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doc 2019-2020学年高二数学4月月考试题 一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分) 1.若集合A={x|0<x<7,x∈N*},则B=中元素的个数为(  ) A. 3 B. 4 C. 1 D. 2 2.若函数f(x)的定义域是[0,4],则函数g(x)=的定义域是(  ) A. {x|0≤x≤2} B. {x|0<x<2} C. {x|0≤x<2} D. {x|0<x≤2} 3.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a>0,且a≠1).若g(2)=a,则f(2)等于(  ) A. 2 B. C. D.a2 4.曲线y=1+与直线y=k(x+2)有交点时,实数k的取值范围是(  ) A. (,] B. (,) C. [,] D. [0,] 5.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  ) A. B. C. D. 6.下列四个结论中假命题的个数是(  ) ①垂直于同一直线的两条直线互相平行; ②平行于同一直线的两直线平行; ③若直线a,b,c满足a∥b,b⊥c,则a⊥c; ④若直线l1,l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线. A.1 B. 2 C. 3 D. 4 7.“a=1”是“函数f(x)=|x-a|在区间[1,+∞)上为增函数”的(  ). A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8.已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点且·=c2,则此椭圆离心率的取值范围是(  ) A.B.C.D. 9.已知f(x)是定义在R上的偶函数且连续,当x>0时,f′(x)<0,若f(lnx)>f(1),则x的取值范围是(  ) A. (,1) B. (0,)∪(1,+∞) C. (,e) D. (0,1)∪(e,+∞) 10.已知正三角形ABC的边长为2,平面ABC内的动点P,M满足||=1, =,则||2的最大值是(  ) A. B. C. D. 二、填空题(共7小题,每小题5.0分,共35分) 11.不等式|x+3|-|x-2|≥3的解集为__________. 12 .xx年3月17日上午,日本自卫队选派了两架直升飞机对福岛第一核电站3号机组的燃料池进行了4次注水.如果直升飞机有A,B,C,D四架供选,飞行员有甲,乙,丙,丁四人供选,且一架直升飞机只安排一名飞行员,则选出两名飞行员驾驶两架直升飞机的不同方法数为________ 13.在锐角△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若+=6cosC,则+的值是________. 14.设e1,e2为单位向量,非零向量b=xe1+ye2,x,y∈R.若e1,e2的夹角为,则的最大值等于________. 15.设z=kx+y,其中实数x,y满足若z的最大值为12,则实数k=________. 16.关于x的不等式x2+9+|x2-3x|≥kx在[1,5]上恒成立,则实数k的范围为________. 17.如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点.现将△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足.设AK=t,则t的取值范围是____________. 三、解答题(共5小题,每小题15.0分,共75分) 18.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. (1)若a,b,c成等差数列,证明sinA+sinC=2sin(A+C); (2)若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值. 19.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2. (1)证明:AC1⊥A1B; (2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为,求二面角A1-AB-C的大小. 20.已知函数f(x)=xcosx-sinx,x∈. (1)求证:f(x)≤0; (2)若a<<b对x∈恒成立,求a的最大值与b的最小值. 