标签: 全国   通用版   2019   高考   数学   一轮   复习   第二   函数   导数   及其   应用   课时   分层   作业   2.4   指数函数  
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doc 课时分层作业 七指 数 函 数 一、选择题(每小题5分,共35分) 1.化简[(-2)6 -(-1)0的结果为 (  ) A.-9 B.7 C.-10 D.9 【解析】选B.原式=(26-1=7. 2.若函数f(x)=(2a-5)·ax是指数函数,则f(x)在定义域内 (  ) A.为增函数 B.为减函数 C.先增后减 D.先减后增 【解析】选A.由指数函数的定义知2a-5=1,解得a=3,所以f(x)=3x,所以f(x)在定义域内为增函数. 【变式备选】若函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,则有 (  ) A.a=1或a=2  B.a=1 C.a=2      D.a>0且a≠1 【解析】选C.由已知 即得a=2. 3.函数y=ax-(a>0,且a≠1)的图象可能是 (  ) 【解析】选D.当0<a<1时,函数y=ax-是减函数,且其图象可视为是由函数y=ax的图象向下平移个单位长度得到的,结合各选项知选D. 【巧思妙解】选D.因为函数y=ax-(a>0,且a≠1)的图象必过点(-1,0),所以选D. 4.设y1=40.9,y2=80.48,y3=,则 (  ) A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3 C.y1>y2>y3  D.y1>y3>y2 【解析】选D.y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y3==21.5.因为1.8>1.5>1.44,且y=2x在R上单调递增, 所以y1>y3>y2. 【方法技巧】在幂的大小比较中,常用的构造方式有两种 (1)构造幂函数,该方法适合“同指不同底”的两个实数的大小比较. (2)构造指数函数,该方法适合“同底不同指”的两个实数的大小比较. 在此基础上,借助该函数的性质(单调性等)比较两个数值的大小. 5.已知奇函数y=若f(x)=ax(a>0,a≠1)对应的图象如图所示,则g(x)= (  ) A. B.- C.2-x D.-2x 【解析】选D.由图象可知,当x>0时,函数f(x)单调递减,则0<a<1,因为f(1)=,所以a=,即函数f(x)=,当x<0时,-x>0,则f(-x)==-g(x),即g(x)=-=-2x,故g(x)=-2x,x<0. 6.若函数y=a2x+2ax-1(a>0,a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是14,则实数a的值 是 (  ) A.3 B. C.3或 D.5或 【解析】选C.设ax=t,则原函数的最大值问题转化为求关于t的函数y=t2+2t-1的最大值问题.因为函数图象的对称轴为t=-1,且开口向上,所以函数y=t2+2t-1在t∈(0,+∞)上是增函数.当a>1时,a-1≤t≤a,所以t=a时,y取得最大值14,即a2+2a-1=14,解得a=3(舍去-5);当0<a<1时,a≤t≤a-1,所以t=a-1时,y取得最大值14,即a-2+2a-1-1=14,解得a=.综上,实数a的值为3或. 7.已知函数f(x)=若f(f(x))≥-2,则x的取值范围为 (  ) A.[-2,1] B.[,+∞) C.[-2,1]∪[,+∞) D.[0,1]∪[,+∞) 【解析】选C.因为f(f(x))≥-2,结合f(x)的图象可知f(x)的取值范围是(-∞,0]∪,故x的取值范围为[-2,1]∪[,+∞). 二、填空题(每小题5分,共15分) 8.化简:(x<0,y<0)=________.  【解题指南】将根式化为分数指数幂,然后利用幂的运算性质进行计算. 【解析】= ===-1. 答案:-1 9.函数y=ax-2 018+2 018(a>0且a≠1)的图象恒过定点________.  【解析】令x-2 018=0,得x=2 018,此时,y=a0+2 018=2 019,所以图象恒过定点(2 018,2 019). 答案:(2 018,2 019) 【变式备选】若函数y=(a2-1)x在 (-∞,+∞)上为减函数,则实数a的取值范围是________.  【解析】由题意知0<a2-1<1,即1<a2<2, 得-<a<-1或1<a<. 答案:(-,-1)∪(1,) 10.函数y=-+1在x∈[-3,2]上的值域是________. 【解题指南】解答本题可利用换元法,即令t=,把函数化为y=t2-t+1,其中t∈,然后求在这个闭区间上的二次函数的最大值和最小值即可确定函数的值域. 【解析】y=-+1 =-+1=+, 因为x∈[-3,2],所以≤≤8. 当=时,ymin=;当=8时,ymax=57.所以函数的值域为. 