标签: 2020高考数学大一轮复习第五章数列第三节等比数列及其前n项和检测理新人教A版  
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doc 第三节 等比数列及其前n项和 限时规范训练(限时练·夯基练·提能练) A级 基础夯实练 1.(2018·四川绵阳诊断性考试)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5等于(  ) A.           B. C. D. 解析:选B.设数列{an}的公比为q,则显然q≠1,由题意得解得或(舍去),∴S5===. 2.(2018·浙江丽水模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn=a·2n-1+,则a的值为(  ) A.- B. C.- D. 解析:选A.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=a·2n-1-a·2n-2=a·2n-2,当n=1时,a1=S1=a+,所以a+=,所以a=-. 3.(2018·东北六校联考)已知数列1,a1,a2,9是等差数列,数列1,b1,b2,b3,9是等比数列,则的值为(  ) A. B. C. D. 解析:选C.因为1,a1,a2,9是等差数列,所以a1+a2=1+9=10.又1,b1,b2,b3,9是等比数列,所以b=1×9=9,因为b=b2>0,所以b2=3,所以=. 4.(2018·河北三市第二次联考)古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是:“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上题的已知条件,若要使织布的总尺数不少于30,该女子所需的天数至少为(  ) A.7 B.8 C.9 D.10 解析:选B.设该女子第一天织布x尺,则=5,得x=, ∴前n天所织布的尺数为(2n-1).由(2n-1)≥30,得2n≥187,则n的最小值为8. 5.(2018·福州模拟)已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1(n∈N*),且a2+a4+a6=9,则log(a5+a7+a9)的值是(  ) A.-5 B.- C.5 D. 解析:选A.因为log3an+1=log3an+1,所以an+1=3an. 所以数列{an}是公比q=3的等比数列, 所以a2+a4+a6=a2(1+q2+q4)=9. 所以a5+a7+a9=a5(1+q2+q4)=a2q3(1+q2+q4)=9×33=35. 所以log35=-log335=-5. 6.(2018·河南四校联考)在等比数列{an}中,an>0,a1+a2+…+a8=4,a1a2·…·a8=16,则++…+的值为(  ) A.2 B.4 C.8 D.16 解析:选A.由分数的性质得到++…+=++…+.因为a8a1=a7a2=a3a6=a4a5,所以原式==,又a1a2·…·a8=16=(a4a5)4,an>0,∴a4a5=2,∴++…+=2. 7.(2018·青岛二模)已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则a1a2+a2a3+…+anan+1(n∈N*)的取值范围是(  ) A.[12,16] B. C. D. 解析:选C.因为{an}是等比数列,a2=2,a5=,所以q3==,q=,a1=4,故a1a2+a2a3+…+anan+1==(1-q2n)∈,故选C. 8.(2018·兰州、张掖联考)已知数列{an}的首项为1,数列{bn}为等比数列且bn=,若b10·b11=2,则a21=________. 解析:∵b1==a2,b2=, ∴a3=b2a2=b1b2,∵b3=, ∴a4=b1b2b3,…,an=b1b2b3·…·bn-1, ∴a21=b1b2b3·…·b20=(b10b11)10=210=1 024. 答案:1 024 9.设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2·…·an的最大值为________. 解析:设等比数列{an}的公比为q,则由a1+a3=10,a2+a4=q(a1+a3)=5,知q=.又a1+a1q2=10, ∴a1=8. 故a1a2·…·an=aq1+2+…+(n-1)=23n· =23n-+=2-+n. 记t=-+=-(n2-7n)=-2+, 结合n∈N*可知n=3或4时,t有最大值6. 又y=2t为增函数,从而a1a2·…·an的最大值为26=64. 答案:64 10.(2018·广东中山调研)设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且数列{Sn}是以2为公比的等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求a1+a3+…+a2n+1. 