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doc 阶段训练六 (范围:§3.1~§3.3) 一、选择题 1.已知曲线y=x4+ax2+1在点(-1,a+2)处切线的斜率为8,则a等于(  ) A.9B.6C.-9D.-6 答案 D 解析 y′=4x3+2ax,由导数的几何意义知在点(-1,a+2)处的切线斜率为k=y′|x=-1= -4-2a=8,解得a=-6. 2.y=x+sinx在(0,π)上是(  ) A.单调递减函数 B.单调递增函数 C.上是增函数,上是减函数 D.上是减函数,上是增函数 答案 B 解析 ∵y′=1+cosx,又x∈(0,π), ∴y′>0,∴函数为增函数,故选B. 3.函数f(x)=lnx-x2的图象大致是(  ) 答案 B 解析 f′(x)=-x==,x∈(0,+∞). 当x∈(0,1)时,f′(x)>0,函数单调递增, 当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,函数单调递减, 所以函数在(0,+∞)上的最大值为f(1)=-,故选B. 4.已知定义在R上的函数f(x)的图象如图,则xf′(x)>0的解集为(  ) A.(-∞,0)∪(1,2) B.(1,2) C.(-∞,1) D.(-∞,1)∪(2,+∞) 考点 利用导数研究函数的单调性 题点 利用导数求解不等式 答案 A 解析 不等式x·f′(x)>0等价于当x>0时,f′(x)>0,即x>0时,函数递增,此时1<x<2;或者当x<0时,f′(x)<0,即当x<0时,函数递减,此时x<0.综上,不等式xf′(x)>0的解集为(-∞,0)∪(1,2). 5.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在(-∞,+∞)上是单调函数,则实数a的取值范围是(  ) A.(-∞,-) B.[-,] C.(,+∞) D.(-,) 答案 B 解析 ∵f′(x)=-3x2+2ax-1≤0在(-∞,+∞)上恒成立,∴Δ=4a2-12≤0,即-≤a≤. 6.函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图,则函数y=ax2+bx+的单调递增区间是(  ) A.(-∞,2] B. C.[-2,3] D. 答案 D 解析 不妨取a=1, ∵f(x)=x3+bx2+cx+d,∴f′(x)=3x2+2bx+c, 由图可知f′(-2)=0,f′(3)=0, ∴12-4b+c=0,27+6b+c=0, ∴b=-,c=-18. ∴y=x2-x-6,y′=2x-, 当x>时,y′>0, ∴y=ax2+bx+的单调递增区间为. 故选D. 7.当函数f(x)=2x3-9x2+12x-a恰好有两个不同的零点时,a可以为(  ) A.8B.6C.4D.2 答案 C 解析 由f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)知,极值点为x=1,x=2,且f(1)=5-a,f(2)=4-a,可见当a=4时,函数f(x)恰好有两个零点. 二、填空题 8.若曲线y=ax2-lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a=. 答案  解析 y′=2ax-,∴k=y′=2a-1=0,∴a=. 9.如果函数f(x)=2x2-lnx在定义域内的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数,那么实数k的取值范围是. 答案  解析 f′(x)=4x-==, 令f′(x)=0,得x=或-, ∵f(x)的定义域为(0,+∞),∴x=-舍去. 由题意知解得1≤k<. 10.已知函数f(x)=x3-3a2x+a(a>0)的极大值为正数,极小值为负数,则实数a的取值范围是. 答案  解析 ∵f′(x)=3x2-3a2(a>0), 当x>a或x<-a时,f′(x)>0, 当-a<x<a时,f′(x)<0. ∴当x=a时,f(x)取得极小值, 当x=-a时,f(x)取得极大值. 由题意,得解得a>. 11.