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doc 12+4分项练6 数 列 1.(2018·烟台模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a7=5,S9=27,则a20等于(  ) A.17 B.18 C.19 D.20 答案 B 解析 由等差数列的前n项和公式可知 S9==9a5=27,解得a5=3, 又由d===1, 所以由等差数列的通项公式可得 a20=a5+15d=3+15×1=18. 2.(2018·大连模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn,S2=3,S4=15,则S6等于(  ) A.27 B.31 C.63 D.75 答案 C 解析 由题意得S2,S4-S2,S6-S4成等比数列, 所以3,12,S6-15成等比数列, 所以122=3×(S6-15),解得S6=63. 3.(2018·湛江模拟)已知递增的等比数列{an}中,a2=6,a1+1,a2+2,a3成等差数列,则该数列的前6项和S6等于(  ) A.93 B.189 C. D.378 答案 B 解析 设数列的公比为q,由题意可知,q>1, 且2=a1+1+a3, 即2×=+1+6q, 整理可得2q2-5q+2=0, 则q=2, 则a1==3, 该数列的前6项和S6==189. 4.(2018·莆田质检)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S13>0,S14<0,则Sn取最大值时n的值为(  ) A.6 B.7 C.8 D.13 答案 B 解析 根据S13>0,S14<0,可以确定a1+a13=2a7>0,a1+a14=a7+a8<0,所以可以得到a7>0,a8<0,所以Sn取最大值时n的值为7. 5.(2018·三明质检)若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an-2,则S8等于(  ) A.255 B.256 C.510 D.511 答案 C 解析 当n=1时,a1=S1=2a1-2,据此可得a1=2, 当n≥2时,Sn=2an-2,Sn-1=2an-1-2, 两式作差可得an=2an-2an-1,则an=2an-1, 据此可得数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列, 其前8项和为S8==29-2=512-2=510. 6.已知数列{an}中a1=1,a2=2,且an+2-an=2-2·(-1)n,n∈N*,则S2 017的值为(  ) A.2 016×1 010-1 B.1 009×2 017 C.2 017×1 010-1 D.1 009×2 016 答案 C 解析 由递推公式,可得 当n为奇数时,an+2-an=4,数列{an}的奇数项是首项为1,公差为4的等差数列, 当n为偶数时,an+2-an=0,数列{an}的偶数项是首项为2,公差为0的等差数列, S2 017=(a1+a3+…+a2 017)+(a2+a4+…+a2 016) =1 009+×1 009×1 008×4+1 008×2 =2 017×1 010-1. 7.(2018·南充质检)已知数列{an}满足a1=0,an+1=(n∈N*),则a56等于(  ) A.- B.0 C. D. 答案 A 解析 因为an+1=(n∈N*), 所以a1=0,a2=-,a3=,a4=0,a5=-,a6=,…, 故此数列的周期为3. 所以a56=a18×3+2=a2=-. 8.(2018·咸阳模拟)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士,凡五人,共猎得五鹿,欲以爵次分之,问各得几何?”其意思:“共有五头鹿,5人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表达,一般表示等差分配,在本题中表示等差分配).”在这个问题中,若大夫得“一鹿、三分鹿之二”,则公士得(  ) A.三分鹿之一 B.三分鹿之二 C.一鹿 D.一鹿、三分鹿之一 答案 A 解析 显然5人所得依次成等差数列,设公士所得为x, 则=5,解得x=. 9.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,Sn是其前n项和,若S2+a2=S3-3,则a4+3a2的最小值为(  ) A.12 B.9 C.6 D.18 答案 D 解析 因为S3-S2=a3, 所以由S2+a2=S3-3,得a3-a2=3, 设等比数列{an}的公比为q,则a1=, 由于{an}的各项为正数,所以q>1. a4+3a2=a1q3+3a1q =a1q(q2+3)=q(q2+3) ==3≥18, 当且仅当q-1=2, 即q=3时,a4+3a2取得最小值18. 10.已知数列{an}的通项公式为an=2n(n∈N*),数列{bn}的通项公式为bn=3n-1,记它们的公共项由小到大排成的数列为{cn},令xn=,则的取值范围为(  ) A.[1,2) B.(1,e) C. D. 答案 C 解析 由题意知,{an},{bn}的共同项为2,8,32,128,…,故cn=22n-1. 由xn=, 得=1+, =…. 