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doc 课时分层作业 五十七抛 物 线 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.已知抛物线y2=x,则它的准线方程为 (  ) A.y=-2     B.y=2   C.x=-    D.y= 【解析】选C.因为抛物线y2=x,所以p=,=,它的准线方程为x=-. 2.(2018·洛阳模拟)已知点M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F为C的焦点,MF的中点坐标是(2,2),则p的值为 (  ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选D.F,那么M在抛物线上,即16=2p,即p2-8p+16=0,解得p=4. 3.若抛物线y2=2px(p>0)上的点P到其焦点F的距离是P到y轴距离的3倍,则p等于 (  ) A.  B.1 C.  D.2 【解析】选D.根据焦半径公式|PF|=x0+,所以x0+=3x0,解得x0=,代入抛物线方程=2p×,解得p=2. 【变式备选】抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P是C上一点,若P到F的距离是P到y轴距离的两倍,且三角形△OPF的面积为1(O为坐标原点),则p的值为 (  ) A.1  B.2  C.3  D.4 【解析】选B.设点P(x,y),根据已知可得x+=2x,解得:x=,|y|=p,所以 S△OPF=××p=1,解得p=2. 4.(2018·正定模拟)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为 (  ) A.y=x-1或y=-x+1 B.y=(x-1)或y=-(x-1) C.y=(x-1)或y=-(x-1) D.y=(x-1)或y=-(x-1) 【解析】选C.如图所示,作出抛物线的准线l1及点A,B到准线 的垂线段AA1,BB1,并设直线l交准线于点M.设|BF|=m,由抛物 线的定义可知|BB1|=m,|AA1|=|AF|=3m.由BB1∥AA1可知 =,即=,所以|MB|=2m,则|MA|=6m.故∠AMA1=30°,得∠AFx=∠MAA1=60°,结合选项知选C项. 【一题多解】本题还可以采用以下方法: 选C.由|AF|=3|BF|可知=3,易知F(1,0),设B(x0,y0),则从而可解得A的坐标为(4-3x0,-3y0).因为点A,B都在抛物线上,所以解得x0=,y0=±,所以kl==±. 【变式备选】已知抛物线C:y2=4x的焦点是F,过点F的直线与抛物线C相交于P,Q两点,且点Q在第一象限,若3=,则直线PQ的斜率是 (  ) A.1  B.  C.  D. 【解析】选D.设P,Q,由抛物线的方程可知,抛物线的焦点F, 因为3=,则3=,所以y2=-3y1, 又设过焦点的直线的斜率为k,所以方程为y=k, 联立得方程组得y2-y-4=0,所以y1+y2=,y1y2=-4, 代入可得k=. 5.(2018·石家庄模拟)已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为 (  ) A.x2=y B.x2=y C.x2=8y D.x2=16y 【解析】选D.因为-=1的离心率为2,所以=2,即==4,所以=.x2=2py的焦点坐标为,-=1的渐近线方程为y=±x,即y=±x.由题意得=2,所以p=8.故C2的方程为x2=16y. 二、填空题(每小题5分,共15分) 6.已知直线l1:3x-4y+7=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是______  【解析】抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0),准线方程是x=-1,根据抛物线定义,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和可以看成抛物线y2=4x上一动点P到焦点和直线l1的距离之和,其最小值为焦点F到直线l1:3x-4y+7=0的距离, d==2. 答案:2 7.已知P在抛物线y2=2px(p>0)上,且P到焦点F的距离为10,则焦点F到准线的距离为________.  【解析】设点P(8,a)在抛物线y2=2px (p>0)的准线上的射影为M,则M,依题意,|PM|=|PF|=10,即8-=10,所以p=4.即点F到抛物线准线的距离等于4. 答案:4 【题目溯源】本考题源于教材人教A版选修2-1 P67 练习T3“抛物线y2=12x上与焦点距离等于9的点的坐标是________”  【变式备选】已知抛物线x2=y上一点A到准线的距离为,则A到顶点的距离等于________.  【解析】p=,设A(x,y),则y+=,所以y=1.代入抛物线方程得x=±1,所以 A(±1,1),|AO|=. 答案: 8.(2018·重庆模拟)设抛物线y2=4x的焦点为F,过点F作直线l与抛物线分别交于两点A,B,若点M满足=,过M作y轴的垂线与抛物线交于点P,若|PF|=2,则M点的横坐标为________. 【解析】抛物线y2=4x 的焦点F,由题意知,直线AB的斜率存在.设A,B,M,P,直线AB 方程为y=k,所以,所以ky2-4y-4k=0, 所以y1+y2=,所以y0==,因为 = 4x′,所以x′=,因为|PF|=2,所以x′=1,k2=1,所以x0=== +1=3. 答案:3 三、解答题(每小题10分,共20分) 9.(2018·威海模拟)如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点. (1)求点A,B的坐标. (2)求△PAB的面积. 【解析】 (1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t). 由消去y,整理得x2-4kx+4kt=0, 由于直线PA与抛物线相切,得k=t. 因此,点A的坐标为(2t,t2). 设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0). 由题意知:点B,O关于直线PD对称, 故解得 因此,点B的坐标为. (2)由(1)知|AP|=t·, 直线PA的方程为tx-y-t2=0. 点B到直线PA的距离是d=. 