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doc 专题突破练(7) 概率与其他知识的交汇 一、选择题 1.(2018·太原五中测试)在区间[1,5]上随机地取一个数m,则方程4x2+m2y2=1表示焦点在y轴上的椭圆的概率是(  ) A. B. C. D. 答案 B 解析 由方程4x2+m2y2=1,即+=1表示焦点在y轴上的椭圆,得<,即m2<4,而1≤m≤5,则1≤m<2,则所求概率为=.故选B. 2.(2018·湖南六校联考)折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段,已知在折叠“爱心”活动中,会产生如图所示的几何图形,其中四边形ABCD为正方形,G为线段BC的中点,四边形AEFG与四边形DGHI也是正方形,连接EB,CI,则向多边形AEFGHID中投掷一点,则该点落在阴影部分的概率为(  ) A. B. C. D. 答案 C 解析 设AB=2,则BG=1,AG=,故多边形AEFGHID的面积S=()2×2+×2×2=12,由sin∠EAB=cos∠GAB==,所以S阴影部分=×AE×AB×sin∠EAB=2,故所求概率P==.故选C. 3.(2018·黑龙江虎林一中期末)若随机变量X~N(μ,σ2)(σ>0),则有如下结论: P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974. 高三(1)班有40名同学,一次数学考试的成绩服从正态分布,平均分为120,方差为100,理论上说成绩在130分以上人数约为(  ) A.19 B.12 C.6 D.5 答案 C 解析 由条件知μ=120,σ=10,则P(X>130)=(1-0.6826)=0.1587,所以成绩在130分以上人数约为40×0.1587≈6.故选C. 4.(2018·广东三校联考)已知函数f(x)=x3+ax2+b2x+1,若a是从1,2,3三个数中任取一个数,b是从0,1,2三个数中任取一个数,则该函数有两个极值点的概率为(  ) A. B. C. D. 答案 D 解析 将a记为横坐标,b记为纵坐标,可知有(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),共9个基本事件,而函数有两个极值点的条件为其导函数有两个不相等的实根.因为f′(x)=x2+2ax+b2,满足题中条件为Δ=4a2-4b2>0,即a>b,所以满足条件的有(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),共6个基本事件,所以所求的概率为P==.故选D. 5.(2018·湖北部分重点中学联考二)已知实数a,b是利用计算机产生的0~1之间的均匀随机数,设事件A为“(a-1)2+b2>”,则事件A发生的概率为(  ) A. B.1- C. D.1- 答案 B 解析 分别以a,b为横轴和纵轴建立平面直角坐标系,则符合题意的实数对(a,b)表示的平面区域为边长为1的正方形及其内部,其中使得事件A不发生的实数对(a,b)表示的平面区域为以(1,0)为圆心,半径为的四分之一个圆及其内部,则事件A发生的概率为=1-.故选B. 6.(2018·山东青岛统测)矩形OABC内的阴影部分由曲线f(x)=sinx(x∈(0,π))及直线x=a(a∈(0,π))与x轴围成,向矩形OABC内随机投掷一点,若落在阴影部分的概率为,则a的值为(  ) A. B. C. D. 答案 A 解析 根据题意,阴影部分的面积为sinxdx=1-cosa,矩形的面积为a×=8,故由几何概型的概率公式可得=,解得cosa=-,所以a=.故选A. 7.(2018·山西考前适应训练)甲、乙二人约定7:10在某处会面,甲在7:00~7:20内某一时刻随机到达,乙在7:05~7:20内某一时刻随机到达,则甲至少需等待乙5分钟的概率是(  ) A.B.C.D. 答案 C 解析 设甲、乙到达约会地点的时刻分别是x,y,则取值范围为对应区域是以20和15为边长的长方形,其中甲至少需等待乙5分钟满足y-x≥5,对应区域是以15为直角边的等腰直角三角形(如图中阴影部分(含边界)所示),则所求概率为=.故选C. 二、填空题 8.(2019·成都模拟)甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示,其中一个数字被污损,记甲、乙的平均成绩分别为甲,乙,则甲>乙的概率是________. 答案  解析 乙的综合测评成绩为86,87,91,92,94,乙==90,污损处可取数字0,1,2,…,9,共10种,而甲>乙发生对应的数字有6,7,8,9,共4种,故甲>乙的概率为=. 9.(2018·安徽联考)将一颗骰子投掷两次,第一次出现的点数记为a,第二次出现的点数记为b,设任意投掷两次使l1:x+ay=3,l2:bx+6y=3平行的概率为P1,不平行的概率为P2,若点(P1,P2)在圆(x-m)2+y2=的内部,则实数m的取值范围是________. 答案 -<m< 解析 由l1∥l2得ab=6且a≠6,b≠1,满足条件的(a,b)为(1,6),(2,3),(3,2),而所有的(a,b)有6×6=36种,∴P1=,P2=,∴2+2<,解得-<m<. 10.(2018·福州毕业质检)如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠ABC=60°,以该菱形的4个顶点为圆心的扇形的半径都为1.若在菱形内随机取一点,则该点取自黑色部分的概率是________. 答案  解析 由题可知四个扇形的面积之和刚好为半径为1的圆的面积,此时黑色部分的面积即为菱形面积减去半径为1的圆的面积,从而所求概率为 P==. 三、解答题 11.(2018·河北衡水中学九模)某仪器经过检验合格才能出厂,初检合格率为;若初检不合格,则需要进行调试,经调试后再次对其进行检验;若仍不合格,作为废品处理,再检合格率为.每台仪器各项费用如表: 项目 生产成本 检验费/次 调试费 出厂价 金额(元) 1000 100 200 3000 (1)求每台仪器能出厂的概率; (2)求生产一台仪器所获得的利润为1600元的概率(注:利润=出厂价-生产成本-检验费-调试费); (3)假设每台仪器是否合格相互独立,记X为生产两台仪器所获得的利润,求X的分布列和数学期望. 