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doc 第1讲 坐标系与参数方程 [考情考向分析] 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式,同时考查直线与曲线的位置关系等解析几何知识. 热点一 极坐标与直角坐标的互化 直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位.如图,设M是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ), 则 例1 (2018·东北三省四市模拟)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1:ρcos θ=3,曲线C2:ρ=4cos θ. (1)求C1与C2交点的极坐标; (2)设点Q在C2上,=,求动点P的极坐标方程. 解 (1)联立得cos θ=±, ∵0≤θ<,∴θ=,ρ=2, ∴所求交点的极坐标为. (2)设P,Q且ρ0=4cos θ0,θ0∈, 由已知=,得 ∴ρ=4cos θ, 即ρ=10cos θ, ∴点P的极坐标方程为ρ=10cos θ,θ∈. 思维升华 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时,一定要注意点所在的象限和极角的范围,否则点的极坐标将不唯一. (2)在与曲线的直角坐标方程进行互化时,一定要注意变量的范围,要注意转化的等价性. 跟踪演练1 (2018·山西省榆社中学模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线M的参数方程为(t为参数,t>0且t≠),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ. (1)将曲线M的参数方程化为普通方程,并将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求曲线M与曲线C交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π). 解 (1)∵=t,∴x=,即y=(x-2), 又t>0且t≠, 由x=,得t=-, ∴->0且-≠, ∴x>2或x<0, ∴曲线M的普通方程为y=(x-2)(x>2或x<0). ∵ρ=4cos θ,∴ρ2=4ρcos θ, ∴x2+y2=4x, 即曲线C的直角坐标方程为x2-4x+y2=0. (2)由得x2-4x+3=0, ∴x1=1(舍去),x2=3, 则交点的直角坐标为(3,),极坐标为. 热点二 参数方程与普通方程的互化 1.直线的参数方程 过定点M(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数). 2.圆的参数方程 圆心为点M(x0,y0),半径为r的圆的参数方程为(θ为参数). 3.圆锥曲线的参数方程 (1)椭圆+=1(a>b>0)的参数方程为(θ为参数). (2)抛物线y2=2px(p>0)的参数方程为(t为参数). 例2 (2018·全国Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中,⊙O的参数方程为(θ为参数),过点(0,-)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A,B两点. (1)求α的取值范围; (2)求AB中点P的轨迹的参数方程. 解 (1)⊙O的直角坐标方程为x2+y2=1. 当α=时,l与⊙O交于两点. 当α≠时,记tan α=k,则l的方程为y=kx-.l与⊙O交于两点当且仅当<1,解得k<-1或k>1,即α∈或α∈. 综上,α的取值范围是. (2)l的参数方程为. 设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP, 则tP=,且tA,tB满足t2-2tsin α+1=0. 于是tA+tB=2sin α,tP=sin α. 又点P的坐标(x,y)满足 所以点P的轨迹的参数方程是 . 思维升华 (1)将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征,选取适当的消参方法.常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等. (2)将参数方程化为普通方程时,要注意两种方程的等价性,不要增解、漏解,若x,y有范围限制,要标出x,y的取值范围. 跟踪演练2 (2018·北京朝阳区模拟)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点M的极坐标是. (1)求直线l的普通方程; (2)求直线l上的点到点M距离最小时的点的直角坐标. 解 (1)直线l的普通方程为3x-y-6=0. (2)点M的直角坐标是(-1,-), 过点M作直线l的垂线,垂足为M′,则点M′即为所求的直线l上到点M距离最小的点. 直线MM′的方程是y+=-(x+1), 即y=-x--. 由解得 所以直线l上到点M距离最小的点的直角坐标是. 热点三 极坐标、参数方程的综合应用 解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时,要注意普通方程与参数方程的互化公式,主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题,如最值、范围等. 例3 (2018·泉州质检)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),直线l的参数方程为(t为参数),在以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线m:θ=β(ρ>0). (1)求C和l的极坐标方程; (2)设点A是m与C的一个交点(异于原点),点B是m与l的交点,求的最大值. 解 (1)曲线C的普通方程为(x-1)2+y2=1, 由得2+ρ2sin2θ=1, 化简得C的极坐标方程为ρ=2cos θ. 因为l的普通方程为x+y-4=0, 所以极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-4=0, 所以l的极坐标方程为ρsin=2. (2)设A(ρ1,β),B(ρ2,β), 则==2cos β· =(sin βcos β+cos2β)=sin+, 由射线m与C,直线l相交,则不妨设β∈, 则2β+∈, 所以当2β+=,即β=时,取得最大值, 即max=. 思维升华 (1)利用参数方程解决问题,要理解参数的几何意义. (2)在解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时,常常将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程,有助于认识方程所表示的曲线,从而达到化陌生为熟悉的目的,这是转化与化归思想的应用. 跟踪演练3 (2018·黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学模拟)在平面直角坐标系中,以原点为极点,以x轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρ=2cos θ. (1)若曲线C2的参数方程为(α为参数),求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程; (2)若曲线C2的参数方程为(t为参数),A(0,1),且曲线C1与曲线C2的交点分别为P,Q,求+的取值范围. 解 (1)∵ρ=2cos θ,∴ρ2=2ρcos θ, 又∵ρ2=x2+y2,ρcos θ=x, ∴曲线C1的直角坐标方程为x2+y2-2x=0, 曲线C2的普通方程为x2+(y-1)2=t2. (2)将C2的参数方程(t为参数)代入C1的方程x2+y2-2x=0, 得t2+(2sin α-2cos α)t+1=0. ∵Δ=(2sin α-2cos α)2-4=8sin2-4>0, ∴∈, ∴sin∈∪. t1+t2=-(2sin α-2cos α)=-2sin, t1t2=1>0, ∵t1t2=1>0,∴t1,t2同号, ∴|t1|+|t2|=|t1+t2|. 