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doc 考点测试9 指数与指数函数 高考概览 考纲研读 1.了解指数函数模型的实际背景 2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算 3.理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点 4.体会指数函数是一类重要的函数模型 一、基础小题 1.下列运算不正确的是(  ) A.=π-3 B.e2x=(ex)2 C.=a-b D.=· 答案 D 解析 当a,b小于0时,选项D不正确.其他均正确.故选D. 2.已知a>0,则下列运算正确的是(  ) A.a·a=a B.a·a-=0 C.(a)2=a D.a÷a-=a 答案 D 解析 由指数幂运算性质可得选项D正确.故选D. 3.计算:44=(  ) A.a16 B.a8 C.a4 D.a2 答案 C 解析 44=(a)4(a)4=a4.故选C. 4.若函数f(x)=(2a-5)·ax是指数函数,则f(x)在定义域内(  ) A.为增函数 B.为减函数 C.先增后减 D.先减后增 答案 A 解析 由指数函数的定义知2a-5=1,解得a=3,所以f(x)=3x,所以f(x)在定义域内为增函数.故选A. 5.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是(  ) A.a>c>b B.a>b>c C.c>a>b D.b>c>a 答案 A 解析 由题意,根据指数函数的性质可得0<<<1,根据幂函数的性质可得<, ∴a>c>b.故选A. 6.已知函数f(x)=4+ax-1的图象恒过定点P,则点P的坐标是(  ) A.(1,5) B.(1,4) C.(0,4) D.(4,0) 答案 A 解析 当x=1时,f(x)=5.故选A. 7.当x>0时,函数f(x)=(a2-1)x的值总大于1,则实数a的取值范围是(  ) A.1<|a|<2 B.|a|<1 C.|a|> D.|a|< 答案 C 解析 ∵x>0时,f(x)=(a2-1)x的值总大于1,∴a2-1>1,即a2>2.∴|a|>.故选C. 8.函数f(x)=ax-(a>0,a≠1)的图象可能是(  ) 答案 D 解析 当a>1时,将y=ax的图象向下平移个单位长度得f(x)=ax-的图象,A,B都不符合;当0<a<1时,将y=ax的图象向下平移个单位长度得f(x)=ax-的图象,而大于1.故选D. 9.已知函数f(x)满足对一切x∈R,f(x+2)=-都成立,且当x∈(1,3]时,f(x)=2-x,则f(2019)=(  ) A. B. C. D. 答案 B 解析 由已知条件f(x+2)=-可得f(x)=-,故f(x+2)=f(x-2),易得函数f(x)是周期为4的周期函数,∴f(2019)=f(3+504×4)=f(3),∵当x∈(1,3]时,f(x)=2-x,∴f(3)=2-3=,即f(2019)=.故选B. 10.下列说法中,正确的是(  ) ①任取x∈R都有3x>2x; ②当a>1时,任取x∈R都有ax>a-x; ③y=()-x是增函数; ④y=2|x|的最小值为1; ⑤在同一坐标系中,y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称. A.①②④ B.④⑤ C.②③④ D.①⑤ 答案 B 解析 ①中令x=-1,则3-1<2-1,故①错误;②中当x<0时,ax<a-x,故②错误;③中y=()-x=x,∵0<<1,∴y=x为减函数,故③错误;④中x=0时,y取最小值1,故④正确;⑤由函数图象变换,可知y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称,故⑤正确.故选B. 11.求值:0.064---0+[(-2)3]-+16-0.75+0.01=________. 答案  解析 原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3+0.1=-1+++=. 12.函数y=x2-2x的值域为________. 答案 (0,2] 解析 ∵x2-2x=(x-1)2-1≥-1,∴0<x2-2x≤-1,即值域为(0,2]. 二、高考小题 13.