答案: 【误区警示】对于含ax,a2x的表达式,通常可以令t=ax进行换元,但换元过程中一定要注意新元的范围,换元后转化为我们熟悉的一元二次关系. 1.(5分)函数y=(0<a<1)图象的大致形状是 (  ) 【解析】选D.函数定义域为{x|x∈R,x≠0},且y==当x>0时,函数是一个指数函数,因为0<a<1,所以函数在(0,+∞)上是减函数;当x<0时,函数图象与指数函数y=ax(x<0,0<a<1)的图象关于x轴对称,在(-∞,0)上是增函数. 2.(5分)若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间 是 (  ) A.(-∞,2]   B.[2,+∞) C.[-2,+∞)  D.(-∞,-2] 【解析】选B.由f(1)=,得a2=,所以a=, 即f(x)=.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在 [2,+∞)上递增,所以f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减. 3.(5分)(2018·金华模拟)若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,a≠1) 的图象有两个公共点,则实数a的取值范围为________.  【解析】分底数0<a<1与a>1两种情况,分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象,如图, 从图中可以看出,只有当0<a<1,且0<2a<1,即0<a<时,两函数才有两个交点. 所以实数a的取值范围为. 答案: 【变式备选】若函数y=(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,1],则loga+loga=________.  【解析】当a>1时,y=在[0,1]上单减,依题设知: 解得:a=2,此时loga+loga=log2+log2=log2=log24=2. 当0<a<1时,函数y=在[0,1]上单增,所以 解得a∈∅,此时,无解. 综上可知:loga+loga=2. 答案:2 4.(12分)已知函数y=b+(a,b是常数且a>0,a≠1)在区间上有ymax=3,ymin=,试求a,b的值. 【解析】令t=x2+2x=(x+1)2-1, 因为x∈,所以t∈[-1,0]. (1)若a>1,函数f(x)=at在[-1,0]上为增函数, 所以at∈,则b+∈, 依题意得解得 (2)若0<a<1,函数f(x)=at在[-1,0]上为减函数, 所以at∈, 则b+∈, 依题意得解得 综上,所求a,b的值为或 【方法技巧】(1)指数函数的底数不确定时,单调性不明确,从而无法确定其最值,故应分a>1和0<a<1两种情况讨论. (2)解决和指数函数有关的值域或最值问题时,要熟练掌握指数函数的单调性,搞清复合函数的结构,利用换元法求解时要注意新元的取值范围. 5.(13分)(2018·广州模拟)已知函数f(x)=. (1)判断函数的奇偶性. (2)证明:f(x)在定义域内是增函数. (3)求f(x)的值域. 【解析】(1)因为f(x)的定义域为R,且f(-x)==-f(x),所以f(x)是奇函数. (2)f(x)===1-,令x2>x1,则 f(x2)-f(x1)=- =2×. 因为x2>x1,所以1-1>0,又1+1>0,1+1>0,f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),所以函数f(x)在定义域内是增函数. 【一题多解】解答本题(2)还可以用如下的方法解决: f(x)==1-. 因为y1=10x为增函数, 所以y2=102x+1为增函数,y3=为减函数,y4=-为增函数,f(x)=1-为增函数. 所以f(x)=在定义域内是增函数. (3)令y=f(x),由y=,解得102x=, 因为102x>0,所以-1<y<1,即函数f(x)的值域是(-1,1). 【变式备选】已知函数f(x)=1- (a>0且a≠1)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数. (1)求a的值. (2)求函数的值域. (3)当x∈(0,1]时,tf(x)≥2x-2恒成立,求实数t的取值范围. 【解析】(1)因为f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数, 所以f(0)=0,即1-=0.解得a=2. (2)因为y=,所以2x=. 由2x>0知>0,所以-1<y<1.即f(x)的值域为(-1,1). (3)不等式tf(x)≥2x-2等价于≥2x-2, 即(2x)2-(t+1)2x+t-2≤0. 令2x=u,因为x∈(0,1],所以u∈(1,2]. 又u∈(1,2]时,u2-(t+1)u+t-2≤0恒成立. 所以解得t≥0. 故所求t的取值范围为[0,+∞).

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