标签: 全国   通用版   2019   高考   数学   一轮   复习   第七   立体几何   课时   分层   作业   十七   7.7   利用   空间   向量   证明   中的   位置   关系  
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doc 课时分层作业 四十七 利用空间向量证明空间中的位置关系 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),下列结论正确的是 (  ) A.a∥b,a∥c B.a∥b,a⊥c C.a∥c,a⊥b D.以上都不对 【解析】选C.因为a·b=0,c=2a,所以a∥c,a⊥b. 【变式备选】设a=(x,4,3),b=(3,2,z),且a∥b,则xz等于 (  ) A.-4 B.9 C.-9 D. 【解析】选B.因为a∥b,所以==,所以x=6,z=,所以xz=9. 2.(2018·泰安模拟)已知长方体ABCD-A1B1C1D1,下列向量的数量积一定不为0的是 (  ) A.· B.· C.· D.· 【解析】选D.当侧面BCC1B1是正方形时可得·=0,所以排除A.当底面ABCD是正方形时,AC垂直于对角面BD1,所以排除B.显然排除C.由图可得BD1与BC所成的角小于90°. 3.(2018·淮安模拟)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是 (  ) A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 【解题指南】利用向量垂直条件求解. 【解析】选B.因为正方体棱长为a,A1M=AN=,所以=,=, 所以=++=++ =(+)++(+) =+. 又因为是平面B1BCC1的法向量, 且·=·=0, 所以⊥, 所以MN∥平面B1BCC1. 【变式备选】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1中点,则直线CE垂直于 (  ) A.AC B.BD C.A1D D.A1A 【解析】选B.以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A(0,0,0),C(1,1,0), B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),E, 所以=,=(1,1,0), =(-1,1,0),=(0,1,-1),=(0,0,-1).显然·=-+0=0,所以⊥,即CE⊥BD. 4.(2018·石家庄模拟)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则 (  ) A.EF至多与A1D,AC之一垂直 B.EF⊥A1D,EF⊥AC C.EF与BD1相交 D.EF与BD1异面 【解题指南】建立空间直角坐标系,用向量法求解. 【解析】选B.以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A1(1,0,1),D(0,0,0), A(1,0,0),C(0,1,0),E, F,B(1,1,0),D1(0,0,1), =(-1,0,-1),=(-1,1,0), =,=(-1,-1,1), =-,·=·=0, 从而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC. 5.已知三点A(2,1,2),B(1,2,3),C(1,1,1),O是坐标原点,点Q在直线OC上运动,则当·取得最小值时,点Q的坐标是 (  ) A. B. C. D. 【解析】选B.设=λ=(λ,λ,λ),则·=(2-λ,1-λ,2-λ)·(1-λ,2-λ,3-λ)=3λ2-11λ+10, λ=时取得最小值,Q坐标为. 二、填空题(每小题5分,共15分) 6.点B(,0,0)是点A(m,2,5)在x轴上的射影,则点A到原点的距离为________.  【解析】点B(,0,0)是点A(m,2,5)在x轴上的射影, 所以m=, 所以点A到原点的距离为d===4. 答案:4 7.(2018·南阳模拟)已知平面α内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一个法向量n=(-1,-1,-1),则不重合的两个平面α与β的位置关系是________.  【解析】设平面α的法向量为m=(x,y,z), 由m·=0,得x·0+y-z=0⇒y=z, 由m·=0,得x-z=0⇒x=z,取x=1, 所以m=(1,1,1),m=-n,所以m∥n,所以α∥β. 答案:α∥β 8.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果=(2,-1,-4),= (4,2,0),=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③是平面ABCD的法向量;④∥.其中正确的是________.  【解析】因为·=0,·=0, 所以AB⊥AP,AD⊥AP,则①②正确. 又与不平行, 所以是平面ABCD的法向量,则③正确. 因为=-=(2,3,4),=(-1,2,-1), 所以与不平行,故④错. 答案:①②③ 三、解答题(每小题10分,共20分) 9.在棱长是2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,A1C的中点. 应用空间向量方法求解下列问题. (1)求EF的长. (2)证明:EF∥平面AA1D1D. 【解析】(1)如图,建立空间直角坐标系, 则A1(2,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0), D1(0,0,2),E(2,1,0),F(1,1,1). =(-1,0,1),||=,即EF=. (2)连接AD1,因为=(-2,0,2),所以AD1∥EF. 而EF⊄平面ADD1A1,所以EF∥平面AA1D1D. 10.