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doc 第七章 平面解析几何 考点测试45 直线的方程 高考概览 考纲研读 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式 2.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直 3.掌握确定直线位置的几何要素 4.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等),了解斜截式与一次函数的关系 一、基础小题 1.若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,则参数m满足的条件是(  ) A.m≠- B.m≠0 C.m≠0且m≠1 D.m≠1 答案 D 解析 由解得m=1,故m≠1时方程表示一条直线. 2.直线xsin+ycos=0的倾斜角α是(  ) A.- B. C. D. 答案 D 解析 ∵tanα=-=-tan=tan,α∈[0,π),∴α=. 3.过点(-1,2)且倾斜角为30°的直线方程为(  ) A.x-3y+6+=0 B.x-3y-6+=0 C.x+3y+6+=0 D.x+3y-6+=0 答案 A 解析 ∵k=tan30°=,∴直线方程为y-2=(x+1).即x-3y+6+=0.故选A. 4.已知直线l1:(k-3)x+(5-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0垂直,则k的值为(  ) A.1或3 B.1或5 C.1或4 D.1或2 答案 C 解析 由题意可得,(k-3)×2(k-3)+(5-k)×(-2)=0,整理得k2-5k+4=0,解得k=1或k=4.故选C. 5.如图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则(  ) A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2 C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2 答案 D 解析 直线l1的倾斜角α1是钝角,故k1<0,直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角,且α2>α3,所以0<k3<k2,因此k1<k3<k2,故选D. 6.如果A·C<0,且B·C<0,那么直线Ax+By+C=0不经过(  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 C 解析 由已知得直线Ax+By+C=0在x轴上的截距->0,在y轴上的截距->0,故直线经过一、二、四象限,不经过第三象限.故选C. 7.在平面直角坐标系中,直线l与直线x+y-=0关于x轴对称,则直线l的倾斜角为(  ) A. B. C. D. 答案 B 解析 直线的斜截式方程为y=-x+,即直线的斜率k=tanα=-,即α=,所以直线l的倾斜角为,故选B. 8.在下列四个命题中,正确的有(  ) ①坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率; ②直线的倾斜角的取值范围为[0°,180°]; ③若一直线的斜率为tanα,则此直线的倾斜角为α; ④若一直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tanα. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 答案 A 解析 当倾斜角α=90°时,其斜率不存在,故①④不正确;直线的倾斜角α的取值范围为[0°,180°),故②不正确;直线的斜率k=tan210°这是可以的,此时倾斜角α=30°而不是210°,故③不正确.故选A. 9.直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是(  ) A.0, B.,π C.0,∪,π D.,∪,π 答案 B 解析 ∵直线的斜率k=-,∴-1≤k<0,则倾斜角的取值范围是,π. 10.直线2x-my+1-3m=0,当m变动时,所有直线都通过定点(  ) A. B. C. D. 答案 D 解析 ∵当m变动时,(2x+1)-m(y+3)=0恒成立,∴2x+1=0,y+3=0,∴x=-,y=-3,定点为.故选D. 11.设点A(-2,3),B(3,2),若直线ax+y+2=0与线段AB没有交点,则a的取值范围是(  ) A.∪ B. C. D.∪ 答案 B 解析 直线ax+y+2=0恒过点M(0,-2),且斜率为-a,∵kMA==-,kMB==, 画图可知-a>-且-a<,∴a∈. 12.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a=________. 答案 1或-2 解析 显然a=0不符合题意,当a≠0时,令x=0,则直线l在y轴上的截距为2+a;令y=0,得直线l在x轴上的截距为1+.依题意2+a=1+,解得a=1或a=-2. 二、高考小题 13.(2013·四川高考)在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是________. 答案 (2,4) 解析 由已知得kAC==2,kBD==-1,所以直线AC的方程为y-2=2(x-1), 即2x-y=0,① 直线BD的方程为y-5=-(x-1),即x+y-6=0,② 联立①②解得 所以直线AC与直线BD的交点为P(2,4),此点即为所求点. 因为|PA|+|PB|+|PC|+|PD|=|AC|+|BD|, 取异于P点的任一点P′. 则|P′A|+|P′B|+|P′C|+|P′D| =(|P′A|+|P′C|)+(|P′B|+|P′D|) >|AC|+|BD|=|PA|+|PB|+|PC|+|PD|. 故P点就是到点A,B,C,D的距离之和最小的点.故应填(2,4). 14.(2014·四川高考)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是________. 答案 5 解析 易知A(0,0),B(1,3),且PA⊥PB,∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,∴|PA|·|PB|≤=5(当且仅当|PA|=|PB|=时取“=”). 三、模拟小题 15.(2018·重庆一诊)若过点P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围是(  ) A.(-2,1) B.(-1,2) C.