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文档内容摘要
doc 课时分层作业 七十六 证明不等式的基本方法 (45分钟 60分) 1.(10分)已知a>0,b>0,求证:+≥+. 【证明】因为-(+) =+=+ ==≥0, 所以原不等式成立. 【一题多解】由于÷(+) = = =-1≥-1=1. 又a>0,b>0,>0. 所以+≥+. 2.(10分)已知a,b,c是全不相等的正实数,求证:++>3. 【解题指南】根据a,b,c全不相等,推断出与,与,与全不相等,然后利用基本不等式求得+>2,+>2,+>2,三式相加整理求得++>3,原式得证. 【证明】因为a,b,c全不相等, 所以与,与,与全不相等, 所以+>2,+>2,+>2,三式相加得,+++++>6, 所以++>3, 即++>3. 【变式备选】(2018·南阳模拟)已知函数f(x)=k-|x-3|,k∈R,且f(x+3)≥0的解集为[-1,1]. (1)求k的值. (2)若a,b,c是正实数,且++=1,求证:a+2b+3c≥9. 【解析】(1)因为f(x)=k-|x-3|, 所以f(x+3)≥0等价于|x|≤k, 由|x|≤k有解,得k≥0,且解集为[-k,k]. 因为f(x+3)≥0的解集为[-1,1].因此k=1. (2)由(1)知++=1,因为a,b,c为正实数. 所以a+2b+3c=(a+2b+3c)(++)=3++++++ =3+++ ≥3+2 +2 +2 =9. 当且仅当a=2b=3c时,等号成立. 因此a+2b+3c≥9. 3.(10分)已知x>0,y>0,且x+y=1, 求证:·≥9. 【解题指南】可将所证不等式左边展开,运用已知和基本不等式可得证,也可以用x+y取代“1”,化简左边,然后再用基本不等式. 【证明】因为x>0,y>0, 所以1=x+y≥2.所以xy≤. 所以=1+++ =1++=1+≥1+8=9. 当且仅当x=y=时,等号成立. 【一题多解】因为x+y=1,x>0,y>0, 所以= ==5+2 ≥5+2×2=9. 当且仅当x=y=时, 等号成立. 4.(10分)某同学在一次研究性学习中发现,以下5个不等关系式子 ①-1>2-; ②2->-; ③->-2; ④-2>-; ⑤->2-. (1)上述五个式子有相同的不等关系,根据其结构特点,请你再写出一个类似的不等式. (2)请写出一个更一般的不等式,使以上不等式为它的特殊情况,并证明. 【解析】(1)-2>-3(答案不唯一). (2)->-. 证明:要证原不等式,只需证+>+, 因为不等式两边都大于0, 只需证2a+3+2 >2a+3+2, 只需证>, 只需证a2+3a+2>a2+3a, 只需证2>0,显然成立,所以原不等式成立. 5.(10分)已知α∈(0,π),求证:2sin 2α≤ . 【证明】2sin 2α-=4sin αcos α- = =-, 因为α∈(0,π),所以sin α>0,1-cos α>0, 又(2cos α-1)2≥0,所以2sin 2α-≤0, 所以2sin 2α≤. 6.(10分)(2018·泉州模拟)设a,b为正实数,且+=2. (1)求a2+b2的最小值. (2)若(a-b)2≥4(ab)3,求ab的值. 【解析】(1)由2=+≥2得ab≥,当a=b=时取等号. 故a2+b2≥2ab≥1,当a=b=时取等号. 所以a2+b2的最小值是1,当且仅当 a=b=时取得最小值. (2)由(a-b)2≥4(ab)3得≥4ab. 即-≥4ab,从而ab+≤2. 又ab+≥2,当且仅当ab=1时取等号. 所以ab=1.

全国通用版2019版高考数学一轮复习鸭部分不等式选讲课时分层作业七十六2证明不等式的基本方法理.doc

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