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doc 阶段训练一 (范围:§1.1~§1.3) 一、选择题 1.已知命题p:若a<1,则a2<1,则下列说法正确的是(  ) A.命题p是真命题 B.命题p的逆命题是真命题 C.命题p的否命题是“若a<1,则a2≥1” D.命题p的逆否命题是“若a2≥1,则a<1” 答案 B 解析 若a=-2,则(-2)2>1,∴命题p为假命题, ∴A不正确; 命题p的逆命题是“若a2<1,则a<1”,为真命题, ∴B正确; 命题p的否命题是“若a≥1,则a2≥1”,∴C不正确; 命题p的逆否命题是“若a2≥1,则a≥1”,∴D不正确. 故选B. 2.下列命题中为真命题的是(  ) A.若x≠0,则x+≥2 B.命题“若x2=1,则x=1或x=-1”的逆否命题为“若x≠1且x≠-1,则x2≠1” C.“a=1”是“直线x-ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件 D.若命题p:∃x∈R,x2-x+1<0,则綈p:∀x∈R,x2-x+1>0 考点 命题的概念 题点 判断命题的真假 答案 B 解析 选项A中,当x为负数时,不等式不成立,错误;选项B中,根据逆否命题的关系知其是正确的;选项C中,由两直线垂直可得1-a2=0,即a=±1,则“a=1”是两直线垂直的充分不必要条件,错误;选项D中,求含有一个量词的命题的否定时,要特别注意不等号的变化,错误. 3.已知p和q是两个命题,若綈p是綈q的必要不充分条件,则p是q的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点 充分、必要条件的概念及判断 题点 充分不必要条件的判断 答案 A 解析 根据逆否命题的等价性知,若綈p是綈q的必要不充分条件,则q是p的必要不充分条件,即p是q的充分不必要条件,故选A. 4.给出下列三个命题: ①“若x2+2x-3≠0,则x≠1”为假命题; ②若p∧q为假命题,则p,q均为假命题; ③命题p:∀x∈R,2x>0,则綈p:∃x∈R,2x≤0. 其中正确的个数是(  ) A.0B.1C.2D.3 答案 B 解析 ①命题“若x=1,则x2+2x-3=0”,是真命题,所以其逆否命题亦为真命题,因此①不正确;②不正确.③根据含量词的命题的否定方式,可知命题③正确. 5.“x>1”是“成立”的(  ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 由x>1,得x+2>3,则,充分性成立.由,得x+2>1,即x>-1,必要性不成立.故“x>1”是“成立”的充分不必要条件.故选B. 6.已知p:|x+1|>2,q:5x-6>x2,则綈p是綈q的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点 充分、必要条件的概念及判断 题点 充分不必要条件的判断 答案 A 7.已知命题p:∃x∈R,mx2+1≤0,命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0.若p∧q为真命题,则实数m的取值范围是(  ) A.(-∞,-2) B.[-2,0) C.(-2,0) D.(0,2) 考点 “p∧q”形式命题真假性的判断 题点 由“p∧q”形式命题的真假求参数的取值范围 答案 C 解析 由题意可知,若p∧q为真命题,则命题p和命题q均为真命题.命题p为真命题,则m<0.命题q为真命题,则m2-4<0,即-2<m<2.所以当命题p和命题q均为真命题时,实数m的取值范围是(-2,0).故选C. 8.设a,b都是非零向量,则在下列四个条件中,使=成立的充分条件是(  ) A.|a|=|b|且a∥b B.a=-b C.a∥b D.a=2b 答案 D 解析 对于A,当a∥b且|a|=|b|时,可能有a=-b,此时≠;对于B,当a=-b时,≠;对于C,当a∥b时,与可能不相等;对于D,当a=2b时,==.综上所述,使=成立的充分条件是a=2b,故选D. 二、填空题 9.已知p:x2+2x-3>0;q:>1.若“(綈q)∧p”为真命题,则x的取值范围是________________________________________________________________________. 