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doc 第四节 椭圆 限时规范训练(限时练·夯基练·提能练) A级 基础夯实练 1.(2018·太原一模)已知椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点是圆x2+y2-6x+8=0的圆心,且短轴长为8,则椭圆的左顶点为(  ) A.(-3,0)        B.(-4,0) C.(-10,0) D.(-5,0) 解析:选D.∵圆的标准方程为(x-3)2+y2=1,∴圆心坐标为(3,0),∴c=3.又b=4,∴a==5.∵椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆的左顶点为(-5,0). 2.(2018·湖北武汉模拟)已知椭圆的中心在坐标原点,长轴长是8,离心率是,则此椭圆的标准方程是(  ) A.+=1 B.+=1或+=1 C.+=1 D.+=1或+=1 解析:选B.因为a=4,e=,所以c=3,所以b2=a2-c2=16-9=7.因为焦点的位置不确定,所以椭圆的标准方程是+=1或+=1. 3.(2018·湖北八校联考)设F1,F2分别为椭圆+=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则的值为(  ) A. B. C. D. 解析:选B.由题意知a=3,b=,c=2.设线段PF1的中点为M,则有OM∥PF2,因为OM⊥F1F2,所以PF2⊥F1F2,所以|PF2|==.又因为|PF1|+|PF2|=2a=6,所以|PF1|=2a-|PF2|=,所以=×=,故选B. 4.(2018·湖南百校联盟联考)已知椭圆+=1(a>b>0)的右顶点和上顶点分别为A、B,左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切,且该圆与y轴的正半轴交于点C,过点C的直线交椭圆于M、N两点.若四边形FAMN是平行四边形,则该椭圆的离心率为(  ) A. B. C. D. 解析:选A.因为圆O与直线BF相切,所以圆O的半径为,即OC=,因为四边形FAMN是平行四边形,所以点M的坐标为,代入椭圆方程得+=1,所以5e2+2e-3=0,又0<e<1,所以e=.故选A. 5.(2018·四川凉山州模拟)以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点,则该椭圆的离心率是(  ) A. B. C. D. 解析:选D.不妨令椭圆方程为+=1(a>b>0).因为以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点, 所以2b=,即a=3b, 则c==2b, 则该椭圆的离心率e==.故选D. 6.(2018·贵阳模拟)若椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为4,则椭圆的标准方程为________. 解析:由题意可知e==,2b=4,得b=2, 所以解得 所以椭圆的标准方程为+=1. 答案:+=1 7.设F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=4∶3,则△PF1F2的面积为________. 解析:因为|PF1|+|PF2|=14,又|PF1|∶|PF2|=4∶3,所以|PF1|=8,|PF2|=6.因为|F1F2|=10,所以PF1⊥PF2.所以S△PF1F2=|PF1|·|PF2|=×8×6=24. 答案:24 8.(2018·海南海口模拟)已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F1(-c,0),右顶点为A,上顶点为B,现过A点作直线F1B的垂线,垂足为T,若直线OT(O为坐标原点)的斜率为-,则该椭圆的离心率为________. 解析:因为椭圆+=1(a>b>0),A,B和F1点坐标分别为(a,0),(0,b),(-c,0),所以直线BF1的方程是y=x+b,OT的方程是y=-x.联立解得T点坐标为,直线AT的斜率为-.由AT⊥BF1得,-×=-1,∴3b2=4ac+c2,∴3(a2-c2)=4ac+c2,∴4e2+4e-3=0,又0<e<1,所以e=. 答案: 9.分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)与椭圆+=1有相同的离心率且经过点(2,-); (2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上,且P到两焦点的距离分别为5,3,过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点. 解:(1)由题意,设所求椭圆的方程为+=t1或+=t2(t1,t2>0),因为椭圆过点(2,-),所以t1=+=2,或t2=+=. 故所求椭圆的标准方程为+=1或+=1. (2)由于焦点的位置不确定,所以设所求的椭圆方程为+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0),由已知条件得 解得a=4,c=2,所以b2=12. 故椭圆方程为+=1或+=1. 10.(2018·兰州市诊断考试)已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点(,1),且离心率为. (1)求椭圆C的方程; (2)设M,N是椭圆上的点,直线OM与ON(O为坐标原点)的斜率之积为-.若动点P满足=+2,求点P的轨迹方程. 解:(1)因为e=,所以=, 又椭圆C经过点(,1),所以+=1, 解得a2=4,b2=2, 所以椭圆C的方程为+=1. (2)设P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2),则由=+2得x=x1+2x2,y=y1+2y2, 因为点M,N在椭圆+=1上, 所以x+2y=4,x+2y=4, 故x2+2y2=(x+4x1x2+4x)+2(y+4y1y2+4y)=(x+2y)+4(x+2y)+4(x1x2+2y1y2)=20+4(x1x2+2y1y2). 设kOM,kON分别为直线OM与ON的斜率,由题意知, kOM·kON==-,因此x1x2+2y1y2=0, 所以x2+2y2=20, 故点P的轨迹方程为+=1. B级 能力提升练 11.