 A 解析 由|x2-x|<2,得-2<x2-x<2, 即由①,得-1<x<2. 由②,得x∈R.所以解集为(-1,2).故选A. 7.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润.已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为(  ) A.12元 B.16元 C.12元到16元之间 D.10元到14元之间 答案 C 解析 设销售价定为每件x元,利润为y,则y=(x-8)[100-10(x-10)],依题意有(x-8)[100-10(x-10)]>320,即x2-28x+192<0,解得12<x<16,所以每件销售价应定为12元到16元之间. 8.如果二次函数y=3x2+2(a-1)x+b在区间(-∞,1]上是减函数,那么a的取值范围是(  ) A.(-∞,-2) B.(2,+∞) C.(-∞,-2] D.[2,+∞) 答案 C 解析 ∵二次函数y=3x2+2(a-1)x+b在区间(-∞,1]上是减函数,∴-≥1,解得a≤-2.故选C. 9.设函数f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=0,则关于x的不等式f(x)≤1的解集为(  ) A.(-∞,-3]∪[-1,+∞) B.[-3,-1] C.[-3,-1]∪(0,+∞) D.[-3,+∞) 答案 C 解析 当x≤0时,f(x)=x2+bx+c且f(-4)=f(0),故其对称轴为x=-=-2,∴b=4.又f(-2)=4-8+c=0,∴c=4.当x≤0时,令x2+4x+4≤1,有-3≤x≤-1;当x>0时,f(x)=-2≤1显然成立,故不等式的解集为[-3,-1]∪(0,+∞). 10.设a∈R,关于x的不等式ax2+(1-2a)x-2>0的解集有下列四个命题: ①原不等式的解集不可能为∅;②若a=0,则原不等式的解集为(2,+∞);③若a<-,则原不等式的解集为;④若a>0,则原不等式的解集为-∞,-∪(2,+∞). 其中正确命题的个数为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 解析 原不等式等价于(ax+1)(x-2)>0.当a=0时,不等式化为x-2>0,得x>2.当a≠0时,方程(ax+1)·(x-2)=0的两根分别是2和-,若a<-,解不等式得-<x<2;若a=-,不等式的解集为∅;若-<a<0,解不等式得2<x<-;若a>0,解不等式得x<-或x>2.故①为假命题,②③④为真命题. 11.若不等式-3≤x2-2ax+a≤-2有唯一解,则a的值是(  ) A.2或-1 B. C. D.2 答案 A 解析 令f(x)=x2-2ax+a,即f(x)=(x-a)2+a-a2,因为-3≤x2-2ax+a≤-2有唯一解,所以a-a2=-2,即a2-a-2=0,解得a=2或a=-1.故选A. 12.已知三个不等式:①x2-4x+3<0,②x2-6x+8<0,③2x2-9x+m<0.要使同时满足①②的所有x的值满足③,则m的取值范围为________. 答案 m≤9 解析 由①②得2<x<3,要使同时满足①②的所有x的值满足③,即不等式2x2-9x+m<0在x∈(2,3)上恒成立,即m<-2x2+9x在x∈(2,3)上恒成立,又-2x2+9x在x∈(2,3)上大于9,所以m≤9. 二、高考小题 13.(经典浙江高考)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,则(  ) A.c≤3 B.3<c≤6 C.6<c≤9 D.c>9 答案 C 解析 由得 解得则有f(-1)=c-6,由0<f(-1)≤3,得6<c≤9. 14.(2015·广东高考)不等式-x2-3x+4>0的解集为________(用区间表示). 答案 (-4,1) 解析 不等式-x2-3x+4>0等价于x2+3x-4<0,解得-4<x<1. 15.(经典江苏高考)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0,则实数m的取值范围是________. 