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doc 第1讲 计数原理 [考情考向分析] 1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题,以小题形式考查.2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识,近几年也与函数、不等式、数列交汇,值得关注. 热点一 两个计数原理 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成,则要用分类加法计数原理,将方法种数相加;如果需要通过若干步才能将规定的事件完成,则要用分步乘法计数原理,将各步的方法种数相乘. 例1 (1)(2018·潍坊模拟)中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”,主要指德育;“乐”,主要指美育;“射”和“御”,就是体育和劳动;“书”,指各种历史文化知识;“数”,数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动,每艺安排一节,连排六节,一天课程讲座排课有如下要求:“数”必须排在前三节,且“射”和“御”两门课程相邻排课,则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有(  ) A.120种 B.156种 C.188种 D.240种 答案 A 解析 当“数”排在第一节时有A·A=48(种)排法,当“数”排在第二节时有A·A·A=36(种)排法,当“数”排在第三节时,若“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有A·A=12(种)排法;若“射”和“御”两门课程排在后三节时有A·A·A=24(种)排法,所以满足条件的共有48+36+12+24=120(种)排法. (2)若自然数n使得作竖式加法n+(n+1)+(n+2)均不产生进位现象,则称n为“开心数”.例如:32是“开心数”.因为32+33+34不产生进位现象;23不是“开心数”,因为23+24+25产生进位现象,那么,小于100的“开心数”的个数为(  ) A.9 B.10 C.11 D.12 答案 D 解析 根据题意个位数需要满足要求: n+(n+1)+(n+2)<10,即n<2.3, ∴个位数可取0,1,2三个数, ∵十位数需要满足:3n<10,∴n<3.3, ∴十位可以取0,1,2,3四个数,故小于100的“开心数”共有3×4=12(个). 思维升华 (1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时,一般先分类再分步,每一步当中又可能用到分类加法计数原理. (2)对于复杂的两个原理综合使用的问题,可恰当列出示意图或表格,使问题形象化、直观化. 跟踪演练1 (1)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏,现有4个红包,每人最多抢一个,且红包被全部抢完,4个红包中有2个6元,1个8元,1个10元(红包中金额相同视为相同红包),则甲、乙都抢到红包的情况有(  ) A.18种 B.24种 C.36种 D.48种 答案 C 解析 若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的,剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走,有AA=12(种)抢法; 若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的,剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走,有AA=12(种)抢法; 若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的,剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走,有AC=6(种)抢法; 若甲、乙抢的是两个6元的,剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走,有A=6(种)抢法. 根据分类加法计数原理可得甲、乙都抢到红包的情况共有36种. (2)(2018·百校联盟联考)某山区希望小学为丰富学生的伙食,教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地,分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜,若这三种蔬菜种植齐全,同一块地只能种植一种蔬菜,且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜,则不同的种植方式共有(  ) 1 2 3 4 A.9种 B.18种 C.12种 D.36种 答案 B 解析 若种植2块西红柿,则他们在13,14或24位置上种植,剩下两个位置种植黄瓜和茄子,所以共有3×2=6(种)种植方式; 若种植2块黄瓜或2块茄子也是3种种植方式,所以一共有6×3=18(种)种植方式. 