(2017·全国卷Ⅰ)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则(  ) A.2x<3y<5z  B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z 答案 D 解析 令t=2x=3y=5z, ∵x,y,z为正数,∴t>1. 则x=log2t=,同理,y=,z=. ∴2x-3y=-= =>0, ∴2x>3y. 又∵2x-5z=-= =<0, ∴2x<5z,∴3y<2x<5z.故选D. 14.(2015·天津高考)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为(  ) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a 答案 C 解析 ∵f(x)=2|x-m|-1为偶函数,∴m=0.∵a=f(log3)=f(log23),b=f(log25),c=f(0),log25>log23>0,而函数f(x)=2|x|-1在(0,+∞)上为增函数,∴f(log25)>f(log23)>f(0),即b>a>c,故选C. 15.(2015·江苏高考)不等式2x2-x<4的解集为________. 答案 {x|-1<x<2} 解析 不等式2x2-x<4可转化为2x2-x<22,利用指数函数y=2x的性质可得,x2-x<2,解得-1<x<2,故所求解集为{x|-1<x<2}. 16.(2015·福建高考)若函数f(x)=2|x-a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值等于________. 答案 1 解析 因为f(1+x)=f(1-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以a=1.函数f(x)=2|x-1|的图象如图所示.因为函数f(x)在[m,+∞)上单调递增,所以m≥1,所以实数m的最小值为1. 17.(2018·上海高考)已知常数a>0,函数f(x)=的图象经过点Pp,,Qq,-.若2p+q=36pq,则a=________. 答案 6 解析 由已知条件知f(p)=,f(q)=-, 所以 ①+②,得=1, 整理得2p+q=a2pq,又2p+q=36pq,∴36pq=a2pq, 又pq≠0,∴a2=36,∴a=6或a=-6,又a>0,得a=6. 三、模拟小题 18.(2018·河南安阳月考)化简(a>0,b>0)的结果是(  ) A. B.ab C.a2b D. 答案 D 解析 原式====ab-1=.故选D. 19.(2018·福建厦门第一次质量检查)已知a=0.3,b=log0.3,c=ab,则a,b,c的大小关系是(  ) A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.b<c<a 答案 B 解析 ∵a=0.3<1,b=log0.3>log0.5=1,∴a<b,又c=log0.30.3=0.30.3,且y=x0.3在(0,+∞)上单调递增,∴a>c,∴c<a<b.故选B. 20.(2018·河南八市第一次测评)设函数f(x)=x2-a与g(x)=ax(a>1且a≠2)在区间(0,+∞)上具有不同的单调性,则M=(a-1)0.2与N=0.1的大小关系是(  ) A.M=N B.M≤N C.M<N D.M>N 答案 D 解析 因为f(x)=x2-a与g(x)=ax(a>1且a≠2)在区间(0,+∞)上具有不同的单调性,所以a>2,所以M=(a-1)0.2>1,N=0.1<1,所以M>N,故选D. 21.(2018·湖南郴州第二次教学质量检测)已知函数f(x)=ex-,其中e是自然对数的底数,则关于x的不等式f(2x-1)+f(-x-1)>0的解集为(  ) A.-∞,-∪(2,+∞)B.(2,+∞) C.-∞,∪(2,+∞)D.(-∞,2) 答案 B 解析 函数f(x)=ex-的定义域为R,∵f(-x)=e-x-=-ex=-f(x),∴f(x)是奇函数,那么不等式f(2x-1)+f(-x-1)>0等价于f(2x-1)>-f(-x-1)=f(1+x),易证f(x)是R上的递增函数,∴2x-1>x+1,解得x>2,∴不等式f(2x-1)+f(-x-1)>0的解集为(2,+∞),故选B. 22.(2018·湖南益阳4月调研)已知函数f(x)=(a∈R)的图象关于点0,对称,则a=________. 