由点A在曲线C2上,根据t的几何意义,可得 +=+= == =2∈(2,2]. ∴+∈(2,2]. 真题体验 1.(2018·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数). (1)求C和l的直角坐标方程; (2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率. 解 (1)曲线C的直角坐标方程为+=1. 当cos α≠0时,l的直角坐标方程为y=tan α·x+2-tan α, 当cos α=0时,l的直角坐标方程为x=1. (2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程, 整理得关于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cos α+sin α)t-8=0.① 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内, 所以①有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0. 又由①得t1+t2=-,故2cos α+sin α=0,于是直线l的斜率k=tan α=-2. 2.(2017·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4. (1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程; (2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值. 解 (1)设点P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),点M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0),由题设知, |OP|=ρ,|OM|=ρ1=. 由|OM|·|OP|=16,得C2的极坐标方程ρ=4cos θ(ρ>0). 所以C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0). (2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0). 由题设知|OA|=2,ρB=4cos α. 于是△OAB的面积 S=|OA|·ρB·sin∠AOB =4cos α =4cos α =|sin 2α-cos 2α-| =2≤2+. 当2α-=-,即α=-时,S取得最大值2+, 所以△OAB面积的最大值为2+. 押题预测 1.已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t是参数). (1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|AB|=,求直线的倾斜角α的值. 押题依据 极坐标方程和参数方程的综合问题一直是高考命题的热点.本题考查了等价转换思想,代数式变形能力,逻辑推理能力,是一道颇具代表性的题. 解 (1)由ρ=4cos θ,得ρ2=4ρcos θ. 因为x2+y2=ρ2,x=ρcos θ,所以x2+y2=4x, 即曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4. (2)将代入圆的方程(x-2)2+y2=4, 得(tcos α-1)2+(tsin α)2=4, 化简得t2-2tcos α-3=0. 设A,B两点对应的参数分别为t1,t2, 由根与系数的关系,得 所以|AB|=|t1-t2|= ==, 故4cos2α=1,解得cos α=±. 因为直线的倾斜角α∈[0,π),所以α=或. 2.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1:(φ为参数),其中a>b>0.以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2cos θ,射线l:θ=α(ρ≥0).若射线l与曲线C1交于点P,当α=0时,射线l与曲线C2交于点Q,|PQ|=1;当α=时,射线l与曲线C2交于点O,|OP|=. (1)求曲线C1的普通方程; (2)设直线l′:(t为参数,t≠0)与曲线C2交于点R,若α=,求△OPR的面积. 押题依据 将椭圆和直线的参数方程、圆和射线的极坐标方程相交汇,考查相应知识的理解和运用,解题中,需要将已知条件合理转化,灵活变形,符合高考命题趋势. 解 (1)因为曲线C1的参数方程为(φ为参数),且a>b>0,所以曲线C1的普通方程为+=1,而其极坐标方程为+=1. 将θ=0(ρ≥0)代入+=1, 得ρ=a,即点P的极坐标为; 将θ=0(ρ≥0)代入ρ=2cos θ,得ρ=2, 即点Q的极坐标为(2,0). 因为|PQ|=1,所以|PQ|=|a-2|=1, 所以a=1或a=3. 将θ=(ρ≥0)代入+=1, 得ρ=b,即点P的极坐标为, 因为|OP|=,所以b=.又因为a>b>0,所以a=3, 所以曲线C1的普通方程为+=1. (2)因为直线l′的参数方程为(t为参数,t≠0), 所以直线l′的普通方程为y=-x(x≠0), 而其极坐标方程为θ=-(ρ∈R,ρ≠0), 所以将直线l′的方程θ=-代入曲线C2的方程ρ=2cos θ,得ρ=1,即|OR|=1. 因为将射线l的方程θ=(ρ≥0)代入曲线C1的方程+=1, 得ρ=,即|OP|=, 所以S△OPR=|OP||OR|sin∠POR =××1×sin =. A组 专题通关 1.(2018·河南省六市联考)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(φ为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=4sin θ. (1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程; (2)已知曲线C3的极坐标方程为θ=α(0<α<π,ρ∈R),点A是曲线C3与C1的交点,点B是曲线C3与C2的交点,且A,B均异于原点O,若|AB|=4,求实数α的值. 解 (1)由曲线 C1 的参数方程为(φ为参数), 消去参数得曲线 C1 的普通方程为(x-2)2+y2=4. 又曲线 C2 的极坐标方程为ρ=4sin θ,得ρ2=4ρsin θ, ∴ C2 的直角坐标方程为 x2 +y2=4y, 整理得x2+(y-2)2=4. (2)曲线 C1:(x-2)2+y2=4 化为极坐标方程为ρ=4cos θ. 设 A(ρ1,α1),B(ρ2,α2), 又曲线 C3 的极坐标方程为θ=α,0<α<π,ρ∈R, 点 A是曲线C3 与 C1 的交点,B是曲线 C3 与C2 的交点,且均异于原点O,且|AB|=4, ∴|AB|=|ρ1-ρ2|=|4sin α-4cos α| =4=4 , ∴sin=±1, 又0<α<π,∴-<α-<, ∴α-=, 解得 α=. 2.(2018·石嘴山适应性测试)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数).现以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=6cos θ. (1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程; (2)若点P的坐标为(-1,0),直线l交曲线C于A,B两点,求|PA|+|PB|的值. 解 (1)由消去参数t, 得直线l的普通方程为x-y+1=0. 又由ρ=6cos θ,得ρ2=6ρcos θ, 由 得曲线C的直角坐标方程为x2+y

全国通用版2019高考数学二轮复习专题七系列4选讲第1讲坐标系与参数方程学案文.doc

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