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doc 专题突破练(1) 函数的综合问题 一、选择题 1.函数f(x)=的零点个数为(  ) A.3 B.2 C.7 D.0 答案 B 解析 解法一:由f(x)=0得 或 解得x=-2或x=e. 因此函数f(x)共有2个零点. 解法二:函数f(x)的图象如图所示, 由图象知函数f(x)共有2个零点.故选B. 2.已知A(2,5),B(4,1),若点P(x,y)在线段AB上,则的最大值为(  ) A. B.1 C. D. 答案 C 解析 由题意,得线段AB:y-1=(x-4)⇒y=-2x+9(2≤x≤4),所以==-1+≤,当x=2时等号成立,即的最大值为.故选C. 3.若变量x,y满足|x|-ln =0,则y关于x的函数图象大致是(  ) 答案 B 解析 由|x|-ln =0得y==画出图象可知选B. 4.(2018·贵阳模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=log2(2+x)-1,则f(-6)=(  ) A.2 B.4 C.-2 D.-4 答案 C 解析 因为f(x)是R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x).而在x≥0时,f(x)=log2(2+x)-1,所以f(-6)=-f(6)=-[log2(2+6)-1]=-(log28-1)=-2.故选C. 5.(2018·唐山模拟)已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,若f(-2)=0,则满足xf(x)>0的x的取值范围是(  ) A.(-∞,-2)∪(0,2) B.(-2,0)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,0)∪(0,2) 答案 A 解析 因为f(x)是偶函数且在[0,+∞)上单调递减,所以f(x)在(-∞,0]上单调递增,又f(-2)=0,所以f(2)=0,即在区间(-∞,-2)和(2,+∞)上,f(x)<0;在区间(-2,2)上,f(x)>0,所以xf(x)>0等价于和即得x<-2或0<x<2.故选A. 6.(2018·广东潮州模拟)设函数f(x)=,则使得f(x2-2x)>f(3x-6)成立的x的取值范围是(  ) A.(-∞,2)∪(3,+∞) B.(2,3) C.(-∞,2) D.(3,+∞) 答案 A 解析 易得函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)==1-为单调增函数,故函数f(x)在R上为增函数,依题意得x2-2x>3x-6,解得x<2或x>3.故选A. 7.(2018·佛山质检一)已知函数f(x)= 则下列函数为奇函数的是(  ) A.f(sinx) B.f(cosx) C.xf(sinx) D.x2f(cosx) 答案 C 解析 易知f(x)为偶函数,即满足∀x∈R,f(-x)=f(x)恒成立.研究g(x)=xf(sinx),g(-x)=-xf[sin(-x)]=-xf(-sinx)=-xf(sinx)=-g(x),故g(x)=xf(sinx)为奇函数.故选C. 8.(2019·青岛质检)已知a>b>1,则下列结论正确的是(  ) A.aa<bb B.aln b>bln a C.aln a>bln b D.ab<ba 答案 C 解析 取a=e,b=,则B项明显错误;对于D项,若ab<ba成立,则ln ab<ln ba,则bln a<aln b,由B项错误得D项错误;因为a>b>1,所以ln a>ln b>0,由同向不等式相乘得aln a>bln b,进一步得ln aa>ln bb,所以aa>bb,所以A项错误,C项正确.故选C. 9.若x,y∈R,且满足则x+y=(  ) A.-4 B.-3 C.3 D.4 答案 B 解析 函数f(t)=t3+2018t(t∈R)是奇函数,且在R上是增函数,故若f(u)+f(v)=0,则必有u+v=0,本题中,u=x+4,v=y-1,∴x+4+y-1=0⇒x+y=-3.故选B. 10.(2018·长沙统考)函数f(x)=2x+的图象大致为(  ) 答案 A 解析 f(x)=2x+=2x-+1,其定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞).令u(x)=2x,v(x)=-.由于u(x)和v(x)都在(-∞,-1)和(-1,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,-1)上和(-1,+∞)上单调递增,排除C,D;又当x趋向负无穷时,2x趋近于0,-趋近于0,所以f(x)接近于1,所以选A. 11.(2018·大庆质检一)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f′(x)<0.若a=fln ,b=fln -,c=f(e0.1),则a,b,c的大小关系为(  ) A.b<a<c B.b<c<a C.c<a<b D.a<c<b 答案 C 解析 依题意,有f(x)在[0,+∞)上单调递减,而且f(x)是定义在R上的奇函数,则由其图象知f(x)在(-∞,0]上单调递减,从而奇函数f(x)在R上单调递减.则由ln -=ln 1-<ln=-1,0>ln >ln =-1,e0.1>0,知ln -<ln <e0.1,从而结合f(x)的单调性,有fln ->fln >f(e0.1),即c<a<b.故选C. 12.(2018·长沙统考)设平行于x轴的直线l分别与函数y=2x和y=2x+1的图象相交于点A,B,若函数y=2x的图象上存在点C,使得△ABC为等边三角形,则这样的直线l(  ) A.不存在 B.有且只有一条 C.至少有两条 D.有无数条 答案 B 解析 如图,设直线l的方程为y=a(a>0),则点A(log2a,a),B(log2a-1,a). 因为直线AB平行于x轴,所以|AB|=1.取AB中点D,连接CD,因为△ABC是等边三角形,所以CD⊥AB,且|AD|=,|CD|=,所以点Clog2a-,a-.因为点C在y=2x的图象上,所以a-=2log2a-=,解得a=,所以直线l只有一条.