标签: 2020版高中数学第四章导数应用2.2最大值、最小值问题(第1课时)函数的最值与导数学案(含解析)北师大版选修1-1  
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doc 第1课时 函数的最值与导数 学习目标 1.理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值. 知识点一 函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值 函数f(x)在闭区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线,则该函数在[a,b]上一定能够取得最大值与最小值,函数的最值必在端点处或极值点处取得. 特别提醒:(1)闭区间上的连续函数一定有最值,开区间内的连续函数不一定有最值.若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值. (2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念. (3)函数y=f(x)在[a,b]上连续,是函数y=f(x)在[a,b]上有最大值或最小值的充分不必要条件. 知识点二 求函数y=f(x)在[a,b]上的最值的步骤 (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值. (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 知识点三 最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言,最值是对函数的定义区间的整体而言. (2)在函数的定义区间内,极大(小)值可能有多个,但最大(小)值只有一个(或者没有). (3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点,而最值点可以是区间的端点. (4)对于可导函数,函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得. 如图是y=f(x)在区间[a,b]上的函数图像,显然f(x1),f(x3),f(x5)为极大值,f(x2),f(x4),f(x6)为极小值.最大值y=M=f(x3)=f(b)分别在x=x3及x=b处取得,最小值y=m=f(x4)在x=x4处取得. 1.函数的最大值一定是函数的极大值.( × ) 2.开区间上的单调连续函数无最值.( √ ) 3.函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得.( × ) 题型一 求函数的最值 命题角度1 不含参数的函数求最值 例1 求下列函数的最值: (1)f(x)=2x3-12x,x∈[-2,3]; (2)f(x)=x+sinx,x∈[0,2π]. 考点 利用导数求函数的最值 题点 不含参数的函数求最值 解 (1)因为f(x)=2x3-12x, 所以f′(x)=6x2-12=6(x+)(x-), 令f′(x)=0,解得x=-或x=. 因为f(-2)=8,f(3)=18,f()=-8, f(-)=8; 所以当x=时,f(x)取得最小值-8; 当x=3时,f(x)取得最大值18. (2)f′(x)=+cosx,令f′(x)=0,又x∈[0,2π], 解得x=或x=. 因为f(0)=0,f(2π)=π,f=+, f=-. 所以当x=0时,f(x)有最小值0; 当x=2π时,f(x)有最大值π. 反思感悟 求解函数在固定区间上的最值,需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导,并检验f′(x)=0的根是否在给定区间内. (2)研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值. (3)比较极值与端点函数值大小,确定最值. 跟踪训练1 求函数f(x)=ex(3-x2),x∈[2,5]的最值. 考点 利用导数求函数的最值 题点 不含参数的函数求最值 解 ∵f(x)=3ex-exx2, ∴f′(x)=3ex-(exx2+2exx)=-ex(x2+2x-3) =-ex(x+3)(x-1). ∵在区间[2,5]上,f′(x)=-ex(x+3)(x-1)<0, ∴函数f(x)在区间[2,5]上是减少的, ∴当x=2时,函数f(x)取得最大值f(2)=-e2; 当x=5时,函数f(x)取得最小值f(5)=-22e5. 命题角度2 含参数的函数求最值 例2 已知函数f(x)=(x-k)ex. (1)求f(x)的单调区间; (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值. 考点 含参数的函数最值问题 题点 含参数的函数求最值 解 (1)由f(x)=(x-k)ex,得f′(x)=(x-k+1)ex, 令f′(x)=0,得x=k-1. 