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doc 课时分层作业 五十五直线与椭圆的综合问题 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.(2018·保定模拟)不论k为何值,直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆+=1恒有公共点,则实数m的取值范围是 (  ) A.(0,1) B.(0,7) C.[1,7) D.(1,7] 【解析】选C.直线y=kx+1恒过定点(0,1),由题意知(0,1)在椭圆+=1上或其内部,所以有≤1,得m≥1.又椭圆+=1的焦点在x轴上,所以m<7.综上, 1≤m<7. 2.已知椭圆C:+=1,若直线l经过M(0,1),与椭圆交于A,B两点,且=-,则直线l的方程为 (  ) A.y=±x+1 B.y=±x+1 C.y=±x+1 D.y=±x+1 【解析】选B.设直线l的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2), 因为=-,所以2x2=-3x1,y=kx+1与+=1联立可得,(5+9k2)x2+18kx-36 =0, 则解得k=±,即所求直线方程为y=±x+1. 3.(2018·大连模拟)已知焦点在x轴上的椭圆C:+y2=1(a>0),过右焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A,B两点,且|AB|=1,则该椭圆的离心率为 (  ) A. B. C. D. 【解析】选A.因为椭圆+y2=1(a>0)的焦点在x轴上,所以c=,又过右焦点且垂直于x轴的直线为x=c,将其代入椭圆方程中,得+y2=1,则y=±,又|AB|=1,所以2=1,得=,所以该椭圆的离心率e==. 【变式备选】设直线y=kx与椭圆+=1相交于A,B两点,分别过A,B两点向x轴作垂线,若垂足恰为椭圆的两个焦点,则k等于 (  ) A.± B.± C.± D.±2 【解析】选A.由题意可知,点A与点B的横坐标即为焦点的横坐标,又c=1,当k>0时,不妨设A,B两点的坐标分别为(-1,y1),(1,y2), 代入椭圆方程得解得k=; 同理可得当k<0时k=-. 4.设F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,若在直线x=上存在点P,使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆离心率的取值范围是 (  ) A. B. C. D. 【解析】选D.由题意可设P,因为PF1的中垂线过点F2,所以|F1F2|=|F2P|,即2c=, 整理得y2=3c2+2a2-. 因为y2≥0,所以3c2+2a2-≥0, 即3e2-+2≥0,解得e≥. 所以e的取值范围是. 【一题多解】本题还可以采用以下方法: 选D.设直线x=与x轴交于M点,则|F1F2|=|F2P|≥|MF2|,即2c≥-c,整理得e2≥,又0<e<1,所以≤e<1.所以椭圆离心率的取值范围是. 【变式备选】中心为原点O的椭圆焦点在x轴上,A为该椭圆右顶点,P为椭圆上一点,∠OPA=90°,则该椭圆的离心率e的取值范围是 (  ) A. B. C. D. 【解析】选B.设椭圆标准方程为+=1(a>b>0),设P(x,y),点P在以OA为直径的圆上.圆的方程:+y2=,化简为x2-ax+y2=0, 消去y可得 (b2-a2)x2+a3x-a2b2=0. 则x=,因为0<x<a,所以0<<a, 可得<e<1. 5.(2018·济南模拟)已知直线y=-x+1与椭圆+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若椭圆的离心率为,焦距为2,则线段AB的长是 (  ) A. B. C. D.2 【解析】选B.由条件知c=1,e==,所以a=,b=1,椭圆方程为+y2=1,联立直线方程与椭圆方程可得A(0,1),B,所以|AB|=. 【题目溯源】本考题源于教材人教A版选修2-1P48练习T7“经过椭圆+y2=1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l,直线l与椭圆相交于A,B两点,求AB的长”. 【变式备选】已知椭圆+y2=1与直线y=x+m交于A,B两点,且|AB|=,则实数m的值为 (  ) A.±1 B.± C. D.± 【解析】选A.由消去y并整理, 得3x2+4mx+2m2-2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=-,x1x2=. 由题意,得=, 解得m=±1. 二、填空题(每小题5分,共15分) 6.直线m与椭圆+y2=1交于P1,P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为k1(k1≠0),直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为__________.  