答案  解析 由题可得f(x)<0对于x∈[m,m+1]恒成立,等价于解得-<m<0. 16.(经典四川高考)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-4x.那么,不等式f(x+2)<5的解集是________. 答案 (-7,3) 解析 当x≥0时,f(x)=x2-4x<5的解集为[0,5),又f(x)为偶函数,所以f(x)<5的解集为(-5,5).所以f(x+2)<5的解集为(-7,3). 三、模拟小题 17.(2018·温州九校联考)已知不等式ax2-5x+b>0的解集为{x|-3<x<-2},则不等式bx2-5x+a>0的解集为(  ) A.x-<x<- B.xx>-或x<- C.{x|-3<x<2} D.{x|x<-3或x>2} 答案 A 解析 由题意得解得a=-1, b=-6,所以不等式bx2-5x+a>0为-6x2-5x-1>0,即(3x+1)(2x+1)<0,所以解集为x-<x<-.故选A. 18.(2018·贵阳一模)已知函数f(x)=ln (x2-4x-a),若对任意的m∈R,均存在x0使得f(x0)=m,则实数a的取值范围是(  ) A.(-∞,-4) B.(-4,+∞) C.(-∞,-4] D.[-4,+∞) 答案 D 解析 依题意得函数f(x)的值域为R,令函数g(x)=x2-4x-a,则函数g(x)的值域取遍一切正实数,因此对方程x2-4x-a=0,有Δ=16+4a≥0,解得a≥-4.故选D. 19.(2018·湖南湘潭一中模拟)若不等式(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)<0对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是(  ) A.(1,+∞) B.(-∞,-1) C.-∞,- D.-∞,-∪(1,+∞) 答案 C 解析 ①当m=-1时,不等式化为2x-6<0,即x<3,显然不对任意实数x恒成立.②当m≠-1时,由题意得所以m<-.故选C. 20.(2018·河北石家庄二中月考)在R上定义运算☆:a☆b=ab+2a+b,则满足x☆(x-2)<0的实数x的取值范围为(  ) A.(0,2) B.(-2,1) C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-1,2) 答案 B 解析 根据定义得x☆(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2<0,解得-2<x<1,所以实数x的取值范围为(-2,1),故选B. 21.(2018·湖北沙市中学月考)已知函数f(x)=mx2-mx-1.若对于任意的x∈[1,3],f(x)<5-m恒成立,则实数m的取值范围是(  ) A.-∞, B.(-∞,1) C.(1,5) D.(1,+∞) 答案 A 解析 因为f(x)<-m+5⇔m(x2-x+1)<6,而x2-x+1>0,所以将不等式变形为m<,即不等式m<对于任意x∈[1,3]恒成立,所以只需求在[1,3]上的最小值即可.记g(x)=,x∈[1,3],记h(x)=x2-x+1=x-2+,显然h(x)在x∈[1,3]上为增函数.所以g(x)在[1,3]上为减函数,所以g(x)min=g(3)=,所以m<.故选A. 22.(2018·江西八校联考)已知定义域为R的函数f(x)在(2,+∞)上单调递减,且y=f(x+2)为偶函数,则关于x的不等式f(2x-1)-f(x+1)>0的解集为(  ) A.-∞,-∪(2,+∞) B.-,2 C.-∞,∪(2,+∞) D.,2 答案 D 解析 ∵y=f(x+2)为偶函数,∴y=f(x)的图象关于x=2对称.又∵f(x)在(2,+∞)上单调递减,∴由f(2x-1)-f(x+1)>0得f(2x-1)>f(x+1),∴|2x-1-2|<|x+1-2|,∴(2x-3)2<(x-1)2,即3x2-10x+8<0,(x-2)(3x-4)<0,解得<x<2,故选D. 23.