若函数f(x)=(mx-1)ex在[0,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围是. 答案 [1,+∞) 解析 f′(x)=mex+(mx-1)ex=(mx+m-1)ex, 由题意知,f′(x)≥0在x∈[0,+∞)上恒成立, 即mx+m-1≥0在x∈[0,+∞)上恒成立. 当m≤0时显然不成立, 当m>0时,令g(x)=mx+m-1, 只需g(0)≥0,得m≥1. 即实数m的取值范围为[1,+∞). 三、解答题 12.已知曲线y=x3+x-2在点P0处的切线l1与直线4x-y-1=0平行,且点P0在第三象限. (1)求P0的坐标; (2)若直线l⊥l1,且l也过切点P0,求直线l的方程. 解 (1)由y=x3+x-2,得y′=3x2+1, 由已知得3x2+1=4,解得x=±1. 当x=1时,y=0;当x=-1时,y=-4. 又∵点P0在第三象限,∴切点P0的坐标为(-1,-4). (2)∵直线l⊥l1,l1的斜率为4,∴直线l的斜率为-. ∵l过切点P0,点P0的坐标为(-1,-4), ∴直线l的方程为y+4=-(x+1), 即x+4y+17=0. 13.已知函数f(x)=lnx+(a>0). (1)若a=1,求函数f(x)的单调区间; (2)若以函数y=f(x)(x∈(0,3])图象上任意一点P(x0,y0)为切点的切线的斜率k≤恒成立,求实数a的最小值. 解 (1)当a=1时,f(x)=lnx+,定义域为(0,+∞), f′(x)=-=, 当x∈(0,1)时,f′(x)<0, 当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0, 所以f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞). (2)由(1)知f′(x)=(0<x≤3), 则k=f′(x0)=≤(0<x0≤3)恒成立, 即a≥(-x+x0)max. 当x0=1时,-x+x0取得最大值为, 所以a≥,所以a的最小值为. 14.设函数f(x)=x3+x2+tanθ,其中θ∈,则导数f′(1)的取值范围是(  ) A.[-2,2] B. C. D. 答案 D 解析 ∵f′(x)=x2sinθ+x·cosθ, ∴f′(1)=sinθ+cosθ=2 =2sin. ∵0≤θ≤,∴≤θ+≤, ∴≤sin≤1, ∴≤2sin≤2. 15.设函数f(x)=-x3+2ax2-3a2x+b(0<a<1). (1)求函数f(x)的单调区间和极值; (2)若当x∈[a+1,a+2]时,恒有|f′(x)|≤a,试确定a的取值范围; (3)当a=时,关于x的方程f(x)=0在区间[1,3]上恒有两个相异的实根,求实数b的取值范围. 解 (1)f′(x)=-x2+4ax-3a2 =-(x-a)(x-3a). 令f′(x)=0,得x=a或x=3a. 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,a) a (a,3a) 3a (3a,+∞) f′(x) - 0 + 0 - f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 所以f(x)在(-∞,a)和(3a,+∞)上是减函数,在(a,3a)上是增函数. 所以当x=a时,f(x)取得极小值, f(x)极小值=f(a)=b-a3; 当x=3a时,f(x)取得极大值,f(x)极大值=f(3a)=b. (2)f′(x)=-x2+4ax-3a2,其对称轴为x=2a. 因为0<a<1,所以2a<a+1. 所以f′(x)在区间[a+1,a+2]上是减函数. 当x=a+1时,f′(x)取得最大值,f′(a+1)=2a-1; 当x=a+2时,f′(x)取得最小值,f′(a+2)=4a-4. 于是有即≤a≤1. 又因为0<a<1, 所以≤a<1,即a的取值范围为. (3)当a=时,f(x)=-x3+x2-x+b. f′(x)=-x2+x-, 由f′(x)=0,即-x2+x-=0, 解得x1=,x2=2, 可知f(x)在上是减函数, 在上是增函数,在(2,+∞)上是减函数. 若f(x)=0在[1,3]上恒有两个相异实根, 即f(x)在(1,2),(2,3)上各有一个实根, 于是有即 解得0<b≤,即b的取值范围为.