(2018·湖北八校第一次联考)如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-5,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的方程为(  ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析:选C.由题意可得c=5,设右焦点为F′,连接PF′,由|OP|=|OF|=|OF′|知,∠PFF′=∠FPO,∠OF′P=∠OPF′,∴∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′,∴∠FPO+∠OPF′=90°,即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中,由勾股定理,得|PF′|===8,由椭圆定义,得|PF|+|PF′|=2a=6+8=14,从而a=7,得a2=49,于是b2=a2-c2=72-52=24,所以椭圆C的方程为+=1,故选C. 12.(2018·河南郑州质量预测)椭圆+=1的左焦点为F,直线x=a与椭圆相交于点M,N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是(  ) A. B. C. D. 解析:选C.设椭圆的右焦点为E,由椭圆的定义知△FMN的周长为L=|MN|+|MF|+|NF|=|MN|+(2-|ME|)+(2-|NE|).因为|ME|+|NE|≥|MN|,所以|MN|-|ME|-|NE|≤0,当直线MN过点E时取等号,所以L=4+|MN|-|ME|-|NE|≤4,即直线x=a过椭圆的右焦点E时,△FMN的周长最大,此时S△FMN=×|MN|×|EF|=××2=,故选C. 13.(2018·陕西部分学校一检)已知P为椭圆+=1(a>b>0)上一点,F1,F2是其左、右焦点,∠F1PF2 取最大值时,cos∠F1PF2=,则椭圆的离心率为________. 解析:易知∠F1PF2取最大值时,点P为椭圆+=1与y轴的交点,由余弦定理及椭圆的定义得2a2-=4c2,即a=c,所以椭圆的离心率e==. 答案: 14.(2018·河南师大附中模拟)椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点,则椭圆C的离心率为________. 解析:设F′为椭圆的右焦点,则AF⊥AF′,∠AF′F=, ∴|AF|=|AF′|,|FF′|=2|AF′|,因此椭圆C的离心率为===-1. 答案:-1 15.已知A(x0,0),B(0,y0)两点分别在x轴和y轴上运动,且|AB|=1,若动点P(x,y)满足=2+. (1)求动点P的轨迹C的标准方程; (2)直线l:x=ty+1与曲线C交于A,B两点,E(-1,0),试问:当t变化时,是否存在一条直线l,使△ABE的面积为2?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由. 解:(1)因为=2+,即(x,y)=2(x0,0)+(0,y0)=(2x0,y0),所以x=2x0,y=y0,所以x0=x,y0=y,又|AB|=1,所以x+y=1,即+=1,即+=1,所以动点P的轨迹C的标准方程为+=1. (2)由方程组得(3t2+4)y2+6ty-9=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=-<0, 所以|y1-y2|= ==. 因为直线x=ty+1过点F(1,0),所以S△ABE=|EF||y1-y2|=×2×=, 令=2,则t2=-,不成立,故不存在满足题意的直线l. 16.(2018·湖北部分重点中学起点考试)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,左焦点为F(-1,0),过点D(0,2)且斜率为k的直线l交椭圆于A,B两点. (1)求椭圆C的标准方程; (2)在y轴上,是否存在定点E,使·恒为定值?若存在,求出E点的坐标和这个定值;若不存在,说明理由. 解:(1)由已知可得可得a2=2,b2=1, 所以椭圆C的标准方程为+y2=1. (2)设过点D(0,2)且斜率为k的直线l的方程为y=kx+2, 由消去y整理得(1+2k2)x2+8kx+6=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-, x1x2=. 又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4=-,y1+y2=(kx1+2)+(kx2+2)=k(x1+x2)+4=. 设存在点E(0,m),则=(-x1,m-y1),=(-x2,m-y2), 所以·=x1x2+m2-m(y1+y2)+y1y2=+m2-m×-=. 要使·=t(t为常数), 只需=t, 从而(2m2-2-2t)k2+m2-4m+10-t=0, 即解得m=,从而t=, 故存在定点E,使·恒为定值. C级 素养加强练 17.已知椭圆+=1(a>b>0)的一个顶点为B(0,4),离心率e=,直线l交椭圆于M,N两点. (1)若直线l的方程为y=x-4,求弦MN的长; (2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F,求直线l方程的一般式. 解: (1)由已知得b=4,且=,即=, ∴=,解得a2=20, ∴椭圆方程为+=1. 则4x2+5y2=80与y=x-4联立, 消去y得9x2-40x=0,∴x1=0,x2=, ∴所求弦长|MN|=|x2-x1|=. (2)设椭圆右焦点F的坐标为(2,0),线段MN的中点为Q(x0,y0), 由三角形重心的性质知=2,又B(0,4),∴(2,-4)=2(x0-2,y0),故得x0=3,y0=-2, 即得Q的坐标为(3,-2). 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=6,y1+y2=-4, 且+=1,+=1, 以上两式相减得 +=0, ∴kMN==-·=-×=, 故直线MN的方程为y+2=(x-3), 即6x-5y-28=0.

2020高考数学大一轮复习 第八章 解析几何 第四节 椭圆检测 理 新人教A版.doc

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