答案 1 解析 由已知,得f(x)+f(-x)=1,即+=1,整理得(a-1)[22x+(a-1)·2x+1]=0,当a-1=0,即a=1时,等式成立. 23.(2018·浙江丽水月考)当x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,则实数m的取值范围是________. 答案 (-1,2) 解析 原不等式变形为m2-m<x,∵函数y=x在(-∞,-1]上是减函数,∴x≥-1=2,当x∈(-∞,-1]时,m2-m<x恒成立等价于m2-m<2,解得-1<m<2. 一、高考大题 本考点在近三年高考中未涉及此题型. 二、模拟大题 1.(2018·河北石家庄二中调研)已知函数f(x)=ax,a为常数,且函数的图象过点(-1,2). (1)求a的值; (2)若g(x)=4-x-2,且g(x)=f(x),求满足条件的x的值. 解 (1)由已知得-a=2,解得a=1. (2)由(1)知f(x)=x, 又g(x)=f(x),则4-x-2=x,即x-x-2=0,即2-x-2=0,令x=t, 则t>0,t2-t-2=0,即(t-2)(t+1)=0, 又t>0,故t=2,即x=2,解得x=-1,故满足条件的x的值为-1. 2.(2018·河南新乡月考)已知函数f(x)=a3-ax(a>0且a≠1). (1)当a=2时,f(x)<4,求x的取值范围; (2)若f(x)在[0,1]上的最小值大于1,求a的取值范围. 解 (1)当a=2时,f(x)=23-2x<4=22,3-2x<2,得x>. (2)y=3-ax在定义域内单调递减, 当a>1时,函数f(x)在[0,1]上单调递减,f(x)min=f(1)=a3-a>1=a0,得1<a<3. 当0<a<1时,函数f(x)在[0,1]上单调递增,f(x)min=f(0)=a3>1,不成立.所以1<a<3. 3.(2018·江西九江月考)已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常量且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24). (1)试确定f(x); (2)若不等式x+x-m≥0在x∈(-∞,1]上恒成立,求实数m的取值范围. 解 (1)∵f(x)=b·ax的图象过点A(1,6),B(3,24), ∴ ②÷①得a2=4. 又a>0,且a≠1,∴a=2,b=3, ∴f(x)=3·2x. (2)由(1)知x+x-m≥0在(-∞,1]上恒成立转化为m≤x+x在(-∞,1]上恒成立. 令g(x)=x+x, 则g(x)在(-∞,1]上单调递减, ∴m≤g(x)min=g(1)=+=. 故所求实数m的取值范围是. 4.(2018·湖南衡阳八中月考)已知函数f(x)=ex+a·e-x,x∈R. (1)当a=1时,证明f(x)为偶函数; (2)若f(x)在[0,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围; (3)若a=1,求实数m的取值范围,使m[f(2x)+2]≥f(x)+1在R上恒成立. 解 (1)证明:当a=1时,f(x)=ex+e-x,定义域(-∞,+∞)关于原点对称,而f(-x)=e-x+ex=f(x),所以f(x)为偶函数. (2)设x1,x2∈[0,+∞)且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=ex1+ae-x1-(ex2+ae-x2) =. 因为x1<x2,函数y=ex为增函数,所以ex1<ex2,ex1-ex2<0, 又f(x)在[0,+∞)上单调递增, 所以f(x1)<f(x2),故f(x1)-f(x2)<0, 所以ex1+x2-a>0恒成立,即a<ex1+x2对任意的0≤x1<x2恒成立, ∴a≤1.故实数a的取值范围为(-∞,1]. (3)由(1),(2)知函数f(x)=ex+e-x在(-∞,0]上递减,在[0,+∞)上递增,所以其最小值f(0)=2, 且f(2x)=e2x+e-2x=(ex+e-x)2-2, 设t=ex+e-x,则t∈[2,+∞),∈0,, 则不等式m[f(2x)+2]≥f(x)+1恒成立,等价于m·t2≥t+1,即m≥恒成立, 而=+=+2-, 当且仅当=,即t=2时取得最大值, 故m≥.因此实数m的取值范围为,+∞.

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