21.如图,抛物线的顶点O在坐标原点,焦点在y轴负半轴上.过点M(0,-2)作直线l与抛物线相交于A,B两点,且满足+=(-4,-12). (1)求直线l和抛物线的方程; (2)当抛物线上一动点P从点A向点B运动时,求△ABP面积的最大值. 22.已知数列{an}的前n项和sn=-an-n-1+2(n∈N*),数列{bn}满足bn= (1)求证数列{an}是等差数列,并求数列{an}的通项公式; (2)设cn=log2,数列的前n项和为Tn,求满足Tn<(n∈N*)的n的最大值. 答案解析 1.【答案】B 【解析】A={x|0<x<7,x∈N*}={1,2,3,4,5,6}, B={1,2,3,6}, ∵A∩B=B, ∴B=中元素的个数为4. 2.【答案】D 【解析】根据题意,得即0<x≤2,故选D. 3.【答案】B 【解析】∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, ∴由f(x)+g(x)=ax-a-x+2,① 得f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=a-x-ax+2,② ①+②,得g(x)=2,①-②,得f(x)=ax-a-x. 又g(2)=a,∴a=2,∴f(x)=2x-2-x, ∴f(2)=22-2-2=. 4.【答案】C 【解析】由题意知,曲线y=1+是以(0,1)为圆心,以1为半径的上半圆,直线过定点(-2,0),如图所示, 点A(1,1),P(-2,0),则kAP=, 直线与圆相切于点B时,切线PB的斜率是, 所以当直线与曲线有交点时, 实数k的取值范围是[,],故选C. 5.【答案】B 【解析】由三视图可知,几何体表示的是三棱柱去掉三棱锥, 三棱柱的体积V1=S△ABE·EF=×4×4×4=32, 三棱锥的体积V2=×S△BFG×EF=××2×4×4=, 因此该几何体V1-V2=32-=,故选B. 6.【答案】B 【解析】①④均为假命题.①可举反例,如a、b、c三线两两垂直. ④如图甲时,c、d与异面直线l1、l2交于四个点,此时c、d异面; 当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时,会出现点A与B重合的情形,如图乙所示,此时c、d共面相交. 7.【答案】A 【解析】函数f(x)=|x-a|的单调增区间为[a,+∞).当a=1时,函数f(x)=|x-a|在区间[1,+∞)上为增函数,则a≤1.于是可得“a=1”是“函数f(x)=|x-a|在区间[1,+∞)上为增函数”的充分不必要条件,故应选A. 8.【答案】C 【解析】设P(m,n),·=c2=(-c-m,-n)·(c-m,-n)=m2-c2+n2,∴m2+n2=2c2,2c2-m2=n2①,把P(m,n)代入椭圆得b2m2+a2n2=a2b2②, 把①代入②得m2=≥0,∴a2b2≤2a2c2,∴b2≤2c2,∴a2≤3c2,∴e=≥.又m2=≤a2,∴a2≥2c2,∴e=≤.综上知此椭圆离心率的取值范围是.故选C. 9.【答案】C 【解析】∵f(x)是定义在R上的偶函数, 当x>0时,f′(x)<0,此时函数为减函数,则x<0时,函数为增函数, 若f(lnx)>f(1), ∴|lnx|<1, ∴-1<lnx<1,即<x<e. 10.【答案】B 【解析】建系如图,则易知B(-,0),C(,0),A(0,3). 设M(x,y),P(a,b),∵=, ∴⇒ 即P(2x-,2y),又∵||=1. ∴P点在圆①x2+(y-3)2=1上, 即(2x-)2+(2y-3)2=1, 整理得,2+2=(记为圆②), 即M点在该圆上, 求||的最大值转化为B点到该圆②上的一点的最大距离, 即B到圆心的距离再加上该圆的半径: ||2=2=. 11.【答案】{x|x≥1} 【解析】原不等式可化为 或 或 ∴x∈∅,或1≤x<2,或x≥2. 故不等式的解集为{x|x≥1}. 12.【答案】 【解析】飞机的选法有C种,飞行员的选法有C种,把飞行员安排到飞机上有A,共有C×C×A=72种. 13.【答案】4 【解析】取a=b=1,则cosC=, 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=, ∴c=, 在如图所示的等腰三角形ABC中, 可得tanA=tanB=, 又sinC=,tanC=2, ∴+=4. 另解:由+=6cosC得,=6·,即a2+b2=c2, ∴+=tanC(+)===4. 14.【答案】2 【解析】本题考查向量的概念、运算、函数的最值等知识,考查转化与化归能力、函数与方程思想以及灵活利用知识分析问题、解决问题的能力.