设△PAB的面积为S(t),则S(t)=|AP|·d=. 10.(2018·衡水模拟)已知抛物线C:y2=ax(a>0)上一点P到焦点F的距离为2t. (1)求抛物线C的方程. (2)抛物线上一点A的纵坐标为1,过点Q(3,-1)的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合),设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,求证:k1·k2为定值. 【解析】(1)由抛物线的定义可知|PF|=t+=2t,则a=4t, 由点P在抛物线上,则at=. 所以a×=,则a2=1, 由a>0,则a=1, 故抛物线的方程为y2=x. (2)因为A点在抛物线上,且yA=1. 所以xA=1, 所以A(1,1),设过点Q(3,-1)的直线l的方程x-3=m(y+1).即x=my+m+3, 代入y2=x得y2-my-m-3=0. 设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=m,y1y2=-m-3, 所以k1·k2=· = ==-,为定值. 【变式备选】已知点A(2,1)在抛物线E:x2=ay上,直线l1:y=kx+1(k∈R,且k≠0)与抛物线E相交于B,C两点,直线AB,AC分别交直线l2:y=-1于点S,T. (1)求a的值. (2)若|ST|=2,求直线l1的方程. 【解析】(1)因为点A(2,1)在抛物线E:x2=ay上, 所以a=4. (2)由(1)得抛物线E的方程为x2=4y. 设点B,C的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 依题意得=4y1,=4y2, 由消去y,得x2-4kx-4=0, 解得x1,2==2k±2. 所以x1+x2=4k,x1x2=-4. 直线AB的斜率kAB===, 故直线AB的方程为y-1=(x-2). 令y=-1,得x=2-(由题意知x1+2≠0), 所以点S的坐标为. 同理可得点T的坐标为. 所以|ST|= = = ==, 因为|ST|=2, 所以|x1-x2|=2|k|. 由|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2,得20k2=16k2+16,解得k=2或k=-2, 所以直线l1的方程为y=2x+1或y=-2x+1. 1.(5分)(2018·玉溪模拟)若抛物线y2=2px(p>0)上一点P(2,y0)到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为 (  ) A.y2=4x B.y2=6x C.y2=8x D.y2=10x 【解析】选C.因为抛物线y2=2px,所以准线为x=-. 因为点P(2,y0)到其准线的距离为4, 所以2+=4,所以p=4, 所以抛物线的标准方程为y2=8x. 2.(5分)(2018·永州模拟)已知点M,N是抛物线y=4x2上不同的两点,F为抛物线的焦点,且满足∠MFN=135°,弦MN的中点P到直线l:y=-的距离为d,若|MN|2=λ·d2,则λ的最小值为 (  ) A. B.1- C.1+ D.2+ 【解析】选D.抛物线y=4x2的焦点F,准线为y=-,设|MF|=a,|NF|=b,由∠MFN=135°,可得|MN|2=|MF|2+|NF|2-2|MF|·|NF|·cos ∠MFN=a2+b2+ab,由抛物线的定义可得M到准线的距离为|MF|,N到准线的距离为|NF|,由梯形的中位线定理可得d=(|MF|+|NF|)=(a+b),由|MN|2=λ·d2,可得λ== 1-≥1-=1-=,可得λ≥2+,当且仅当a=b时,取得最小值2+. 【变式备选】(2018·衡水模拟)焦点为F的抛物线C: y2=8x的准线与x轴交于点A,点M在抛物线C上,则当取得最大值时,直线MA的方程为 (  ) A.y=x+2或y=-x-2 B.y=x+2 C.y=2x+2或y=-2x+2 D.y=-2x+2 【解析】选A. 过M作MP与准线垂直,垂足为P,则===,则当取得最大值时, ∠MAF必须取得最大值,此时直线AM与抛物线相切,可设切线方程为y=k,与y2=8x联立,消去x得ky2-8y+16k=0,所以Δ=64-64k2=0,得k=±1.则直线方程为y=x+2或y=-x-2. 3.(5分)(2016·浙江高考)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是________.  【解析】由抛物线定义得xM+1=10⇒xM=9. 答案:9 4.(12分)(2017·北京高考)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点. (1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程. (2)求证:A为线段BM的中点. 【解析】(1)把P(1,1)代入y2=2px得p=,所以C:y2=x, 所以焦点坐标,准线:x=-. (2)设l:y=kx+,M(x1,y1),N(x2,y2), OP:y=x,ON:y=x, 由题知A(x1,x1),B, 由 消去y得k2x2+(k-1)x+=0, 所以x1+x2=,x1·x2=. 所以y1+=kx1++=2kx1+, 由x1+x2=,x1x2=, 上式=2kx1+=2kx1+(1-k)·2x1=2x1,所以A为线段BM的中点. 5.(13分)(2017·浙江高考)如图,已知抛物线x2=y.点A,B,抛物线上的点P(x,y),过点B作直线AP的垂线,垂足为Q. (1)求直线AP斜率的取值范围. (2)求·的最大值. 【解析】(1)设直线AP的斜率为k, k==x-, 因为-<x<,所以直线AP斜率的取值范围是(-1,1). (2)联立直线AP与BQ的方程 解得点Q的横坐标是xQ=, 因为|PA|==(k+1), |PQ|= (xQ-x)=-, 所以 |PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3, 令f(k)=-(k-1)(k+1)3, 因为f′(k)=-(4k-2)(k+1)2, 所以f(k)在区间上单调递增,上单调递减, 因此当k=时,|PA|·|PQ| 取得最大值.

全国通用版2019版高考数学一轮复习第八章解析几何课时分层作业五十七8.8抛物线理.doc

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