标签: 2020版高中数学第二章数列专题突破三数列通项公式的求法学案(含解析)新人教B版必修5  
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doc 专题突破三 数列通项公式的求法 求数列的通项公式,是数列问题中的一类重要题型,在数列学习和考试中占有很重要的位置,本专题就来谈谈数列通项公式的求法. 一、通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式 例1 由数列的前n项,写出通项公式: (1)3,5,3,5,3,5,…; (2),,,,,…; (3)2,,,,,…; (4),,,,,…. 解 (1)这个数列前6项构成一个摆动数列,奇数项为3,偶数项为5.所以它的一个通项公式为an=4+(-1)n,n∈N+. (2)数列中的项以分数形式出现,分子为项数,分母比分子大1,所以它的一个通项公式为an=,n∈N+. (3)数列可化为1+1,2+,3+,4+,5+,…, 所以它的一个通项公式为an=n+,n∈N+. (4)数列可化为,,,,,…, 所以它的一个通项公式为an=,n∈N+. 反思感悟 这类数列通常是由基本数列如等差数列、等比数列通过加减乘除运算得到,故解决这类问题可以根据所给数列的特点(递增及增长速度、递减及递减速度、是否摆动数列)联想基本数列,再考察它与基本数列的关系.需要注意的是,对于无穷数列,利用前若干项归纳出的通项公式属于“猜想”,而且表达式不一定唯一. 跟踪训练1 由数列的前几项,写出通项公式: (1)1,-7,13,-19,25,…; (2),,,,,…; (3)1,-,,-,…. 解 (1)数列每一项的绝对值构成一个以1为首项,6为公差的等差数列,且奇数项为正,偶数项为负,所以它的一个通项公式为an=(-1)n+1(6n-5),n∈N+. (2)数列化为,,,,,…,分子,分母分别构成等差数列,所以它的一个通项公式为an=,n∈N+. (3)数列化为,-,,-,…, 所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1,n∈N+. 二、利用递推公式求通项公式 命题角度1 累加、累乘 例2 (1)数列{an}满足a1=1,对任意的n∈N+都有an+1=a1+an+n,求通项公式; (2)已知数列{an}满足a1=,an+1=an,求an. 解 (1)∵an+1=an+n+1,∴an+1-an=n+1, 即a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n(n≥2).等式两边同时相加得an-a1=2+3+4+…+n(n≥2). 即an=a1+2+3+4+…+n=1+2+3+4+…+n=. 又a1=1也适合上式,∴an=,n∈N+. (2)由条件知=,分别令n=1,2,3,…,n-1, 代入上式得(n-1)个等式,累乘,即···…·=×××…×(n≥2). ∴=,又∵a1=,∴an=. 又a1=也适合上式,∴an=,n∈N+. 反思感悟 形如an+1=an+f(n)的递推公式求通项可以使用叠加法,步骤如下: 第一步 将递推公式写成an+1-an=f(n); 第二步 当n≥2时,依次写出an-an-1,…,a2-a1,并将它们叠加起来; 第三步 得到an-a1的值,解出an; 第四步 检验a1是否满足所求通项公式,若成立,则合并;若不成立,则写出分段形式.叠乘法类似. 跟踪训练2 在数列{an}中,a1=1,an-an-1=n-1(n=2,3,4,…),求{an}的通项公式. 解 ∵当n=1时,a1=1, 当n≥2时,这n-1个等式累加得, an-a1=1+2+…+(n-1)=, 故an=+a1=且a1=1也满足该式, ∴an=(n∈N+). 命题角度2 构造等差(比)数列 例3 已知数列{an}满足an+1=3an+2,且a1=1,则an=________. 答案 2×3n-1-1 解析 设an+1+A=3(an+A),化简得an+1=3an+2A. 又an+1=3an+2,∴2A=2,即A=1. ∴an+1+1=3(an+1),即=3. ∴数列{an+1}是等比数列,首项为a1+1=2,公比为3. 则an+1=2×3n-1,即an=2×3n-1-1. 反思感悟 形如an+1=pan+q(其中p,q为常数,且pq(p-1)≠0)可用待定系数法求得通项公式,步骤如下: 第一步 假设递推公式可改写为an+1+t=p(an+t); 第二步 由待定系数法,解得t=; 第三步 写出数列的通项公式; 第四步 写出数列{an}通项公式. 跟踪训练3 已知数列{an}满足an+1=2an+3×5n,a1=6,求数列{an}的通项公式. 