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doc 阶段训练二 (范围:§2.1~§2.2) 一、选择题 1.曲线+=1(m<6)与曲线+=1(5<n<9)的(  ) A.焦距相同 B.离心率相等 C.准线相同 D.焦点相等 考点 双曲线的几何性质 题点 由双曲线的方程研究几何性质 答案 A 解析 由+=1(m<6)知该方程表示焦点在x轴上的椭圆, 由+=1(5<n<9)知该方程表示焦点在y轴上的双曲线,排除C,D;椭圆的离心率小于1,双曲线离心率大于1,排除B,故选A. 2.“1<m<3”是“方程+=1表示椭圆”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 当方程+=1表示椭圆时,必有所以1<m<3且m≠2;但当1<m<3时,该方程不一定表示椭圆,例如当m=2时,方程变为x2+y2=1,它表示一个圆. 3.设F1,F2是椭圆+=1的焦点,P为椭圆上一点,则△PF1F2的周长为(  ) A.16B.18C.20D.不确定 答案 B 解析 △PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c.因为2a=10,c==4, 所以周长为10+8=18. 4.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m等于(  ) A.- B.-4 C.4 D. 答案 A 解析 ∵a2=1,b2=,又b2=4a2=4,∴m=-. 5.已知点M(,0),椭圆+y2=1与直线y=k(x+)交于点A,B,则△ABM的周长为(  ) A.4B.8C.12D.16 考点  题点  答案 B 解析 直线y=k(x+)过定点N(-,0), 而M,N恰为椭圆+y2=1的两个焦点, 由椭圆定义知△ABM的周长为4a=4×2=8. 6.已知F1,F2是双曲线E:-=1的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=,则E的离心率为(  ) A.B.C.D.2 考点 双曲线的简单几何性质 题点 求双曲线的离心率 答案 A 解析 不妨设点M在双曲线的左支上,如图,因为MF1与x轴垂直,所以|MF1|=. 又sin∠MF2F1=, 所以=, 即|MF2|=3|MF1|. 由双曲线的定义得2a=|MF2|-|MF1|=2|MF1|=, 所以b2=a2,所以c2=b2+a2=2a2, 所以离心率e==. 7.椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,弦AB过F1,若△ABF2的内切圆周长为π,A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|y1-y2|的值为(  ) A.B.C.D. 答案 A 解析 易知△ABF2的内切圆的半径r=,根据椭圆的性质结合△ABF2的特点,可得△ABF2的面积S=lr=×2c×|y1-y2|,其中l为△ABF2的周长,且l=4a,代入数据解得|y1-y2|=. 二、填空题 8.过点A(3,-1)且被A点平分的双曲线-y2=1的弦所在的直线方程是________. 答案 3x+4y-5=0 解析 易知所求直线的斜率存在,设为k,则该直线的方程为y+1=k(x-3),代入-y2=1,消去y得关于x的一元二次方程(1-4k2)x2+(24k2+8k)x-36k2-24k-8=0,∴-=6,∴k=-, ∴所求直线方程为3x+4y-5=0. 9.已知F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=________. 答案 8 解析 由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=2a=10, |BF1|+|BF2|=2a=10, ∴|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=20. 又∵|F2A|+|F2B|=12,∴|AB|=|AF1|+|BF1|=8. 10.如果双曲线-=1(a>0,b>0)两渐近线的夹角是60°,则该双曲线的离心率是________. 答案 或2 解析 易知双曲线的渐近线的斜率是±.又两渐近线的夹角为60°,则=tan30°或=tan60°,即e2-1=或e2-1=3,又e>1,所以e=或e=2,故该双曲线的离心率为或2. 11.已知以坐标原点为中心的椭圆,一个焦点的坐标为F(2,0),给出下列四个条件: ①短半轴长为2;②长半轴长为2;③离心率为;④一个顶点坐标为(2,0). 其中可求得椭圆方程为+=1的条件有________.(填序号) 答案 ①②③ 解析 只需保证a=2,b=2,c=2即可,而椭圆的顶点坐标为(0,±2),(±2,0),故①②③可求得椭圆方程为+=1. 三、解答题 12.直线l在双曲线-=1上截得的弦长为4,其斜率为2,求l的方程. 解 设直线l的方程为y=2x+m, 由得10x2+12mx+3(m2+2)=0.(*) 设直线l与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 由根与系数的关系, 得x1+x2=-m,x1x2=(m2+2). 又y1=2x1+m,y2=2x2+m, ∴y1-y2=2(x1-x2), ∴|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=5(x1-x2)2 =5[(x1+x2)2-4x1x2] =5. ∵|AB|=4,∴m2-6(m2+2)=16. ∴3m2=70,m=±. 由(*)式得Δ=24m2-240, 把m=±代入上式,得Δ>0, ∴m的值为±. ∴所求l的方程为6x-3y±=0. 13.如图,过点B(0,-b)作椭圆+=1(a>b>0)的弦,求这些弦中的最大弦长. 解 设M(x,y)是椭圆上任意一点, |BM|2=x2+(y+b)2=x2+y2+2by+b2,① 由+=1,得x2=(b2-y2).② 将②代入①式,整理得 |BM|2=y2+2by+(a2+b2) =·2+. ∵-b≤y≤b, (1)当b≤c,即b≤a时,≤b, ∴当y=时,|BM|的最大值为; (2)当b>c,即b>a时,>b, ∴当y=b时,点M为(0,b),即椭圆的上顶点, |BM|2的最大值为·2+=4b2, ∴|BM|的最大值为2b. 综上所述,当b≤c,即b≤a时,这些弦中的最大弦长为;当b>c,即b>a时,这些弦中的最大弦长为2b. 14.点P是双曲线-=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2是其焦点,双曲线的离心率是,且PF1⊥PF2,若△F1PF2的面积是9,则a+b的值等于(  ) A.4B.5C.6D.7 答案 D 解析 设|PF1|=m,|PF2|=n,则|m-n|=2a,① 又因为PF1⊥PF2,所以m2+n2=4c2,② ①2-②得:-2mn=4a2-4c2,所以mn=-2a2+2c2. 又因为△F1PF2的面积是9,所以mn=9, 所以c2-a2=9. 又因为双曲线的离心率=, 所以c=5,a=4,所以b=3,所以a+b=7. 15.如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C. (1)若点C的坐标为,且|BF2|=,求椭圆的方程; (2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值. 解 设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0). (1)因为B(0,b),所以|BF2|==a. 又|BF2|=,故a=. 因为点C在椭圆上, 所以+=1,解得b2=1. 故所求椭圆的方程为+y2=1. (2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上, 所以直线AB的方程为+=1. 解方程组得 所以点A的坐标为. 又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性, 得点C的坐标为. 因为直线F1C的斜率为=, 直线AB的斜率为-,且F1C⊥AB, 所以·=-1, 所以a2=5c2,故e2=,又0<e<1, 所以e=.