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文档内容摘要
doc 课时分层作业 二十四正弦定理和余弦定理 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=, c=2,cos A=,则b等于 (  ) A.    B.    C.2    D.3 【解析】选D.在△ABC中由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A,即5=b2+4-,解得b=3或b=-(舍去). 2.(2018·潍坊模拟)在△ABC中,cos2=(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则 △ABC的形状为 (  ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 【解析】选B.因为cos2=,cos2=, 所以(1+cos B)·c=a+c,所以a=cos B·c=, 所以2a2=a2+c2-b2,所以a2+b2=c2, 所以△ABC为直角三角形. 3.在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是 (  ) A.有一解 B.有两解 C.无解 D.有解但解的个数不确定 【解析】选C.因为=,所以sin B===>1,故此三角形无解. 4.(2017·山东高考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是 (  ) A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 【解题指南】逆用两角和的正弦公式将原式化简,再结合正弦定理去判断. 【解析】选A.2sin Acos C+cos Asin C=sin Acos C+(sin Acos C+cos Asin C)= sin Acos C+sin B=sin B+2sin BcosC,即sin Acos C=2sin Bcos C,由于△ABC 为锐角三角形,所以cos C≠0,sin A=2sin B,由正弦定理可得a=2b. 5.(2018·长沙模拟)在△ABC中,A=,b2sin C=4sin B,则△ABC的面积为 (  ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选B.因为b2sin C=4sin B,所以b2c=4b,即bc=4,故S△ABC= bcsin A=2. 【变式备选】在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=, a=3,S△ABC=2,则b的值为 (  ) A.6    B.3    C.2    D.2或3 【解析】选D.因为S△ABC=2=bcsin A, 所以bc=6,又因为sin A=,所以cos A=,又a=3,由余弦定理得9=b2+c2- 2bccos A=b2+c2-4,b2+c2=13,可得b=2或b=3. 二、填空题(每小题5分,共15分) 6.(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C +ccos A,则B=________.  【解析】由正弦定理可得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B,所以cos B=,又因为0<B<π,所以B=. 答案: 7.(2018·杭州模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=, b=,△ABC的面积为,则c=________,B=________.  【解析】因为A=,b=,△ABC的面积为=bcsin A=××c×,所以解得:c=1+,所以由余弦定理可得:a==2,可得:cos B= =,又0<B<π,故B=. 答案:1+  8.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B,则cos B的值为________. 【解析】因为A=2B,=,b=3,c=1, 所以=,可得a=6cos B, 由余弦定理可得:a=6×,所以a=2, 所以cos B==. 答案: 三、解答题(每小题10分,共20分) 9.(2018·成都模拟)已知三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin 2A =cos 2A,且角A为锐角. (1)求三角形内角A的大小. (2)若a=5,b=8,求c的值. 【解析】(1)由题意,sin 2A=cos 2A,即tan 2A=. 所以2A=或者2A=,因为角A为锐角,所以A=. (2)由(1)可知A=,a=5,b=8;由余弦定理,2bccos A=c2+b2-a2,可得:c2-8c+39=0, 解得c=4+3或者4-3. 10.(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+ cos A=0,a=2,b=2. (1)求c. (2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积. 【解析】(1)因为sin A+cos A=0, 所以sin A=-cos A, 所以tan A=-. 因为A∈(0,π), 所以A=. 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A, 代入a=2,b=2得c2+2c-24=0, 解得c=-6(舍去)或c=4, 所以c=4. (2)由(1)知c=4. 因为c2=a2+b2-2abcos C, 所以16=28+4-2×2×2×cos C, 所以cos C=,所以sin C=, 所以tan C=. 在Rt△CAD中,tan C=, 所以=,即AD=. 则S△ADC=×2×=, 由(1)知S△ABC=·bc·sin A=×2×4×=2, 所以S△ABD=S△ABC-S△ADC=2-=. 1.(5分)(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin A= (  ) A. B. C. D. 【解析】选D.设BC边上的高为AD,且AD=m, 因为B=,则BD=m,AB=m,又因为AD=BC,所以DC=2m,AC=m,由正弦定理=得sin∠BAC==. 【变式备选】设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,c=2,cos A=且b<c,则b等于 (  ) A.3 B.2 C.2 D. 【解析】选C.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,即4=b2+12-6b⇒b2-6b+8=0 ⇒(b-2)(b-4)=0,由b<c,得b=2. 2.(5分)在△ABC中,若=且(b+c+a)(b+c-a)=3bc,则△ABC的形状为 (  ) A.直角三角形        B.等腰三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形 【解析】选C.由正弦定理得=,又由已知得=,故b=c,又因为(b+c+a)(b+c-a)=3bc,即(b+c)2-a2=3bc,故b2+c2-a2=bc,所以cos A==,因为0<A<π,所以A=,故△ABC是等边三角形. 3.(5分)(2018·大连模拟)如图,在四边形ABCD中,∠ABD=45°,∠ADB=30°, BC=1,DC=2,cos∠BCD=,则BD=________;三角形ABD的面积为________. 【解析】在△CBD中,由余弦定理,可得BD==2,在△ABD中,利用正弦定理,可得AD==2-2,所以三角形ABD的面积为×2× (2-2)×=-1. 答案:2 -1 4.(12分)(2018·泉州模拟)已知a,b,c分别是△ABC中角A,B,C的对边,acsin A +4sin C=4csin A. (1)求a的值. (2)圆O为△ABC的外接圆(O在△ABC内部),△OBC的面积为,b+c=4,判断△ABC的形状,并说明理由. 【解析】(1)由正弦定理可知,sin A=,sin C=, 则acsin A+4sin C=4csin A⇔a2c+4c=4ac, 因为c≠0,所以a2c+4c=4ac⇔a2+4=4a⇔(a-2)2=0,可得a=2. (2)设BC的中点为D,则OD⊥BC, 所以S△OBC=BC·OD. 又因为S△OBC=,BC=2,所以OD=, 在Rt△BOD中,tan∠BOD====, 又0°<∠BOD<180°,所以∠BOD =60°, 所以∠BOC=2∠BOD=120°, 因为O在△ABC内部,所以∠A=∠BOC=60°, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A. 所以4=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,又b+c=4, 所以bc=4,所以b=c=2, 所以△ABC为等边三角形. 5.(13分)(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为. (1)求sin Bsin C. (2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC的周长. 【解析】(1)因为△ABC面积S=且S=bcsin A, 所以=bcsin A, 所以a2=bcsin2A, 由正弦定理得sin2A=sin Bsin Csin2A, 由sin A≠0得sin Bsin C=. (2)由(1)得sin Bsin C=,又cos Bcos C=, 因为A+B+C=π, 所以cos A = cos=-cos =sin Bsin C-cos Bcos C = , 又因为A∈, 所以A=,sin A=,cos A=, 由余弦定理得a2=b2+c2-bc=9 ①, 由正弦定理得b=·sin B,c=·sin C, 所以bc=·sin Bsin C=8 ②, 由①②得b+c=, 所以a+b+c=3+,即△ABC的周长为3+.

全国通用版2019版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时分层作业二十四3.6正弦定理和余弦定理理.doc

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