故选B. 二、填空题 13.若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间[1,4]内有解,则实数a的取值范围是________. 答案 (-∞,-2) 解析 不等式x2-4x-2-a>0在区间[1,4]内有解等价于a<(x2-4x-2)max,令g(x)=x2-4x-2,x∈[1,4],∴g(x)≤g(4)=-2,∴a<-2. 14.若存在b∈[1,2],使得2b(b+a)≥4,则实数a的取值范围是________. 答案 [-1,+∞) 解析 由题可得2b(a+b)≥4⇒a+b≥4b⇒a≥4b-b,即存在b∈[1,2]使得a≥4b-b,因为y=4x-x在R是单调递减的,所以4b-b在区间[1,2]上的范围为[-1,1],则a≥-1,故填[-1,+∞). 15.已知函数g(x)的图象与函数f(x)=log3x(x>0)的图象关于直线y=x对称,若g(a)·g(b)=3(其中a>0且b>0),则+的最小值为________. 答案 9 解析 依题意可知g(x)=3x,∴g(a)·g(b)=3a·3b=3a+b=3即a+b=1,∴+=·(a+b)=5++≥9当且仅当a=,b=取“=”. 16.如图,在第一象限内,矩形ABCD的三个顶点A,B,C分别在函数y=logx,y=x,y=x的图象上,且矩形的边分别平行于两坐标轴,若点A的纵坐标是2,则点D的坐标是________. 答案 , 解析 由2=logx可得点A,2,由2=x可得点B(4,2),因为4=,所以点C的坐标为4,,所以点D的坐标为,. 三、解答题 17.(2018·湖北荆州摸底)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x),满足f(mn)=f(m)+f(n)(m,n>0),且当x>1时,有f(x)>0. (1)求证:f=f(m)-f(n); (2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数; (3)比较f与的大小. 解 (1)证明:∵f(m)=f=f+f(n), ∴f=f(m)-f(n). (2)证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2, 则f(x2)-f(x1)=f. ∵0<x1<x2,∴>1,∴f>0, ∴f(x2)>f(x1), ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. (3)f- =f+f- =+ =f+f =f ∵≥1,∴f≥0, 故f≥. 18.(2018·浙江宁波统考)已知函数f(x)=log2(x+1),g(x)=x|x-a|. (1)若g(x)为奇函数,求a的值并判断g(x)的单调性(单调性不需证明); (2)对任意x1∈[1,+∞),总存在唯一的x2∈[2,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,求正实数a的取值范围. 解 (1)∵g(x)为奇函数, ∴g(x)+g(-x)=x(|x-a|-|x+a|)=0恒成立. ∴a=0.此时g(x)=x|x|,在R上单调递增. (2)x1∈[1,+∞),f(x)=log2(x+1), ∴f(x1)∈[1,+∞),g(x)= ①当a≤2时,g(x2)在[2,+∞)上单调递增, ∴g(2)=4-2a≤1,a≥,∴≤a≤2. ②当2<a<4时,g(x2)在[2,a]上单调递减,在[a,+∞)上单调递增. ∴g(2)=-4+2a<1,a<,∴2<a<. ③当a≥4时,g(x2)在2,上单调递增,在,a上单调递减,在[a,+∞)上单调递增. ∴g=-2+<1,-2<a<2,不成立. 综上可知≤a<. 19.(2018·福建四校联考)某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品,根据经验知道,其次品率P与日产量x(万件)之间满足关系:P=(其中c为小于6的正常数). (注:次品率=次品数/生产量,如P=0.1表示每生产10件产品,有1件为次品,其余为合格品.) 已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元,但每生产1万件次品将亏损1万元,故厂方希望定出合适的日产量. (1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T(万元)表示为日产量x(万件)的函数; (2)当日产量为多少时,可获得最大利润? 解 (1)当x>c时,P=, ∴T=x·2-x·1=0; 当1≤x≤c时,P=, ∴T=·x·2-·x·1=. 综上,日盈利额T(万元)与日产量x(万件)的函数关系为T= (2)由(1),当x>c时,每天的盈利额为0,∴1≤x≤c, ①当3≤c<6时,T==15-2(6-x)+≤15-12=3(当且仅当x=3时取等号),Tmax=3,此时x=3; ②当1≤c<3时,由T′==知函数T=在[1,3]上递增, ∴当x=c时,∴Tmax=. 综上,若3≤c<6,则当日产量为3万件时,可获得最大利润; 若1≤c<3,则当日产量为c万件时,可获得最大利润. 20.(2018·天津模拟)统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数为y=x3-x+8(0<x<120). (1)当x=64千米/小时时,行驶100千米耗油量多少升? (2)若油箱有22.5升油,则该型号汽车最多行驶多少千米? 解 (1)当x=64千米/小时时,要行驶100千米需要=小时, 要耗油×643-×64+8×=11.95(升). (2)设22.5升油能使该型号汽车行驶a千米,由题意得, x3-x+8×=22.5, 所以a=, 设h(x)=x2+-, 则当h(x)最小时,a取最大值, h′(x)=x-=, 令h′(x)=0⇒x=80, 当x∈(0,80)时,h′(x)<0,当x∈(80,120)时,h′(x)>0, 故当x∈(0,80)时,函数h(x)为减函数,当x∈(80,120)时,函数h(x)为增函数, 所以当x=80时,h(x)取得最小值,此时a取最大值为 =200. 所以若油箱有22.5升油,则该型号汽车最多行驶200千米.