标签: 全国   通用版   2019   高考   数学   一轮   复习   第十   计数   原理   概率   随机变量   及其   分布   课时   分层   作业   七十二   10.9   离散   均值   方差  
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doc 课时分层作业 七十二 离散型随机变量的均值与方差 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P q2 则E(X)= (  ) A. B. C.2 D. 【解析】选C.由++q2=1,得3q2-q=0,即q=或q=0(舍去), 故分布列为 X 1 2 3 P E(X)=1×+2×+3×=2. 2.已知离散型随机变量X的概率分布列为 (  ) X 1 3 5 P 0.5 m 0.2 则其方差D(X)= (  ) A.1 B.0.6 C.2.44 D.2.4 【解析】选C.因为0.5+m+0.2=1,所以m=0.3,所以E(X)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4,D(X)=(1-2.4)2×0.5+(3-2.4)2×0.3+(5-2.4)2×0.2=2.44. 3.(2018·太原模拟)口袋中有5只球,编号分别为1,2,3,4,5,从中任取3只球,以X表示取出的球的最大号码,则X的数学期望E(X)的值是 (  ) A.4 B.4.5 C.4.75 D.5 【解析】选B.由题意知,X可以取3,4,5,P(X=3)==,P(X=4)==, P(X=5)===, 所以E(X)=3×+4×+5×=4.5. 【变式备选】(2018·新乡模拟)设某人在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,且概率都是0.4,则此人三次上班途中遇红灯的次数的数学期望为 (  ) A.0.4 B.1.2 C.0.43 D.0.6 【解析】选B.因为途中遇到红灯的次数X服从二项分布,即X~B(3,0.4),所以E(X)=3×0.4=1.2. 4.(2018·黄山模拟)已知X+Y=8,若X~B(10,0.6),则E(Y)和D(Y)分别是(  ) A.6和2.4 B.2和2.4 C.2和5.6 D.6和5.6 【解析】选B.因为X~B(10,0.6),则n=10,p=0.6,所以E(X)=10×0.6=6,D(X)=10×0.6×(1-0.6)=2.4, 又X+Y=8,则Y=8-X, 所以E(Y)=8-E(X)=8-6=2, D(Y)=(-1)2D(X)=2.4×1=2.4. 【变式备选】1.设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=,k=0,1,2,3,则E(ξ)= (  ) A. B. C. D. 【解析】选B.由条件知c+++=1,所以c=,故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 故E(ξ)=0×+1×+2×+3×=. 2.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体切割为125个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为X,则X的均值E(X)等于 (  )                    A. B. C. D. 【解题指南】先确定X的值,再由古典概型的概率公式分别求其概率,最后套公式求E(X). 【解析】选B.由题意知X可取0,1,2,3,且 P(X=0)==, P (X=1)==, P(X=2)==,P (X=3)=. 故E(X)=+2×+3×=. 5.某射击运动员在一次射击比赛中所得环数X的分布列如下: X 3 4 5 6 P x 0.1 0.3 y 已知X的均值E(X)=4.3,则D(X)= (  ) A.1.38 B.1.41 C.1.42 D.1.56 【解析】选B.由题意知,x+0.1+0.3+y=1, 又E(X)=3x+4×0.1+5×0.3+6y=4.3,两式联立解得x=0.4,y=0.2. 所以D(X)=(3-4.3)2×0.4+(4-4.3)2×0.1+(5-4.3)2×0.3+(6-4.3)2×0.2 =0.676+0.009+0.147+0.578 =1.41. 二、填空题(每小题5分,共15分) 6.(2018·中山模拟)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p=________.  【解析】由于X~B(n,p),且E(X)=30,D(X)=20, 所以 解得p=. 答案: 7.(2018·南昌模拟)随机变量X的取值为0,1,2,若P(X=0)=,E(X)=1,则D(X)=________.  【解析】设X=1时的概率为p,则E(X)=0×+1×p+2×=1,解得p=, 故D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=. 答案: 8.据统计,一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为0.005,保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险,交保险费100元,若一年内万元以上财产被窃,保险公司赔偿a元(a>1 000),为确保保险公司有可能获益,则a的取值范围是________. 【解题指南】转化为求保险公司在参保人身上的收益的期望问题,由此列不等式求解. 【解析】X表示保险公司在参加保险者身上的收益,其概率分布列为 X 100 100-a P 0.995 0.005 E(X)=0.995×100+(100-a)×0.005=100-.若保险公司获益,则期望大于0,解得a<20 000,所以a∈(1 000,20 000). 答案:(1 000,20 000) 三、解答题(每小题10分,共20分) 9.(2018·山东师大附中模拟)为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分组区间是[20,25),[25,30),[30,35), [35,40),[40,45]. (1)求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35,40)岁的人数. (2)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动,再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X,求X的分布列及均值. 【解析】(1)因为小矩形的面积等于频率,所以除[35,40)外的频率和为0.70,所以x==0.06. 故500名志愿者中,年龄在[35,40)岁的人数为0.06×5×500=150(人). (2)用分层抽样的方法,从中选取20名,则其中年龄“低于35岁”的人有12名,“年龄不低于35岁”的人有8名. 故X的可能取值为0,1,2,3, P(X=0)==,P(X=1)==, P(X=2)==,P(X=3)==, 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)=0×+1×+2×+3×=. 10.(2018·石家庄模拟)某茶楼有四类茶饮,假设为顾客准备泡茶工具所需的时间相互独立,且都是整数(单位:分钟).现统计该茶楼服务员以往为100位顾客准备泡茶工具所需的时间t,结果如表所示. 类别 铁观音 龙井 金骏眉 大红袍 顾客数(人) 20 30 40 10 时间t(分钟/人) 2 3 4 6 注:服务员在准备泡茶工具时的间隔时间忽略不计,并将频率视为概率. (1)求服务员恰好在第6分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具的概率. (2)用X表示至第4分钟末服务员已准备好了泡茶工具的顾客数,求X的分布列及均值. 