标签: 2020版高中数学第二章数列阶段训练三(含解析)新人教B版必修5  
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doc 阶段训练三 (范围:§2.1~§2.3) 一、选择题 1.在等比数列{an}中,a4·a8=2,a2+a10=3,则等于(  ) A.2B.C.2或D.-2或- 答案 C 解析 设数列{an}的公比为q.由等比数列的性质可得a2·a10=2,又a2+a10=3,所以a2=1,a10=2或a2=2,a10=1,所以q8=2或q8=,所以=2或=. 2.设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q等于(  ) A.3B.4C.5D.6 答案 B 解析 3S3-3S2=3a3=a4-a3⇒a4=4a3⇒q=4. 3.(2018·全国Ⅰ)设Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5等于(  ) A.-12B.-10C.10D.12 答案 B 解析 方法一 设等差数列{an}的公差为d,∵3S3=S2+S4,∴3=2a1+d+4a1+d,解得d=-a1.∵a1=2,∴d=-3,∴a5=a1+4d=2+4×(-3)=-10. 方法二 设等差数列{an}的公差为d,∵3S3=S2+S4,∴3S3=S3-a3+S3+a4,∴S3=a4-a3,∴3a1+d=d.∵a1=2,∴d=-3,∴a5=a1+4d=2+4×(-3)=-10. 4.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和,已知a2a4=1,S3=7,则S5等于(  ) A.B.C.D. 答案 B 解析 ∵{an}是由正数组成的等比数列,且a2a4=1, ∴设{an}的公比为q,则q>0,且a=1,即a3=1. ∵S3=7,∴a1+a2+a3=++1=7, 即6q2-q-1=0. 故q=或q=-(舍去),∴a1==4. ∴S5===8=. 5.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯(  ) A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏 答案 B 解析 由题意可知,塔每一层的灯数由上至下构成等比数列.设塔的顶层的灯数为a1,七层塔的总灯数为S7,公比为q,则由题意知S7=381,q=2, ∴S7===381,解得a1=3. 6.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于(  ) A.16B.26C.30D.80 答案 C 解析 由题意得q>0且q≠1,因为Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比数列. 设S2n=x(x>0),则2,x-2,14-x成等比数列,(x-2)2=2(14-x),解得x=6. 由S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比数列,可得(6-2)×(S4n-14)=(14-6)2,解得S4n=30. 7.已知公差d不为零的等差数列{an}的首项,a1=50,a7,a15,a17成等比数列,则使{an}的前n项和Sn取得最大值的n的值为(  ) A.16B.17C.18D.19 答案 B 解析 由题意可知a=a7a17,即(50+14d)2=(50+6d)(50+16d),解得d=-3或d=0(舍去),则Sn=50n+n(n-1)·(-3)==-2+,因为n为整数,所以当n=17时,Sn取得最大值,故选B. 8.已知等差数列{an}中,Sn是它的前n项和.若S16>0,且S17<0,则当Sn最大时n的值为(  ) A.8B.9C.10D.16 答案 A 解析 ∵S16==8(a8+a9)>0,∴a8+a9>0,即a8>-a9. ∵S17==17a9<0,∴a9<0,a8>-a9>0,则当n=8时,Sn最大,故选A. 二、填空题 9.数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1,则它的通项公式是________________________. 答案 an= 解析 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5, 当n=1时,a1=S1=3×12-2×1+1=2,不符合上式, ∴an= 10.已知等差数列{an}中,a1=29,S10=S20,则这个数列的前n项和最大时n=________. 答案 15 解析 方法一 设数列{an}的公差为d, ∵S10=S20,∴10×29+d=20×29+d, 解得d=-2,∴an=-2n+31, 设这个数列的前n项和最大, 则需即 ∴14.5≤n≤15.5,∵n∈N+,∴n=15. 方法二 设数列{an}的公差为d, ∵S10=S20,∴10×29+d=20×29+d, 解得d=-2. 等差数列{an}的前n项和Sn=n2+(a1-)n是关于n的不含常数项的二次函数,根据其图象的对称性,由S10=S20,知n==15是其对称轴, 由d=-2知二次函数的图象开口向下, 故n=15时Sn最大. 11.已知an=2n,bn=,则{bn}的前n项和Tn=__________________. 答案  解析 =, Tn= = =. 三、解答题 12.(2018·全国Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15. (1)求{an}的通项公式; (2)求Sn,并求Sn的最小值. 解 (1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2. 所以{an}的通项公式为an=2n-9(n∈N+). (2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16. 所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16. 13.设数列{an}前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N+. (1)求a1的值; (2)求数列{an}的通项公式. 解 (1)当n=1时,T1=2S1-1, ∵T1=S1=a1,所以a1=2a1-1,求得a1=1. (2)当n≥2时,Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-[2Sn-1-(n-1)2]=2Sn-2Sn-1-2n+1, ∴Sn=2Sn-1+2n-1,① ∴Sn+1=2Sn+2n+1,② ②-①得an+1=2an+2, ∴an+1+2=2(an+2),求得a1+2=3,a2+2=6, ∴an+2≠0.∴=2(n≥2). 又=2,也满足上式, ∴{an+2}是以3为首项,2为公比的等比数列. ∴an+2=3·2n-1,∴an=3·2n-1-2,n∈N+. 14.已知{an}是首项为32的等比数列,Sn是其前n项和,且=,则数列{|log2an|}的前10项和为________. 答案 58 解析 根据题意==q3,所以q=,从而有an=32·n-1=27-2n,所以log2an=7-2n,所以有|log2an|=|2n-7|,所以数列的前10项和为5+3+1+1+3+5+7+9+11+13=+=58. 15.在等比数列{an}中,an>0 (n∈N+),公比q∈(0,1),且a1a5+2a3a5+a2a8=25,又a3与a5的等比中项为2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=log2an,数列{bn}的前n项和为Sn,当++…+最大时,求n的值. 解 (1)∵a1a5+2a3a5+a2a8=25, ∴a+2a3a5+a=25, 又an>0,∴a3+a5=5. 又a3与a5的等比中项为2, ∴a3a5=4,而q∈(0,1), ∴a3>a5,∴a3=4,a5=1. ∴q=,a1=16,∴an=16×()n-1=25-n. (2)bn=log2an=5-n, ∴bn+1-bn=-1, ∴{bn}是以b1=4为首项,-1为公差的等差数列, ∴Sn=,∴=, ∴当n≤8时,>0; 当n=9时,=0; 当n>9时,<0. ∴当n=8或9时,+++…+最大.

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