令Fn=, 则当n≥2时,=>1, 故数列{Fn}是递增数列, ∴≥. ∵当x>0时,ln(1+x)<x, ∴ln<, 则ln =ln+ln+…+ln <++…+ =++…+ =<=, ∴…<, 故≤<,故选C. 11.(2018·宁德质检)记Sn为数列{an}的前n项和,满足a1=,2an+1+3Sn=3(n∈N*),若Sn+≤M对任意的n∈N*恒成立,则实数M的最小值为(  ) A.2 B. C. D.4 答案 C 解析 由a1=,2an+1+3Sn=3(n∈N*), 得2an+3Sn-1=3,n≥2. 两式相减,可得2an+1-2an+3an=0, 即=-=q. ∵a1=,∴2a2+3S1=3,即2a2+3a1=3, ∴a2=-,∴=-, ∴an=n-1. 则Sn==1-n. ∴当n=1时,Sn取最大值; 当n=2时,Sn取最小值. 要使Sn+≤M对任意的n∈N*恒成立. 根据对勾函数的性质,当Sn=时, Sn+取得最大值, ∴M≥, ∴实数M的最小值为. 12.(2018·湖南省岳阳市第一中学模拟)已知数列{an}满足当2k-1-1<n≤2k-1(k∈N*,n∈N*)时,an=,若数列{an}的前n项和为Sn,则满足Sn>10的n的最小值为(  ) A.59 B.58 C.57 D.60 答案 B 解析 由题意可得, 当k=1时,20-1<n≤21-1,即n=1, 则an=,所以S1=; 当k=2时,21-1<n≤22-1,即1<n≤3,n∈N*, 则an=,所以S3-S1=+=1; 当k=3时,22-1<n≤23-1,即3<n≤7,n∈N*, 则an=,所以S7-S3=4×=; 当k=4时,23-1<n≤24-1,即7<n≤15,n∈N*, 则an=,所以S15-S7=8×=2; 当k=5时,24-1<n≤25-1,即15<n≤31,n∈N*, 则an=,所以S31-S15=16×=; 当k=6时,25-1<n≤26-1,即31<n≤63,n∈N*, 则an=,所以S63-S31=32×=3, 则S31=+1++2+=7.5, 设从a32到a63中有m项,则m项的和为m×=, 令>2.5,解得m>,所以当Sn>10时,n>57, 所以n的最小值为58. 13.已知等比数列{an}的前n项和Sn=3n+r,则a3-r=________,数列的最大项是第k项,则k=________. 答案 19 4 解析 等比数列前n项和公式具有的特征为 Sn=aqn-a,据此可知,r=-1, 则Sn=3n-1,a3=S3-S2=-=18, a3-r=19. 令bn=nn,且bn>0, 则=·, 由=·>1可得n2<10, 由=·<1可得n2>10, 据此可得,数列中的项满足b1<b2<b3<b4, 且b4>b5>b6>b7>b8>…,则k=4. 14.(2018·河南省南阳市第一中学模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn=pn2-2n,n∈N*,bn=,若数列{bn}是公差为2的等差数列,则数列{an}的通项公式为________. 答案 an=3n- 解析 由Sn=pn2-2n,n∈N*可知, 当n=1时,a1=S1=p-2, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2pn-p-2, a1=p-2符合上式, 所以对任意的n∈N*均有an=2pn-p-2, 则an+1-an=2p, 因而数列{an}是公差为2p的等差数列,a2=3p-2, b1=a1=p-2, b2==,则b2-b1=-(p-2)=2, 得2p=3,p=,a1=-, 所以数列{an}的通项公式为 an=-+(n-1)×3=3n-,n∈N*. 15.(2018·大连模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,a2=2,a3n=2n-2an,a3n+1=an+1,a3n+2=an-n,则S30=________.(用数字作答) 答案 75 解析 ∵a3n=2n-2an,a3n+1=an+1, a3n+2=an-n,a1=1,a2=2, ∴a3=2-2a1=2-2=0,a4=a1+1=2, a5=a1-1=0, ∴a3+a4+a5=2. ∵a3n=2n-2an,a3n+1=an+1,a3n+2=an-n, ∴把上面三个式子相加得a3n+a3n+1+a3n+2=n+1, ∴a10=a3×3+1=a3+1=0+1=1, ∴a30=a3×10=2×10-2a10=18. ∴S30=a1+a2+(a3+a4+a5)+(a6+a7+a8)+…+(a27+a28+a29)+a30 =1+2++18=75. 16.数列{an}满足a1=,an+1=a-an+1(n∈N*),则++…+的整数部分是________. 答案 2 解析 因为a1=,an+1=a-an+1(n∈N*), 所以an+1-an=(an-1)2>0, 所以an+1>an,数列{an}单调递增, 所以an+1-1=an(an-1)>0, 所以==-, 所以=-, 所以Sn=++…+ =++…+=-, 所以m=S2 017=3-, 因为a1=, 所以a2=2-+1=, a3=2-+1=, a4=2-+1>2,…, 所以a2 018>a2 017>a2 016>…>a4>2, 所以a2 018-1>1,所以0<<1, 所以2<3-<3, 因此m的整数部分是2.