解:(1)∵S1=a1=1, 且数列{Sn}是以2为公比的等比数列, ∴Sn=2n-1, 又当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-2(2-1)=2n-2. 当n=1时a1=1,不适合上式. ∴an= (2)∵a3,a5,…,a2n+1是以2为首项,以4为公比的等比数列, ∴a3+a5+…+a2n+1==. ∴a1+a3+…+a2n+1=1+=. B级 能力提升练 11.设{an}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0”的(  ) A.充要条件       B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选C.若对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0,则a1+a2<0,又a1>0,所以a2<0,所以q=<0.若q<0,可取q=-1,a1=1,则a1+a2=1-1=0,不满足对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0.所以“q<0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0”的必要而不充分条件,故选C. 12.(2018·济南模拟)设数列{an}是以3为首项,1为公差的等差数列,{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列,则ba1+ba2+ba3+ba4=(  ) A.15 B.60 C.63 D.72 解析:选B.由数列{an}是以3为首项,1为公差的等差数列,得数列{an}的通项公式为an=3+(n-1)1=n+2.由数列{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列,得数列{bn}的通项公式为bn=b1qn-1=2n-1,所以ban=2n+1,所以ba1+ba2+ba3+ba4=22+23+24+25==60. 13.(2018·湖北黄石检测)已知等差数列{an}的公差d>0,且a2,a5-1,a10成等比数列,若a1=5,Sn为数列{an}的前n项和,则的最小值为________. 解析:由于a2,a5-1,a10成等比数列,所以(a5-1)2=a2·a10,(a1+4d-1)2=(a1+d)·(a1+9d),又a1=5,所以d=3,所以an=5+3(n-1)=3n+2,Sn=na1+d=5n+n(n-1),所以==[3(n+1)++2]≥,当且仅当3(n+1)=,即n=2时等号成立. 答案: 14.已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式; (2)若S5=,求λ. 解:(1)证明:由题意得a1=S1=1+λa1, 故λ≠1,a1=,故a1≠0. 由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan, 即an+1(λ-1)=λan. 由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以=. 因此{an}是首项为,公比为的等比数列, 于是an=n-1. (2)由(1)得Sn=1-n. 由S5=得1-5=,即5=. 解得λ=-1. 15.(2018·河北省“五个一名校联盟”高三模拟)已知数列{an}是等差数列,a2=6,前n项和为Sn,数列{bn}是等比数列,b2=2,a1b3=12,S3+b1=19. (1)求{an},{bn}的通项公式; (2)求数列{bncos(anπ)}的前n项和Tn. 解:(1)∵数列{an}是等差数列,a2=6, ∴S3+b1=3a2+b1=18+b1=19, ∴b1=1, ∵b2=2,数列{bn}是等比数列, ∴bn=2n-1. ∴b3=4, ∵a1b3=12,∴a1=3, ∵a2=6,数列{an}是等差数列, ∴an=3n. (2)设Cn=bncos(anπ),由(1)得Cn=bncos(anπ)=(-1)n2n-1, 则Cn+1=(-1)n+12n, ∴=-2, 又C1=-1, ∴数列{bncos(anπ)}是以-1为首项、-2为公比的等比数列. ∴Tn==[(-2)n-1]. C级 素养加强练 16.(2018·辽宁鞍山模拟)已知等比数列{an}满足:|a2-a3|=10,a1a2a3=125. (1)求数列{an}的通项公式; (2)是否存在正整数m,使得++…+≥1?若存在,求m的最小值;若不存在,说明理由. 解:(1)设等比数列{an}的公比为q, 则由已知可得 解得或 故an=·3n-1,或an=-5·(-1)n-1. (2)若an=·3n-1,则=·n-1, 故是首项为,公比为的等比数列 , 从而==·<<1. 若an=(-5)·(-1)n-1, 则=-(-1)n-1, 故是首项为-,公比为-1的等比数列,从而 = 故<1. 综上,对任意正整数m,总有<1. 故不存在正整数m,使得++…+≥1成立.

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