当x变化时,f(x)与f′(x)的变化情况如下表: x (-∞,k-1) k-1 (k-1,+∞) f′(x) - 0 + f(x) ↘ -ek-1 ↗ 所以,f(x)的递减区间是(-∞,k-1);递增区间是(k-1,+∞). (2)当k-1≤0,即k≤1时,函数f(x)在[0,1]上是增加的. 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k, 当0<k-1<1,即1<k<2时, 由(1)知f(x)在[0,k-1)上是减少的,在(k-1,1]上是增加的, 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)=-ek-1. 当k-1≥1,即k≥2时,函数f(x)在[0,1]上是减少的. 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e. 综上可知,当k≤1时,f(x)min=-k; 当1<k<2时,f(x)min=-ek-1; 当k≥2时,f(x)min=(1-k)e. 反思感悟 对参数进行讨论,其实质是讨论导函数大于0,等于0,小于0三种情况.若导函数恒不等于0,则函数在已知区间上是单调函数,最值在端点处取得;若导函数可能等于0,则求出极值点后求极值,再与端点值比较后确定最值. 跟踪训练2 已知a为常数,求函数f(x)=-x3+3ax(0≤x≤1)的最大值. 考点 含参数的函数的最值问题 题点 含参数的函数求最值 解 f′(x)=-3x2+3a=-3(x2-a). 若a≤0,则f′(x)≤0,函数f(x)在[0,1]上是减少的, 所以当x=0时,f(x)有最大值f(0)=0; 若a>0,则令f′(x)=0,解得x=±. 由x∈[0,1],则只考虑x=的情况. ①当0<<1,即0<a<1时, 当x变化时,f′(x),f(x)随x的变化情况如下表: x (0,) (,1) f′(x) + 0 - f(x) ↗ 2a ↘ 故f(x)max=f()=2a; ②当≥1,即a≥1时,f′(x)≥0,函数f(x)在[0,1]上是增加的,当x=1时,f(x)有最大值f(1)=3a-1. 综上,当a≤0,x=0时,f(x)有最大值0; 当0<a<1,x=时,f(x)有最大值2a; 当a≥1,x=1时,f(x)有最大值3a-1. 题型二 由函数的最值求参数 例3 已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值. 考点 含参数的函数最值问题 题点 知最值求参数 解 由题设知a≠0,否则f(x)=b为常函数,与题设矛盾. 求导得f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4), 令f′(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去). ①若a>0,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x -1 (-1,0) 0 (0,2) 2 f′(x) + 0 - f(x) -7a+b ↗ b ↘ -16a+b 由表可知,当x=0时,f(x)取得极大值b,也是函数f(x)在[-1,2]上的最大值,∴f(0)=b=3. 又f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3<f(-1), ∴f(2)=-16a+3=-29,解得a=2. ②若a<0,同理可得,当x=0时,f(x)取得极小值b,也是函数在[-1,2]上的最小值,∴f(0)=b=-29. 又f(-1)=-7a-29,f(2)=-16a-29>f(-1), ∴f(2)=-16a-29=3,解得a=-2. 综上可得,a=2,b=3或a=-2,b=-29. 反思感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维,一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,探索最值点,根据已知最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分类讨论思想的应用. 跟踪训练3 设<a<1,函数f(x)=x3-ax2+b(-1≤x≤1)的最大值为1,最小值为-,求a,b的值. 考点 含参数的函数最值问题 题点 知最值求参数 解 令f′(x)=3x2-3ax=0,得x1=0,x2=a. 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x -1 (-1,0) 0 (0,a) a (a,1) 1 f′(x) + 0 - 0 + f(x) -1-a+b ↗ b ↘ -+b ↗ 1-a+b 由表可知,f(x)的极大值为f(0)=b,极小值为f(a)=b-,而f(0)>f(a),f(1)>f(-1),故需比较f(0)与f(1)及f(-1)与f(a)的大小. 因为f(0)-f(1)=a-1>0, 所以f(x)的最大值为f(0)=b=1. 又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)<0, 所以f(x)的最小值为f(-1)=-1-a+b=-a, 所以-a=-,a=, 所以a=,b=1. 1.