解 设an+1+λ×5n+1=2(an+λ×5n), ① 将an+1=2an+3×5n代入①式, 得2an+3×5n+λ×5n+1=2an+2λ×5n, 等式两边消去2an,得3×5n+λ×5n+1=2λ×5n, 两边除以5n,得3+5λ=2λ,则λ=-1, 代入①式得an+1-5n+1=2(an-5n). ② 由a1-51=6-5=1≠0及②式得an-5n≠0, 则=2, 则数列{an-5n}是以1为首项,2为公比的等比数列, 则an-5n=2n-1,故an=2n-1+5n(n∈N+). 命题角度3 预设阶梯转化为等差(比)数列 例4 在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N+. (1)证明:数列{an-n}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明 由an+1=4an-3n+1, 得an+1-(n+1)=4(an-n),n∈N+. 因为a1-1=1≠0,所以an-n≠0,所以=4, 所以数列{an-n}是首项为1,公比为4的等比数列. (2)解 由(1),可知an-n=4n-1,n∈N+, 于是数列{an}的通项公式为an=4n-1+n,n∈N+. 反思感悟 课程标准对递推公式要求不高,故对递推公式的考查也比较简单,一般先构造好等差(比)数列让学者证明,再在此基础上求出通项公式,故同学们不必在此处挖掘过深. 跟踪训练4 在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N+). (1)证明:数列是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明 由3anan-1+an-an-1=0(n≥2), 整理得-=3(n≥2), 所以数列是以1为首项,3为公差的等差数列. (2)解 由(1)可得=1+3(n-1)=3n-2, 所以an=,n∈N+. 三、利用前n项和Sn与an的关系求通项公式 例5 已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an-4,n∈N+,则an等于(  ) A.2n+1B.2nC.2n-1D.2n-2 答案 A 解析 因为Sn=2an-4,所以n≥2时,Sn-1=2an-1-4,两式相减可得Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-2an-1,整理得an=2an-1,因为S1=a1=2a1-4,即a1=4,所以=2.所以数列{an}是首项为4,公比为2的等比数列,则an=4×2n-1=2n+1,故选A. 反思感悟 已知Sn=f(an)或Sn=f(n)的解题步骤: 第一步 利用Sn满足条件p,写出当n≥2时,Sn-1的表达式; 第二步 利用an=Sn-Sn-1(n≥2),求出an或者转化为an的递推公式的形式; 第三步 若求出n≥2时的{an}的通项公式,则根据a1=S1求出a1,并代入n≥2时的{an}的通项公式进行验证,若成立,则合并;若不成立,则写出分段形式.如果求出的是{an}的递推公式,则问题化归为例3形式的问题. 跟踪训练5 在数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=an+1(n∈N+),求数列{an}的通项公式an. 解 由a1+2a2+3a3+…+nan=an+1,得 当n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=an, 两式作差得nan=an+1-an, 得(n+1)an+1=3nan(n≥2), 即数列{nan}从第二项起是公比为3的等比数列,且a1=1,a2=1,于是2a2=2,故当n≥2时,nan=2·3n-2. 于是an= 1.已知数列的前4项为2,0,2,0,则依此归纳该数列的通项不可能是(  ) A.an=(-1)n-1+1 B.an= C.an=2sin D.an=cos(n-1)π+1 答案 C 解析 对n=1,2,3,4进行验证,知an=2sin不合题意,故选C. 2.数列0,,,,…的一个通项公式为(  ) A.an=(n∈N+) B.an=(n∈N+) C.an=(n∈N+) D.an=(n∈N+) 答案 C 解析 注意到分子0,2,4,6都是偶数,对照选项排除即可. 3.已知数列{an}满足a1=1,an=an-1(n≥2),则an=________. 答案  解析 因为an=an-1(n≥2), 所以an-1=an-2,…,a2=a1. 以上(n-1)个式子相乘得 an=a1···…·==. 当n=1时,a1=1也满足an=. 综上an=. 4.数列{an}的前n项和为Sn=n2+3n+1,n∈N+,则它的通项公式为________. 答案 an= 解析 当n=1时,a1=S1=5; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+2. 故数列{an}的通项公式为an= 5.在等比数列{an}中,若公比q=4,且前三项之和等于21,则该数列的通项公式是________. 