(-∞,0) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) 答案 A 解析 ∵过点P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,∴直线的斜率小于0,即<0,即<0,解得-2<a<1,故选A. 16.(2018·佛山质检)在同一平面直角坐标系中,直线l1:ax+y+b=0和直线l2:bx+y+a=0有可能是(  ) 答案 B 解析 当a,b≠0时,两直线在x轴上的截距符号相同,故选B. 17.(2019·石家庄调研)已知直线l的斜率为k(k≠0),它在x轴,y轴上的截距分别为k,2k,则直线l的方程为(  ) A.2x-y-4=0 B.2x-y+4=0 C.2x+y-4=0 D.2x+y+4=0 答案 D 解析 依题意得直线l过点(k,0)和(0,2k),所以其斜率k==-2,由点斜式得直线l的方程为y=-2(x+2),化为一般式是2x+y+4=0.故选D. 18.(2018·广西南宁三中月考)设点P是曲线y=x3-x+上的任意一点,P点处切线的倾斜角α的取值范围是(  ) A.0,∪,π B.,π C.0,∪,π D., 答案 C 解析 因为y′=3x2-≥-,即切线斜率k≥-,所以切线倾斜角α的取值范围是0,∪,π. 19.(2018·江西宜春丰城九中月考)直线l过点A(1,2),且不经过第四象限,则直线l的斜率的取值范围为(  ) A.0, B.[0,1] C.[0,2] D.0, 答案 C 解析 因为直线l过点A(1,2),且不经过第四象限,作出图象,如图所示,当直线位于如图所示的阴影区域内时满足条件,由图可知,当直线l过A且平行于x轴时,斜率取得最小值,kmin=0;当直线l过A(1,2),O(0,0)时,斜率取得最大值,kmax=2,所以直线l的斜率的取值范围是[0,2].故选C. 20.(2018·豫南九校联考)若θ是直线l的倾斜角,且sinθ+cosθ=,则l的斜率为(  ) A.- B.-或-2 C.或2 D.-2 答案 D 解析 ∵sinθ+cosθ=, ① ∴(sinθ+cosθ)2=1+sin2θ=, ∴2sinθcosθ=-,∴(sinθ-cosθ)2=, 易知sinθ>0,cosθ<0, ∴sinθ-cosθ=, ② 由①②解得∴tanθ=-2,即l的斜率为-2,故选D. 21.(2018·江苏调研)已知经过点P(3,2),且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程为________. 答案 2x-3y=0或x+y-5=0 解析 设直线l在x,y轴上的截距均为a,若a=0,即l过点(0,0)和(3,2), ∴l的方程为y=x,即2x-3y=0. 若a≠0,则设l的方程为+=1, ∵l过点(3,2),∴+=1,∴a=5, ∴l的方程为x+y-5=0, 综上可知,直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0. 22.(2019·沧州月考)已知直线y=x+k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1,则实数k的取值范围是________. 答案 (-∞,-1]∪[1,+∞) 解析 令y=0,则x=-2k.令x=0,则y=k.故直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S=|k|·|-2k|=k2.由题意知,三角形的面积不小于1,可得k2≥1,所以实数k的取值范围是k≥1或k≤-1. 一、高考大题 本考点在近三年高考中未涉及此题型. 二、模拟大题 1.(2018·山西长治月考)在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC边的中点M在y轴上,BC边的中点N在x轴上,求: (1)顶点C的坐标; (2)直线MN的方程. 解 (1)设点C的坐标为(x,y),则有 =0,=0. ∴x=-5,y=-3, 即点C的坐标为(-5,-3). (2)由题意知,M,N(1,0), ∴直线MN的方程为x-=1, 即5x-2y-5=0. 2.(2018·四川达州月考)直线l过点P(1,4),分别交x轴的正方向和y轴的正方向于A,B两点. (1)当|PA|·|PB|最小时,求l的方程; (2)当|OA|+|OB|最小时,求l的方程. 解 依题意,l的斜率存在,且斜率为负. 设l:y-4=k(x-1)(k<0). 令y=0,可得A; 令x=0,可得B(0,4-k). (1)|PA|·|PB|=· =-(1+k2)=-4≥8.(注意k<0) ∴当且仅当=k且k<0, 即k=-1时,|PA|·|PB|取最小值. 这时l的方程为x+y-5=0. (2)|OA|+|OB|=+(4-k)=5-≥9. ∴当且仅当k=且k<0,即k=-2时,|OA|+|OB|取最小值.这时l的方程为2x+y-6=0. 3.(2018·福建华安月考)设直线l的方程为(a+1)x+y-2-a=0(a∈R). (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程; (2)若a>-1,直线l与x,y轴分别交于M,N两点,O为坐标原点,求△OMN面积取最小值时直线l的方程. 解 (1)当直线l经过坐标原点时,该直线在两坐标轴上的截距都为0,此时a+2=0,解得a=-2,此时直线l的方程为-x+y=0,即x-y=0;当直线l不经过坐标原点,即a≠-2且a≠-1时,由直线在两坐标轴上的截距相等可得=2+a,解得a=0,此时直线l的方程为x+y-2=0. 所以直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0. (2)由直线方程可得M,N(0,2+a), 因为a>-1, 所以S△OMN=··(2+a) =×= ≥×=2, 当且仅当a+1=,即a=0时等号成立. 此时直线l的方程为x+y-2=0. 4.(2018·福建漳州月考)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,求AP的长? 解 以AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立如图所示的坐标系, 由题意可知B(4,0),C(0,4),A(0,0),则直线BC的方程为x+y-4=0, 设P(t,0)(0<t<4),由对称知识可得点P关于BC所在直线的对称点P1的坐标为(4,4-t),点P关于y轴的对称点P2的坐标为(-t,0),根据反射定律可知P1P2所在直线就是光线RQ所在直线. 由P1,P2两点坐标可得P1P2所在直线的方程为y=·(x+t),设△ABC的重心为G,易知G. 因为重心G,在光线RQ上, 所以有=·,即3t2-4t=0, 所以t=0或t=,因为0<t<4, 所以t=,即AP=.

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