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doc 阶段训练四 (范围:§3.1~§3.2) 一、选择题 1.某物体的运动方程为s=3+t2,则在t∈[2,2.1]内,该物体的平均速度为(  ) A.4.11B.4.01C.4.0D.4.1 考点  题点  答案 D 解析 根据题意可得平均速度 ===4.1. 2.已知函数f(x)=2x2-4的图象上一点(1,-2)及邻近一点(1+Δx,-2+Δy),则等于(  ) A.4 B.4x C.4+2Δx D.4+2(Δx)2 考点  题点  答案 C 解析 = == =2Δx+4. 3.已知函数f(x)=,则f′(x)等于(  ) A. B.- C. D.- 考点  题点  答案 B 解析 f′(x)= = =-. 4.若曲线y=在点P(a,)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2,则实数a的值是(  ) A.1B.2C.4D.8 考点  题点  答案 C 解析 ∵y′=, ∴切线方程为y-=(x-a). 令x=0,得y=,令y=0,得x=-a, 由题意知··a=2,∴a=4. 5.点P0(x0,y0)是曲线y=3lnx+x+k(k∈R)上一个定点,且曲线在点P0处的切线方程为4x-y-1=0,则实数k的值为(  ) A.2B.-2C.-1D.-4 考点 切线方程的求解及应用 题点 根据切点或切线斜率求值 答案 A 解析 y′=+1,令+1=4,得x0=1,代入切线方程得y0=3,代入y=3lnx+x+k,得k=2. 6.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为(  ) A. B.[-1,0] C.[0,1] D. 考点  题点  答案 A 解析 设点P的横坐标为x0, ∵y=x2+2x+3,∴=2x0+2, 利用导数的几何意义,得2x0+2=tanα(α为曲线在点P处切线的倾斜角), 又∵α∈,∴0≤2x0+2≤1, ∴x0∈. 7.如图,有一个图象是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,且a≠0)的导函数的图象,则f(-1)等于(  ) A.B.-C.D.-或 考点  题点  答案 B 解析 f′(x)=x2+2ax+a2-1=[x+(a+1)][x+(a-1)],图(1)与图(2)中,导函数的图象的对称轴都是y轴,此时a=0,与题设不符合,故图(3)中的图象是函数f(x)的导函数的图象.由图(3)知f′(0)=0,由根与系数的关系,得-(a+1)-(a-1)>0,则a<0, 又解得a=-1. 故f(x)=x3-x2+1,所以f(-1)=-. 8.过点(1,-1)且与曲线y=x3-2x相切的直线方程为(  ) A.x-y-2=0或5x+4y-1=0 B.x-y-2=0 C.x-y+2=0 D.x-y-2=0或4x+5y+1=0 考点 切线方程的求解及应用 题点 求曲线的切线方程 答案 A 解析 设切点坐标为(x0,y0),则y0=x-2x0,曲线在(x0,y0)处的切线斜率为k=3x-2.当x0=1时,斜率为1,切线方程为x-y-2=0;当x0≠1时,过(1,-1)点的切线的斜率为=x+x0-1=3x-2,解得x0=-,斜率为-,切线方程为5x+4y-1=0.故选A. 二、填空题 9.已知f(x)=tanx,则f′=________. 考点  题点  答案 4 解析 ∵f(x)=tanx, ∴f′(x)=′= ==, ∴f′===4. 10.已知函数f(x)=ax2+3,若=2,则实数a的值为________. 考点  题点  答案 1 解析 ∵=2,∴f′(1)=2. ∵f(x)=ax2+3,∴f′(x)=2ax, ∴f′(1)=2a=2,∴a=1. 11.如图,函数g(x)=f(x)+x2的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)=________. 考点  题点  答案 -5 解析 因为g(5)=f(5)+5=3,所以f(5)=-2. 因为g′(x)=f′(x)+x, 所以g′(5)=f′(5)+×5=-1,f′(5)=-3, 所以f(5)+f′(5)=-5. 三、解答题 12.已知函数f(x)=-x3+2ax2+3x(a>0)的导数f′(x)的最大值为5,求在函数f(x)图象上的点(1,f(1))处的切线方程. 考点 切线方程求解及应用 题点 求曲线的切线方程 解 ∵f′(x)=-2x2+4ax+3 =-2(x-a)2+3+2a2, ∴f′(x)max=3+2a2=5, 又a>0,∴a=1. ∴f′(x)=-2x2+4x+3, f′(1)=-2+4+3=5, 又f(1)=-+2+3=, ∴所求切线方程为y-=5(x-1). 即15x-3y-2=0. 13.已知曲线f(x)=x3+ax+b在点P(2,-6)处的切线方程是13x-y-32=0. (1)求a,b的值; (2)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线l:y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程. 考点 导数的应用 题点 导数的应用 解 (1)∵f(x)=x3+ax+b的导数为f′(x)=3x2+a, 由题意可得f′(2)=12+a=13,f(2)=8+2a+b=-6, 解得a=1,b=-16. (2)∵切线与直线y=-x+3垂直, ∴切线的斜率k=4. 设切点的坐标为(x0,y0), 则f′(x0)=3x+1=4,∴x0=±1, 由f(x)=x3+x-16,可得y0=1+1-16=-14或y0=-1-1-16=-18. 则切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18. 即4x-y-18=0或4x-y-14=0. 14.如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为(  ) A.y=x3-x2-x B.y=x3+x2-3x C.y=x3-x D.y=x3+x2-2x 答案 A 解析 A选项中,令y=f(x),y′=f′(x)=x2-x-1,f′(0)=-1,f′(2)=3. 曲线在(0,0)和(2,0)处分别与直线y=-x,y=3x-6相切,且在上单调递减,在上单调递增,符合题意.对B,C,D选项可验证曲线在(0,0)或(2,0)处不与直线y=-x,y=3x-6相切.故选A. 15.若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y=f(x)=x3-3x2+2x和y=g(x)=x2+a都相切,求a的值. 考点  题点  解 易知点O(0,0)在曲线f(x)=x3-3x2+2x上. (1)当O(0,0)是切点时, 由f′(x)=3x2-6x+2,得f′(0)=2, 即直线l的斜率为2,故直线l的方程为y=2x. 由得x2-2x+a=0, 依题意知,Δ=4-4a=0,得a=1. (2)当O(0,0)不是切点时,设直线l与曲线f(x)=x3-3x2+2x相切于点P(x0,y0),则f(x0)=x-3x+2x0,且k=f′(x0)=3x-6x0+2,① 又k==x-3x0+2,② 联立①②,得x0=(x0=0舍去),所以k=-, 故直线l的方程为y=-x. 由得x2+x+a=0, 依题意知,Δ=-4a=0,得a=. 综上,a=1或a=.