答案 an=4n-1 解析 依题意a1+4a1+42a1=21, 所以a1=1, 所以an=a1qn-1=4n-1. 6.已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n.求{an}的通项公式. 解 因为Sn=2n2-3n, 所以当n≥2时, Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)=2n2-7n+5, 所以an=Sn-Sn-1=4n-5,n≥2, 又当n=1时,a1=S1=-1,满足an=4n-5, 所以an=4n-5,n∈N+. 7.已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.证明{an}是等比数列,并求其通项公式. 解 由题意得a1=S1=1+λa1,故λ≠1,a1=,a1≠0. 由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1, 得an+1=λan+1-λan, 即an+1(λ-1)=λan. 由a1≠0,λ≠0得an≠0, 所以=. 所以{an}是首项为,公比为的等比数列, 所以an=n-1,n∈N+. 一、选择题 1.已知数列{an}中,a1=2,an+1=an+2n(n∈N+),则a100的值是(  ) A.9900B.9902C.9904D.11000 答案 B 解析 a100=(a100-a99)+(a99-a98)+…+(a2-a1)+a1 =2(99+98+…+2+1)+2 =2×+2=9 902. 2.已知数列{an}中,a1=1,an+1=,则这个数列的第n项为(  ) A.2n-1B.2n+1C.D. 答案 C 解析 ∵an+1=,a1=1,∴-=2. ∴为等差数列,公差为2,首项=1. ∴=1+(n-1)·2=2n-1, ∴an=. 3.已知数列{an}的首项为a1=1,且满足an+1=an+,则此数列的通项公式an等于(  ) A.2nB.n(n+1)C.D. 答案 C 解析 ∵an+1=an+,∴2n+1an+1=2nan+2, 即2n+1an+1-2nan=2. 又21a1=2, ∴数列{2nan}是以2为首项,2为公差的等差数列, ∴2nan=2+(n-1)×2=2n, ∴an=. 4.已知数列{an}满足a=a+4,且a1=1,an>0,则an等于(  ) A.B.C.D.8n 答案 A 解析 ∵a-a=4, ∴数列{a}是等差数列,且首项a=1,公差d=4, ∴a=1+(n-1)·4=4n-3. 又an>0,∴an=. 5.已知数列{an}满足:Sn=1-an(n∈N+),其中Sn为数列{an}的前n项和,则{an}的通项公式an等于(  ) A.B.nC.21-2nD.2n 答案 B 解析 因为Sn=1-an, ① 所以Sn+1=1-an+1, ② ②-①得an+1=-an+1+an,所以an+1=an. n=1时,a1=1-a1,解得a1=, 所以{an}是首项为,公比为的等比数列, 所以an=·n-1=n. 6.某种细胞开始时有2个,一小时后分裂为4个并死去1个,两小时后分裂为6个并死去1个,……,按照这种规律进行下去,100小时后细胞的存活数为(  ) A.2100-1B.2100+1C.299-1D.299+1 答案 B 解析 由题意得∴=2, ∴an=2n-1+1,∴a101=2101-1+1=2100+1. 二、填空题 7.如果数列{an}的前n项和Sn=2an-1,则此数列的通项公式an=________. 答案 2n-1 解析 当n=1时,S1=2a1-1,∴a1=2a1-1,∴a1=1. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1), ∴an=2an-1,∴{an}是首项为1,公比为2的等比数列, ∴an=2n-1,n∈N+. 8.等比数列{an}中,a1,a2,a3分别是下表一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 则数列{an}的通项公式为________. 答案 an=2·3n-1 解析 当a1=3时,不合题意; 当a1=2时,当且仅当a2=6,a3=18时,符合题意; 当a1=10时,不合题意. 因此a1=2,a2=6,a3=18. 所以公比q=3,故an=2·3n-1. 9.在数列{an}中,a1=1,an+1=an,则数列{an}的通项公式an=________. 答案 n 解析 当n≥2时,an=··…···a1=··…··=n, n=1时,a1=1也符合此式. 10.数列{an}满足a1=1,an-an-1=(n≥2且n∈N+),则数列{an}的通项公式为

2020版高中数学 第二章 数列 专题突破三 数列通项公式的求法学案(含解析)新人教B版必修5.docx

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