【解析】(1)由题意知t的分布列如下. t 2 3 4 6 P 设A表示事件“服务员恰好在第6分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具”,则事件A对应两种情形: ①为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为2分钟,且为第二位顾客准备泡茶工具所需的时间为3分钟; ②为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为3分钟,且为第二位顾客准备泡茶工具所需的时间为2分钟. 所以P(A)=P (t=2)×P (t=3)+P (t=3)×P (t=2)=×+×=. (2) X的所有可能取值为0,1,2,X=0对应为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间超过4分钟,所以P (X=0)=P (t>4)=P (t=6)=. X=1对应为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为2分钟且为第二位顾客准备泡茶工具所需的时间超过2分钟,或为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为3分钟,或为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为4分钟, 所以P (X=1)=P (t=2)·P (t>2)+P (t=3)+P (t=4)=×++=; X=2对应为两位顾客准备泡茶工具所需的时间均为2分钟,所以P(X=2)=P(t=2)·P(t=2)=×=. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以X的均值E(X)=0×+1×+2×=. 1.(5分)(2018·福州模拟)甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数X的期望E(X)为 (  ) A. B. C. D. 【解析】选B.依题意,知X的所有可能值为2,4,6,设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为+=.若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P(X=2)=,P(X=4)=×=, P(X=6)==,故E(X)=2×+4×+6×=. 2.(5分)(2018·哈尔滨模拟)为了响应国家发展足球的倡议,哈尔滨市某校在秋季运动会中,安排了足球射门比赛,现有10名同学参加足球射门比赛,已知每名同学踢进的概率均为0.6,每名同学有2次射门机会,且各同学射门之间没有影响,现规定:踢进两个得10分,踢进一个得5分,一个未进得0分,记X为10个同学的得分总和,则X的数学期望为 (  ) A.30 B.40 C.60 D.80 【解析】选C.每位同学的进球个数ξ~B(2,0.6), 所以E(ξ)=2×0.6=1.2, 所以E(X)=10×5E(ξ)=50×1.2=60. 3.(5分)在一袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4),现从袋中任取一球,X表示所取球的标号.若Y=aX+b,E(Y)=1, D(Y)=11,则ab的值为________.  【解析】X的取值为0,1,2,3,4,其分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=1.5,D(X)=(0-1.5)2×+(1-1.5)2×+(2-1.5)2×+(3-1.5)2×+(4-1.5)2×=2.75. 由D(Y)=a2D(X)得2.75a2=11,得a=±2, 又E(Y)=aE(X)+b, 所以当a=2时,由1=2×1.5+b,得b=-2; 当a=-2时,由1=-2×1.5+b,得b=4, 即或 故ab=-4或-8. 答案:-4或-8 4.(12分)(2016·山东高考)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一个人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响.各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求: (1)“星队”至少猜对3个成语的概率. (2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X). 【解题指南】(1)要弄清“至少猜对3个”所包含的事件. (2)找全两轮得分之和为X的可能值,然后计算每种可能值的概率. 【解析】(1)由题意,“星队”至少猜对3个成语包含“甲对一乙对二”与“甲对二乙对一”“甲乙全对”, 所以P=×××+××××+=++=. (2)“星队”两轮得分之和为X的可能值为:0,1,2,3,4,6. P(X=0)==; P(X=1)=(×××+×××)×2=; P(X=2)=×××+×××+×××+×××=; P(X=3)=××2==; P(X=4)=×××2=; P(X=6)=×=. 可得随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 6 P 所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+6×=. 【易错提醒】解答本题易出现如下两点错误: (1)对至少猜对3个成语所对的事件不清晰造成错解. (2)得分之和的分布列,与每个成语答对的人数的对应关系处理不当造成错解. 5.(13分)(2018·海口模拟)汽车租赁公司为了调查A,B两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车,分别统计了每辆车某个星期内的出租天数,统计数据如下表: A型车 出租天数 1 2 3 4 5 6 7 车辆数 5 10 30 35 15 3 2 B型车 出租天数 1 2 3 4 5 6 7 车辆数 14 20 20 16 15 10 5 (1)从出租天数为3的汽车(仅限A,B两种车型)中随机抽取一辆,估计这辆汽车恰好是A型车的概率. (2)根据这个星期的统计数据,估计该公司 一辆A型车与一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4的概率. (3)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同,该公司需要从A,B两种车型中购买一辆,请你根据所学的统计知识,建议应该购买哪一种车型,并说明你的理由. 【解析】(1)估计这辆汽车是A型车的概率P==0.60. (2)设“事件Ai表示一辆A型车在一周内出租天数恰好为i”,“事件Bj表示一辆B型车在一周内出租天数恰好为j”,其中i,j=1,2,3,…,7,则该公司一辆A型车与一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4的概率为P(A1B3+A2B2+A3B1)=P(A1B3)+P(A2B2)+P(A3B1) =P(A1)P(B3)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B1)=×+×+×=, 故该公司一辆A型车,一辆B

全国通用版2019版高考数学一轮复习第十章计数原理与概率随机变量及其分布课时分层作业七十二10.9离散型随机变量的均值与方差理.doc

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