考点 简单逻辑联结词的综合应用 题点 由含量词的复合命题的真假求参数的范围 答案 (-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞) 解析 因为“(綈q)∧p”为真,所以q假p真. 而当q为真命题时,有<0,即2<x<3, 所以当q为假命题时,有x≥3或x≤2; 当p为真命题时,由x2+2x-3>0, 解得x>1或x<-3, 由 解得x<-3或1<x≤2或x≥3. 10.已知函数f(x)=x2+mx+1,若命题“∃x>0,f(x)<0”为真,则m的取值范围是________. 答案 (-∞,-2) 解析 因为函数f(x)=x2+mx+1的图象过点(0,1), 所以若命题“∃x>0,f(x)<0”为真, 则函数f(x)=x2+mx+1的图象的对称轴必在y轴的右侧,且与x轴有两个交点, 所以Δ=m2-4>0,且->0, 所以m<-2,即m的取值范围是(-∞,-2). 11.已知条件p:x2-3x-4≤0,条件q:|x-3|≤m,若綈q是綈p的充分不必要条件,则实数m的取值范围是________. 考点 充分、必要条件的概念及判断 题点 由充分、必要条件求取值范围 答案 [4,+∞) 解析 由x2-3x-4≤0,得-1≤x≤4, 若|x-3|≤m有解, 则m>0(m=0时不符合已知条件), 则-m≤x-3≤m, 得3-m≤x≤3+m, 设A={x|-1≤x≤4},B={x|3-m≤x≤3+m}. ∵綈q是綈p的充分不必要条件, ∴p是q的充分不必要条件, ∴p⇒q成立,但q⇒p不成立,即AB, 则或 即或得m≥4, 故m的取值范围是[4,+∞). 三、解答题 12.判断下列各题中p是q的什么条件. (1)p:ax2+ax+1>0的解集为R,q:0<a<4; (2)p:AB,q:A∪B=B. 考点 充分、必要条件的概念及判断 题点 充分、必要条件的判断 解 (1)∵当0<a<4时,Δ=a2-4a<0, ∴当0<a<4时,ax2+ax+1>0恒成立,故q⇒p. 而当a=0时,ax2+ax+1>0恒成立,∴p⇏q, ∴p是q的必要不充分条件. (2)∵AB⇒A∪B=B,∴p⇒q. 而当A∪B=B时,A⊆B,即q⇏p, ∴p是q的充分不必要条件. 13.设集合A={x|-1≤x≤7},B={x|n+1≤x≤2n-3},若“B是A的子集”是真命题,求实数n的取值范围. 考点 命题的真假判断 题点 由命题的真假求参数的取值范围 解 ①当B=∅,即n+1>2n-3时,B⊆A. 此时解得n<4. ②当B≠∅时,由B⊆A,得 解得4≤n≤5. 综上所述,实数n的取值范围是(-∞,5]. 14.给出下列命题: ①若△ABC的三边分别为a,b,c,则该三角形是等边三角形的充要条件为a2+b2+c2=ab+ac+bc;②若数列{an}的前n项和为Sn,则Sn=An2+Bn(A,B为常数)是数列{an}为等差数列的必要不充分条件;③在△ABC中,A=B是sinA=sinB的充要条件.其中正确的是(  ) A.①②B.①②③C.②③D.①③ 答案 D 解析 在△ABC中,由a2+b2+c2=ab+ac+bc,得(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0,则a=b=c;若△ABC是等边三角形,则a=b=c,故a2+b2+c2=ab+ac+bc,故①正确;Sn=An2+Bn是数列{an}为等差数列的充要条件,故②错误;当A=B时,可得出sinA=sinB;在△ABC中,当sinA=sinB时,可得出A=B或A+B=π(舍去).故在△ABC中,A=B是sinA=sinB的充要条件,③正确. 15.已知c>0,且c≠1,设命题p:函数y=cx为减函数.命题q:当x∈时,函数f(x)=x+>恒成立.如果“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求c的取值范围. 考点 命题的真假判断 题点 由命题的真假求参数的取值范围 解 若命题p为真,则0<c<1; 若命题q为真,因为2≤x+≤, 要使此式恒成立,需<2,即c>. 因为“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,则p,q一真一假. 当p真q假时,c的取值范围是; 当p假q真时,c的取值范围是(1,+∞). 综上可知,c的取值范围是∪(1,+∞)