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点. (1)求证:B1E⊥AD1. (2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE.若存在,求AP的长;若不存在,说明理由. 【解析】(1)以A为原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图). 设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1), E,B1(a,0,1), 故=(0,1,1),=, =(a,0,1),=. 因为·=-×0+1×1+(-1)×1=0, 所以B1E⊥AD1. (2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0), 使得DP∥平面B1AE,此时=(0,-1,z0). 又设平面B1AE的法向量n=(x,y,z). 因为n⊥平面B1AE,所以n⊥,n⊥, 得 取x=1,得平面B1AE的一个法向量 n=. 要使DP∥平面B1AE,只要n⊥,有-az0=0, 解得z0=.又DP⊄平面B1AE, 所以存在点P,满足DP∥平面B1AE,此时AP=. 1.(5分)已知点A(1,-2,0)和向量a=(-3,4,12),若向量∥a,且=2 |a| ,则B点的坐标为 (  ) A.(-5,6,24) B.(-5,6,24)或(7,-10,-24) C.(-5,16,-24) D.(-5,16,-24)或(7,-16,24) 【解析】选B.设B(x,y,z),则=(x-1,y+2,z),依题意得 解得x=-5,y=6,z=24或x=7,y=-10,z=-24,则B(-5,6,24)或B(7,-10,-24). 2.(5分)以下说法正确的个数有 (  ) (1)若向量是直线l的一个方向向量,则向量也是l的一个方向向量. (2)若向量a是直线l的一个方向向量,则向量ka也是直线l的一个方向向量. (3)若两条直线平行,则它们的方向向量方向相同或相反. (4)一个平面的法向量有无数多个,它们是共线向量. (5)一个平面的法向量就是这个平面的垂线的方向向量. A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选D.与l共线的非零向量都是l的方向向量.(1)(3)对.当k=0时,ka=0不可以作为方向向量,(2)错 一个平面的法向量就是这个平面垂线的方向,故(4)(5)对. 【误区警示】根据线面垂直的判定定理可知,只要直线垂直于该平面内的任意两条相交直线,它就垂直于该平面,也就垂直于该平面内的任意直线,因此,求法向量的坐标只要满足两个方程就可以了.法向量的个数也不唯一. 3.(5分)(2018·惠州模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为正方形A1B1C1D1四边上的动点,O为底面正方形ABCD的中心,M,N分别为AB,BC的中点,点Q为平面ABCD内一点,线段D1Q与OP互相平分,求满足=的实数λ的个数 (  ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选B.建立如图的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则 P(x,y,2),O(1,1,0), 所以OP的中点坐标为, 又知D1(0,0,2), 所以Q(x+1,y+1,0),而Q在MN上, 所以xQ+yQ=3,所以x+y=1, 即点P坐标满足x+y=1. 所以有2个符合题意的点P,即对应有2个λ. 4.(12分)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,若动点P在线段BD1上运动,则·的取值范围是__________. 【解析】以所在的直线为x轴,以所在的直线为y轴,以所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系.则D(0,0,0),C(0,1,0),A(1,0,0), B(1,1,0),D1(0,0,1). 所以=(0,1,0),=(-1,-1,1). 因为点P在线段BD1上运动,所以=λ·=(-λ,-λ,λ),且0≤λ≤1. 所以=+=+=(-λ,1-λ,λ), 所以·=1-λ∈[0,1], 答案:[0,1] 5.(13分)如图,直四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面为正方形,P,O分别是上、下底面的中心,点E是AB的中点,AB=kAA1. (1)求证:A1E∥平面PBC. (2)当k=时,求直线PA与平面PBC所成角的正弦值. (3)当k取何值时,O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心? 【解析】以O点为原点,直线OA,OB,OP所在直线为x,y和z轴,建立空间直角坐标系,设AB=2, 则A1,E(1,1,0),A(2,0,0), P,B(0,2,0),C(-2,0,0). (1)由上得=,=(-2,-2,0),=, 设平面PBC的法向量为n=(1,α,β), 则由得 所以n=. 因为·n=0,A1E⊄平面PBC, 所以A1E∥平面PBC. (2)当k=时,由(1)知平面PBC的法向量为n=(1,-1,-1), cos<,n>==. 所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为. (3)△PBC重心G, 则=, O在平面PBC的射影恰为△PBC的重心, 则解得k=, 故k=时,O在平面PBC内的射影恰为△PBC的重心.

全国通用版2019版高考数学一轮复习第七章立体几何课时分层作业四十七7.7.1利用空间向量证明空间中的位置关系理.doc

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