【解析】由点差法可求出k1=-·, 所以k1·=-,即k1k2=-. 答案:- 7.过椭圆+=1(a>b>2)上顶点和右顶点分别作圆x2+y2=4的两条切线,两切线的斜率之积为-,则椭圆的离心率的取值范围是__________.  【解析】设过椭圆+=1(a>b>2)上顶点和右顶点作x2+y2=4的两条切线的斜率为k1,k2,则两条切线方程分别为l1:y=k1x+b,l2:y=k2(x-a);由于圆心(0,0)到两条切线的距离为2,可知=2,=2,又a>b>2,化简可得=b2-1,=,又因为k1×k2=-,所以×==,解得16b2=9a2+28,又因为b2=a2-c2,所以a2=,所以e2==<,所以0<e<. 答案: 8.(2018·郑州模拟)已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆上一点,且·=c2,则此椭圆离心率的取值范围是__________. 【解析】设P(x,y),则· =(-c-x,-y)·(c-x,-y) =x2-c2+y2=c2,① 将y2=b2-x2代入①式解得 x2==, 又x2∈[0,a2],所以2c2≤a2≤3c2, 所以e=∈. 答案: 三、解答题(每小题10分,共20分) 9.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c. (1)求椭圆E的离心率. (2)如图所示,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程. 【解析】(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d==, 由d=c,得a=2b=2,求得离心率=. (2)方法一:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.① 依题意,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|=. 易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入①得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=-, x1x2=. 由x1+x2=-4,得-=-4, 解得k=.从而x1x2=8-2b2. 于是|AB|=|x1-x2| ==. 由|AB|=,得=, 解得b2=3.故椭圆E的方程为+=1. 方法二:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.② 依题意,点A,B关于圆心M(-2,1)对称,且|AB|=. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则+4=4b2,+4=4b2, 两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2,得 -4(x1-x2)+8(y1-y2)=0. 易知AB与x轴不垂直,则x1≠x2, 所以AB的斜率kAB==. 因此直线AB的方程为y=(x+2)+1,代入②得x2+4x+8-2b2=0. 所以x1x2=8-2b2. 于是|AB|=|x1-x2| ==. 由|AB|=,得=, 解得b2=3. 故椭圆E的方程为+=1. 10.(2018·开封模拟)已知圆C:(x+1)2+y2=8,定点A(1,0),M为圆上一动点,线段MA的垂直平分线交线段MC于点N,设点N的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程. (2)若经过F(0,2)的直线L交曲线于不同的两点G,H(点G在点F,H之间),且满足=,求直线L的方程. 【解析】(1)设点N的坐标为(x,y),NP是线段AM的垂直平分线,|NA|=|NM|,又点N在CM上,圆C:(x+1)2+y2=8,半径r=2, 所以|NC|+|NM|=2,|NC|+|NA|=|NC|+|NM|=2>|AC|. 所以点N的轨迹是以A,C为焦点的椭圆, 设其方程为:+=1(a>b>0),则 2a=2,a=,c=1,b2=a2-c2=1. 所以曲线E方程:+y2=1. (2)设G(x1,y1),H(x2,y2), 当直线GH斜率存在时,设直线GH的斜率为k. 则直线GH的方程为:y=kx+2, 所以整理,得 x2+4kx+3=0,由Δ>0,解得: k2>,x1+x2=-,x1·x2=. ① 又因为=(x1,y1-2),=(x2,y2-2), 由=,得x1=x2,结合①得 =,即k2=2>, 解得k=±. 所以直线L的方程为:y=±x+2, 当直线GH斜率不存在时,直线L的方程为x=0, =与=矛盾. 所以直线L的方程为:y=±x+2. 