(2018·福建漳州八校联考)对于问题:“已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-1,2),解关于x的不等式ax2-bx+c>0”,给出如下一种解法:由ax2+bx+c>0的解集为(-1,2),得a(-x)2+b(-x)+c>0的解集为(-2,1),即关于x的不等式ax2-bx+c>0的解集为(-2,1). 参考上述解法,若关于x的不等式+<0的解集为-2,-∪,1,则关于x的不等式+<0的解集为________. 答案 -3,-∪(1,2) 解析 由+<0的解集为-2,-∪,1,且+<0,即+<0, 得-2<<-或<<1, 即-3<x<-或1<x<2, 故不等式+<0的解集为-3,-∪(1,2). 一、高考大题 本考点在近三年高考中未涉及此题型. 二、模拟大题 1.(2018·黑龙江虎林一中模拟)已知f(x)=2x2+bx+c,不等式f(x)<0的解集是(0,5). (1)求f(x)的解析式; (2)若对于任意的x∈[-1,1],不等式f(x)+t≤2恒成立,求t的取值范围. 解 (1)∵f(x)=2x2+bx+c,不等式f(x)<0的解集是(0,5), ∴0和5是方程2x2+bx+c=0的两个根,由根与系数的关系知,-=5,=0, ∴b=-10,c=0,f(x)=2x2-10x. (2)f(x)+t≤2恒成立等价于2x2-10x+t-2≤0恒成立, ∴2x2-10x+t-2的最大值小于或等于0. 设g(x)=2x2-10x+t-2,则由二次函数的图象可知 g(x)=2x2-10x+t-2在区间[-1,1]上为减函数, ∴g(x)max=g(-1)=10+t,∴10+t≤0,即t≤-10. ∴t的取值范围为(-∞,-10]. 2.(2018·湖北宜昌月考)已知抛物线y=(m-1)x2+(m-2)x-1(x∈R). (1)当m为何值时,抛物线与x轴有两个交点? (2)若关于x的方程(m-1)x2+(m-2)x-1=0的两个不等实根的倒数平方和不大于2,求m的取值范围. 解 (1)根据题意,m≠1且Δ>0, 即Δ=(m-2)2-4(m-1)(-1)>0,得m2>0, 所以m≠1且m≠0. (2)在m≠0且m≠1的条件下, 因为+==m-2, 所以+=2- =(m-2)2+2(m-1)≤2. 得m2-2m≤0,所以0≤m≤2. 所以m的取值范围是{m|0<m<1或1<m≤2}. 3.(2018·辽宁沈阳月考)已知二次函数f(x)满足f(-2)=0,且2x≤f(x)≤对一切实数x都成立. (1)求f(2)的值; (2)求f(x)的解析式. 解 (1)∵2x≤f(x)≤对一切实数x都成立, ∴4≤f(2)≤4,∴f(2)=4. (2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). ∵f(-2)=0,f(2)=4, ∴⇒ ∵ax2+bx+c≥2x,即ax2-x+2-4a≥0, ∴Δ=1-4a(2-4a)≤0,即(4a-1)2≤0, 得a=,同理f(x)≤对一切实数x都成立,也解得a=, ∴当a=,满足2x≤f(x)≤, ∴a=,c=2-4a=1,故f(x)=+x+1. 4.(2018·江西八校联考)已知二次函数f(x)=mx2-2x-3,关于实数x的不等式f(x)≤0的解集为[-1,n]. (1)当a>0时,解关于x的不等式:ax2+n+1>(m+1)x+2ax; (2)是否存在实数a∈(0,1),使得关于x的函数y=f(ax)-3ax+1(x∈[1,2])的最小值为-5?若存在,求实数a的值;若不存在,说明理由. 解 (1)由不等式mx2-2x-3≤0的解集为[-1,n]知关于x的方程mx2-2x-3=0的两根为-1和n, 且m>0,由根与系数关系得 解得所以原不等式化为(x-2)(ax-2)>0. ①当0<a<1时,原不等式化为(x-2)x->0且2<,解得x<2或x>; ②当a=1时,原不等式化为(x-2)2>0,解得x∈R且x≠2; ③当a>1时,原不等式化为(x-2)x->0且2>,解得

2020高考数学刷题首选卷 第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数 考点测试34 一元二次不等式及其解法 理(含解析).docx

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