解 (1)记每台仪器不能出厂为事件A, 则P(A)=1-1-=, 所以每台仪器能出厂的概率为P()=1-=. (2)生产一台仪器利润为1600元的概率 P=1-×=. (3)X的取值可能为3800,3500,3200,500,200,-2800. P(X=3800)=×=, P(X=3500)=C××=, P(X=3200)=2=, P(X=500)=C×××=, P(X=200)=C××××=, P(X=-2800)=×2=, X的分布列为 X 3800 3500 3200 500 200 -2800 P E(X)=3800×+3500×+3200×+500×+200×+(-2800)×=3350. 12.(2018·湖南雅礼中学月考三)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B两种奶制品.生产1吨A产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍,设备每天生产A,B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为 W 12 15 18 P 0.3 0.5 0.2 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z(单位:元)是一个随机变量. (1)求Z的分布列和均值; (2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率. 解 (1)设每天A,B两种产品的生产数量分别为x,y,相应的获利为z, 则有(*) 目标函数为z=1000x+1200y. 将z=1000x+1200y变形为l:y=-x+,设l0:y=-x. 当W=12时,(*)表示的平面区域如图①阴影部分所示,三个顶点分别为A(0,0),B(2.4,4.8),C(6,0). 平移直线l0知当直线l过点B, 即当x=2.4,y=4.8时,z取最大值, 故最大获利Z=zmax=2.4×1000+4.8×1200=8160(元). 当W=15时,(*)表示的平面区域如图②阴影部分所示,三个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(7.5,0). 平移直线l0知当直线l过点B, 即当x=3,y=6时,z取得最大值, 故最大获利Z=zmax=3×1000+6×1200=10200(元). 当W=18时,(*)表示的平面区域如图③阴影部分所示,四个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0). 平移直线l0知当直线l过点C, 即当x=6,y=4时,z取得最大值, 故最大获利Z=zmax=6×1000+4×1200=10800(元). 故最大获利Z的分布列为 Z 8160 10200 10800 P 0.3 0.5 0.2 因此,E(Z)=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708. (2)由(1)知,一天最大获利超过10000元的概率p1=P(Z>10000)=0.5+0.2=0.7, 由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为p=1-(1-p1)3=1-0.33=0.973. 13.(2018·河南八市联考一)我们国家正处于老龄化社会中,老有所依也是政府的民生工程.某市共有户籍人口400万,其中老人(年龄60岁及以上)人数约有66万,为了了解老人们的健康状况,政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估,健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级,并以80岁为界限分成两个群体进行统计,样本频数分布被制作成如下图表: (1)若采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况,则两个群体中各应抽取多少人? (2)估算该市80岁及以上老人占全市户籍人口的百分比; (3)据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入,政府计划为这部分老人每月发放生活补贴,标准如下: ①80岁及以上老人每人每月发放生活补贴200元; ②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元; ③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元. 利用样本估计总体,试估计政府执行此计划的年度预算.(单位:亿元,结果保留两位小数) 解 (1)数据整理如下表: 健康状况 健康 基本健康 不健康尚能自理 不能自理 80岁及以上 20 45 20 15 80岁以下 200 225 50 25 从图表中知采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况,80岁及以上应抽取8×=3(人),80岁以下应抽取8×=5(人). (2)在600人中80岁及以上老人在老人中占比为=, 用样本估计总体,80岁及以上长者为66×=11(万人), 80岁及以上老人占全市户籍人口的百分比为×100%=2.75%. (3)解法一:用样本估计总体,设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元, P(X=0)=, P(X=120)=×=, P(X=200)=×=, P(X=220)=×=, P(X=300)=×=, 则随机变量X的分布列为 X 0 120 200 220 300 P E(X)==28, 全市老人的总预算为28×12×66×104=2.2176×108元. 故政府执行此计划的年度预算约为2.22亿元. 解法二:在无固定收入的户籍老人中, 80岁及以上老人有66××=(万), 80岁以下老人有66××=11(万), 不能自理老人有66××=(万). 所以全市老人总预算为: ×200+11×120+×100×104×12=2.2176×108元. 故政府执行此计划的年度预算约为2.22亿元.

2020高考数学刷题首秧专题突破练7概率与其他知识的交汇理含解析.docx

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