【变式备选】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)过点A(2,1),离心率为. (1)求椭圆的方程. (2)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆相交于B,C两点(异于点A),线段BC被y轴平分,且AB⊥AC,求直线l的方程. 【解析】(1)由条件知椭圆+=1(a>b>0)离心率为e==,所以b2=a2-c2=a2. 又点A(2,1)在椭圆+=1(a>b>0)上, 所以+=1,解得 所以,所求椭圆的方程为+=1. (2)将y=kx+m(k≠0)代入椭圆方程,得 x2+4(kx+m)2-8=0, 整理,得(1+4k2)x2+8mkx+4m2-8=0.① 由线段BC被y轴平分,得xB+xC=-=0, 因为k≠0,所以m=0. 因为当m=0时,B,C关于原点对称,设B(x,kx),C(-x,-kx), 由方程①,得x2=,又因为AB⊥AC,A(2,1),所以·=(x-2)(-x-2)+(kx -1)(-kx-1)=5-(1+k2)x2=5-=0,解得k=±. 由于k=时,直线y=x过点A(2,1),故k=不符合题设.所以,此时直线l的方程为y=-x. 1.(5分)(2018·西安模拟)设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,若椭圆上存在一点P,使(+)·=0(O为坐标原点),则△F1PF2的面积是 (  ) A.4 B.3 C.2 D.1 【解析】选D.因为(+)·=(+)·=·=0,所以PF1⊥PF2,∠F1PF2=90°.设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=4,m2+n2=12,2mn=4,所以= mn=1. 2.(5分)设A为椭圆+=1(a>b>0)上一点,点A关于原点的对称点为B,F为椭圆的右焦点,且AF⊥BF,若∠ABF∈,则该椭圆离心率的取值范围是 (  ) A. B. C. D. 【解析】选D.设椭圆的左焦点为F′,所以|AF|+|AF′|=2a,根据对称性可知,|BF|=|AF′|,所以|AF|+|BF|=2a①,O是直角三角形ABF斜边的中点,所以|AB|=|F1F2|=2c,设∠ABF=α,所以|AF|=2csin α,|BF|=2ccos α,所以代入①得2csin α+2ccos α=2a,即==,因为α∈,α+∈,所以sin∈,所以e=∈. 3.(5分)已知椭圆的方程是x2+2y2-4=0,则以M(1,1)为中点的弦所在直线方程是__________.  【解析】显然该直线的斜率存在且不为零.设过点M(1,1)的方程为y=kx+(1-k), 联立方程组 则有(1+2k2)x2+(4k-4k2)x+(2k2-4k-2)=0, 所以=·=1,解得k=-, 所以y=-x+,即x+2y-3=0. 答案:x+2y-3=0 4.(12分)(2018·太原模拟)已知椭圆E:+=1(a>b>0)经过点,离心率为,点O为坐标原点. (1)求椭圆E的标准方程. (2)过椭圆E的左焦点F任作一直线l,交椭圆E于P,Q两点,求·的取值范围. 【解析】(1)因为所以 从而c=2,椭圆E的方程为+y2=1. (2)F(-2,0),当直线l的斜率不存在时, 可得P,Q,此时·=4-=; 当直线l的斜率存在时, 设l:y=k(x+2),P(x1,y1),Q(x2,y2), 联立y=k(x+2)与+y2=1,可得 (1+5k2)x2+20k2x+20k2-5=0, 所以x1+x2=-,x1x2=, ·=x1x2+y1y2 =(1+k2)x1x2+2k2(x1+x2)+4k2, 所以·=(1+k2)·+2k2·+4k2==-, 因为k2≥0,5k2+1≥1,所以-≤-<0, 从而-5≤·<, 综上可得·的取值范围是. 5.(13分)(2018·桂梧模拟)已知中心为坐标原点O,焦点在y轴上的椭圆M的焦距为4,且椭圆M过点(1,). (1)求椭圆M的方程. (2)若过点C(0,1)的直线l与椭圆M交于A,B两点,=2,求直线l的方程. 【解析】(1)设椭圆M的方程为+=1(a>b>0), 因为2c=4,所以c=2,所以a2-b2=c2=4, 又+=1,解得a2=6,b2=2, 故椭圆M的方程为+=1. (2)设直线l的方程为y=kx+1, 由得(3+k2)x2+2kx-5=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-, x1x2=-, 因为=2,所以x1=-2x2, 所以x1+x2=-x2=-,则x2=. 又x1x2=-2=-,所以2==, 即=5,k2=5, 所以k=±.故直线l的方程为y=±x+1. 【方法技巧】求轨迹方程的常见方法有:①直接法,设出动点的坐标(x,y),根据题意列出关于x,y的等式即可;②定义法,根据题意,动点符合已知曲线的定义,直接求出方程;③参数法,把x,y分别用第三个变量表示,消去参数即可;④逆代法,将代入f(x0,y0)=0.

全国通用版2019版高考数学一轮复习第八章解析几何课时分层作业五十五8.6.2直线与椭圆的综合问题理.doc

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