函数f(x)=-x2+4x+7在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是(  ) A.f(2),f(3) B.f(3),f(5) C.f(2),f(5) D.f(5),f(3) 考点 利用导数求函数的最值 题点 不含参数的函数求最值 答案 B 解析 ∵f′(x)=-2x+4, ∴当x∈[3,5]时,f′(x)<0, 故f(x)在[3,5]上是减少的, 故f(x)的最大值和最小值分别是f(3),f(5). 2.函数f(x)=x3-3x(|x|<1)(  ) A.有最大值,但无最小值 B.有最大值,也有最小值 C.无最大值,但有最小值 D.既无最大值,也无最小值 考点 函数最值的应用 题点 最值存在性问题 答案 D 解析 f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,所以f(x)在(-1,1)上是减少的,无最大值和最小值,故选D. 3.函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是(  ) A.[0,1) B.(0,1) C.(-1,1) D. 考点 函数最值的应用 题点 最值存在性问题 答案 B 解析 ∵f′(x)=3x2-3a,令f′(x)=0,可得a=x2, ∴a>0, 又∵x∈(0,1),∴0<a<1,故选B. 4.设M,m分别是函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值,若M=m,则f′(x)=________. 答案 0 解析 因为f(x)在[a,b]上的最大值与最小值相等, 所以f(x)在[a,b]上为常函数,f′(x)=0. 5.函数f(x)=x3-x2-2x+5,若对于任意x∈[-1,2],都有f(x)<m,则实数m的取值范围是________. 答案 (7,+∞) 解析 f′(x)=3x2-x-2, 令f′(x)=0,得x=-或x=1. 可求得f(x)max=f(2)=7, 所以对于任意x∈[-1,2],f(x)<m恒成立时,m>7. 1.求函数在闭区间上的最值,只需比较极值和端点处的函数值即可;若函数在一个开区间内只有一个极值,则这个极值就是最值. 2.已知最值求参数时,可先确定参数的值,用参数表示最值时,应分类讨论. 一、选择题 1.函数y=x-sinx,x∈的最大值是(  ) A.π-1B.-1C.πD.π+1 考点 利用导数求函数的最值 题点 不含参数的函数求最值 答案 C 解析 y′=1-cosx≥0,故y=x-sinx在上是增加的,所以当x=π时,ymax=π. 2.函数f(x)=在[2,4]上的最小值为(  ) A.0 B. C. D. 答案 C 解析 f′(x)==,当x∈[2,4]时,f′(x)<0,即函数f(x)在[2,4]上是减少的,故当x=4时,函数f(x)有最小值. 3.已知函数f(x),g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且f′(x)<g′(x),则f(x)-g(x)的最大值为(  ) A.f(a)-g(a) B.f(b)-g(b) C.f(a)-g(b) D.f(b)-g(a) 考点 利用导数求函数的最值 题点 不含参数的函数求最值 答案 A 解析 令F(x)=f(x)-g(x),∵f′(x)<g′(x), ∴F′(x)=f′(x)-g′(x)<0, ∴F(x)在[a,b]上是减少的, ∴F(x)max=F(a)=f(a)-g(a). 4.已知函数y=-x2-2x+3在区间[a,2]上的最大值为,则a等于(  ) A.- B. C.- D.或- 考点 含参数的最值问题 题点 已知最值求参数 答案 C 解析 当a≤-1时,最大值为4,不符合题意. 当-1<a<2时,f(x)在[a,2]上是减少的, 所以f(x)max=f(a), 即-a2-2a+3=, 解得a=-或a=-(舍去). 5.函数f(x)=x3-mx2+1在[-2,-1]上的最大值就是f(x)的极大值,则m的取值范围为(  ) A.(-6,-3) B.[-6,-3] C. D. 考点 函数最值的问题 题点 最值存在性问题 答案 D 解析 f′(x)=3x2-2mx=3x, 令f′(x)=0,得x1=0,x2=, 由题意知m<0,f(x)max=f, ∴-2≤m≤-1,即-3≤m≤-. 6.函数f(x)=ex-x在区间[-1,1]上的最大值是(  ) A.1+ B.1 C.e-1 D.e+1 考点 利用导数求函数的最值 题点 不含参数的函数求最值 答案 C 解析 由题意得f′(x)=ex-1. 令f′(x)=0,得x=0. 当x∈[-1,0)时,f′(x)<0; 当x∈(0,1]时,f′(x)>0. 所以f(x)在[-1,0)上是减少的,在(0,1]上是增加的. 又因为f(-1)=+1,f(1)=e-1, 所以f(-1)-f(1)=2+-e<0, 所以f(-1)<f(1). 所以f(x)max=f(1)=e-1. 7

2020版高中数学 第四章 导数应用 2.2 最大值、最小值问题(第1课时)函数的最值与导数学案(含解析)北师大版选修1 -1.docx

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