标签: 2020高考数学大一轮复习第十二章不等式选讲第二节不等式证明检测理新人教A版  
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doc 第二节 不等式证明 限时规范训练(限时练·夯基练·提能练) A级 基础夯实练 1.(2018·广西南宁测试)(1)解不等式|x+1|+|x+3|<4; (2)若a,b满足(1)中不等式,求证:2|a-b|<|ab+2a+2b|. 解:(1)当x<-3时,|x+1|+|x+3|=-x-1-x-3=-2x-4<4,解得x>-4,所以-4<x<-3; 当-3≤x<-1时,|x+1|+|x+3|=-x-1+x+3=2<4恒成立,所以-3≤x<-1; 当x≥-1时,|x+1|+|x+3|=x+1+x+3=2x+4<4,解得x<0,所以-1≤x<0. 综上,不等式|x+1|+|x+3|<4的解集为{x|-4<x<0}. (2)4(a-b)2-(ab+2a+2b)2=-(a2b2+4a2b+4ab2+16ab)=-ab(b+4)(a+4)<0, 所以4(a-b)2<(ab+2a+2b)2, 所以2|a-b|<|ab+2a+2b|. 2.(2018·广东宝安中学等七校联考)已知函数f(x)=|2x-1|-|x-a|,a∈R. (1)当a=1时,解不等式f(x)<1; (2)当x∈(-1,0)时,f(x)>1有解,求a的取值范围. 解:(1)当a=1时,f(x)=|2x-1|-|x-1|= 当x≤时,-x<1,解得x>-1,∴-1<x≤; 当<x≤1时,3x-2<1,解得x<1,∴<x<1; 当x>1时,x<1,无解. 综上所述,不等式f(x)<1的解集为{x|-1<x<1}. (2)当x∈(-1,0)时,f(x)>1有解⇔|x-a|<-2x有解⇔2x<x-a<-2x有解⇔3x<a<-x有解, ∵3x>-3,-x<1, ∴-3<a<1,即实数a的取值范围是(-3,1). 3.(2018·安徽安师大附中阶段性检测)设函数f(x)=|x-1|-2|x+1|的最大值为m. (1)求m; (2)若a,b,c∈(0,+∞),a2+2b2+c2=m,求ab+bc的最大值. 解:(1)当x≤-1时,f(x)=3+x≤2; 当-1<x<1时,f(x)=-1-3x<2; 当x≥1时,f(x)=-x-3≤-4. 故当x=-1时,f(x)取得最大值m=2. (2)因为2=a2+2b2+c2=(a2+b2)+(b2+c2)≥2ab+2bc=2(ab+bc),当且仅当a=b=c=时取等号, 此时,ab+bc取得最大值1. B级 能力提升练 4.(2018·四川成都七中期中)已知函数f(x)=m-|x-1|,m∈R,且f(x+2)+f(x-2)≥0的解集为[-2,4]. (1)求m的值; (2)若a,b,c为正数,且++=m,求证:a+2b+3c≥3. 解:(1)由f(x+2)+f(x-2)≥0可得|x+1|+|x-3|≤2m. 设g(x)=|x+1|+|x-3|,则 当x≤-1时,g(x)=-2x+2; 当-1<x<3时,g(x)=4; 当x≥3时,g(x)=2x-2. 所以g(-2)=g(4)=6=2m,m=3. (2)由(1)得++=3, 由柯西不等式,得(a+2b+3c)≥2=32,当且仅当a=2b=3c=1时等号成立,所以a+2b+3c≥3. 5.(2018·广东珠海二中期中)已知函数f(x)=|x+m|+|2x-1|(m∈R). (1)当m=-1时,求不等式f(x)≤2的解集; (2)设关于x的不等式f(x)≤|2x+1|的解集为A,且⊆A,求实数m的取值范围. 解:(1)当m=-1时,f(x)=|x-1|+|2x-1|,由f(x)≤2,得|x-1|+|2x-1|≤2, ∴或 或 解得或或 ∴0≤x≤或<x<1或1≤x≤. ∴原不等式的解集为. (2)∵⊆A, ∴当x∈时,不等式f(x)≤|2x+1|恒成立, 即|x+m|+|2x-1|≤|2x+1|在x∈上恒成立, ∴|x+m|+2x-1≤2x+1,即|x+m|≤2, ∴-2≤x+m≤2, ∴-x-2≤m≤-x+2在x∈上恒成立, ∴(-x-2)max≤m≤(-x+2)min, ∴-≤m≤0, ∴实数m的取值范围是. 6.(2018·云南昆明适应性检测)已知a,b,c,m,n,p都是实数,且a2+b2+c2=1,m2+n2+p2=1. (1)证明:|am+bn+cp|≤1; (2)若abc≠0,证明:++≥1. 解:(1)易知|am+bn+cp|≤|am|+|bn|+|cp|, 因为a2+b2+c2=1,m2+n2+p2=1, 所以|am|+|bn|+|cp|≤++==1, 故|am+bn+cp|≤1. (2)因为a2+b2+c2=1,m2+n2+p2=1, 所以++=(a2+b2+c2)≥2=(m2+n2+p2)2=1, 所以++≥1.

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