当x=0时,=0,当x≠0时,2===≤4,所以的最大值是2,当且仅当=-时取到最大值. 15.【答案】2 【解析】本题主要考查二元一次不等式组的平面区域、线性规划的最优解的问题,意在考查考生的数形结合能力.已知不等式组可表示成如图的可行域,当0≤-k<时,直线y=-kx+z经过点A(4,4)时z最大,所以4k+4=12,解得k=2(舍去);当-k≥时,直线y=-kx+z经过点B(2,3)时,z最大,所以2k+3=12,解得k=(舍去);当-k<0时,直线y=-kx+z经过点A(4,4)时,z最大,所以4k+4=12,解得k=2,符合,综上可知k=2. 16.【答案】(-∞,6] 【解析】两边同除以x,则k≤x++|x-3|,x+≥6,|x-3|≥0,当且仅当x=3,两等式同时取得等号,所以x=3时,右边取最小值6.所以k≤6. 17.【答案】 【解析】此题可采用两个极端位置法,即对于F位于DC的中点时,t=1,随着点F到点C时,因CB⊥AB,CB⊥DK,∴CB⊥平面ADB,即有CB⊥BD.对于CD=2,BC=1,∴BD=.又AD=1,AB=2,因此有AD⊥BD,则有t=.因此t的取值范围是. 18.【答案】(1)证明 ∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b. 由正弦定理得sinA+sinC=2sinB. ∵sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C), ∴sinA+sinC=2sin(A+C). (2)解 ∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac. 由余弦定理得 cosB==≥=, 当且仅当a=c时等号成立. ∴cosB的最小值为. 【解析】 19.【答案】方法一 因为A1D⊥平面ABC, A1D⊂平面AA1C1C, 故平面AA1C1C⊥平面ABC. 又BC⊥AC, 所以BC⊥平面AA1C1C. 连接A1C,因为侧面AA1C1C为菱形, 故AC1⊥A1C. 由三垂线定理得AC1⊥A1B. (2)BC⊥平面AA1C1C,BC⊂平面BCC1B1, 故平面AA1C1C⊥平面BCC1B1. 作A1E⊥CC1,E为垂足, 则A1E⊥平面BCC1B1. 又直线AA1∥平面BCC1B1, 因而A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离, A1E=. 因为A1C为∠ACC1的平分线,故A1D=A1E=. 作DF⊥AB,F为垂足,连接A1F, 由三垂线定理得A1F⊥AB, 故∠A1FD为二面角A1-AB-C的平面角. 由AD==1得D为AC中点, DF=×=, tan∠A1FD==. 所以二面角A1-AB-C的大小为arctan. 方法二 以C为坐标原点, 射线CA为x轴的正半轴, 以CB的长为单位长度, 建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz. 由题设知A1D与z轴平行,z轴在平面AA1C1C内. (1)设A1(a,0,c),由题设有a≤2, A(2,0,0),B(0,1,0), 则=(-2,1,0),=(-2,0,0), =(a-2,0,c),=+=(a-4,0,c), =(a,-1,c). 由||=2得=2, 即a2-4a+c2=0.① 于是·=a2-4a+c2=0, 所以AC1⊥A1B. (2)设平面BCC1B1的法向量m=(x,y,z), 则m⊥,m⊥, 即m·=0,m·=0. 因为=(0,1,0),==(a-2,0,c), 故y=0,且(a-2)x+cz=0. 令x=c,则z=2-a,m=(c,0,2-a), 点A到平面BCC1B1的距离为||·|cos〈m,〉| ===c. 又依题设,A到平面BCC1B1的距离为, 所以c=. 代入①解得a=3(舍去)或a=1. 于是=(-1,0,). 设平面ABA1的法向量n=(p,q,r), 则n⊥,n⊥, 即n·=0,n·=0,-p+r=0, 且-2p+q=0. 令p=,则q=2,r=1,n=(,2,1). 又p=(0,0,1)为平面ABC的法向量, 故cos〈n,p〉==. 所以二面角A1-AB-C的大小为arccos. 【解析】 20.【答案】(1)证明 由f(x)=xcosx-sinx得 f′(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx. 因为在区间上f′(x)=-xsinx<0, 所以f(x)在区间上单调递减. 从而f(x)