热点二 排列与组合 名称 排 列 组 合 相同点 都是从n个不同元素中取m(m≤n)个元素,元素无重复 不同点 ①排列与顺序有关;②两个排列相同,当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同 ①组合与顺序无关;②两个组合相同,当且仅当这两个组合的元素完全相同 例2 (1)(2018·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考)将7个座位连成一排,安排4个人就座,恰有两个空位相邻的不同坐法有(  ) A.240种 B.480种 C.720种 D.960种 答案 B 解析 12或67为空位时,第三个空位有4种选择;23或34或45或56为空位时,第三个空位有3种选择,因此空位共有2×4+4×3=20(种),所以不同坐法有20A=480(种). (2)5位大学毕业生分配到3家单位,每家单位至少录用1人,则不同的分配方法共有(  ) A.25种 B.60种 C.90种 D.150种 答案 D 解析 因为5位大学毕业生分配到3家单位,每家单位至少录用1人,所以共有两种方法:一,一个单位1名,其他两个单位各2名,有×A=90(种)分配方法;二,一个单位3名,其他两个单位各1名,有C×A=60(种)分配方法,共有90+60=150(种)分配方法. 思维升华 求解排列、组合问题的思路:排组分清,加乘明确;有序排列,无序组合;分类相加,分步相乘. 具体地说,解排列、组合的应用题,通常有以下途径 (1)以元素为主体,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素. (2)以位置为主体,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置. (3)先不考虑附加条件,计算出排列数或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数. 解答计数问题多利用分类讨论思想.分类应在同一标准下进行,确保“不漏”、“不重”. 跟踪演练2 (1)(2018·北京市建华实验学校模拟)甲、乙、丙、丁、戊共5人排成一排照相合影,如果甲、乙必须在丙的同侧,则不同的排法有________种. 答案 80 解析 由题意先将甲乙捆绑在一起有A种排法,再与丙一起排列一共有AA种排法,然后再将丁戊插入共有AACC=80(种)排法. (2)(2018·湖南省长沙市雅礼中学、河南省实验中学联考)郑州绿博园花展期间,安排6位志愿者到四个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,其中的小李和小王不在一起,不同的安排方案共有(  ) A.168种 B.156种 C.172种 D.180种 答案 B 解析 分类:(1)小李和小王去甲、乙,共有ACC=12(种);(2)小王、小李一人去甲、乙,共CCCC=96(种);(3)小王、小李均没有去甲、乙,共AA=48(种),总共N=12+96+48=156(种)安排方案. 热点三 二项式定理 (a+b)n=Can+Can-1b+…+Can-kbk+…+Cbn,其中各项的系数C(k=0,1,…,n)叫做二项式系数;展开式中共有n+1项,其中第k+1项Tk+1=Can-kbk(其中0≤k≤n,k∈N,n∈N*)称为二项展开式的通项公式. 例3 (1)(2018·揭阳模拟)已知(x+1)5的展开式中常数项为-40,则a的值为(  ) A.2 B.-2 C.±2 D.4 答案 C 解析 5展开式的通项公式为 Tk+1=C(ax)5-kk=(-1)ka5-kCx5-2k, 令5-2k=-1,可得k=3, 结合题意可得(-1)3a5-3C=-40,即10a2=40, ∴a=±2. (2)已知(1-2x)2 017=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a2 016(x-1)2 016+a2 017(x-1)2 017(x∈R),则a1-2a2+3a3-4a4+…-2 016a2 016+2 017a2 017等于(  ) A.2 017 B.4 034 C.-4 034 D.0 答案 C 解析 因为(1-2x)2 017=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a2 016(x-1)2 016+a2 017(x-1)2 017(x∈R),两边同时求导可得-2×2 017(1-2x)2 016=a1+2a2(x-1)+…+2 016a2 016(x-1)2 015+2 017a2 017(x-1)2 016(x∈R), 令x=0,则-2×2 017=a1-2a2+…-2 016a2 016+2 017a2 017=-4 034. 思维升华 (1)在应用通项公式时,要注意以下几点: ①它表示二项展开式的任意项,只要n与k确定,该项就随之确定; ②Tk+1是展开式中的第k+1项,而不是第k项; ③公式中,a,b的指数和为n,且a,b不能随便颠倒位置; ④对二项式(a-b)n的展开式的通项公式要特别注意符号问题. (2)在二项式定理的应用中,“赋值思想”是一种重要方法,是处理组合数问题、系数问题的经典方法. 跟踪演练3 (1)(2018·龙岩质检)已知二项式4,则展开式的常数项为(  ) A.-1 B.1 C.-47 D.49 答案 B 解析 ∵二项式4=4 =1+4+62+43+ 4, ∴二项式中的常数项产生在1,62,4中, 分别是1,6×2··,C·2·2, 它们的和为1-24+24=1. (2)n的展开式中,各项系数之和为A,各项的二项式系数之和为B,若=32,则n等于(  ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案 A 解析 令x=1,得各项系数之和为A=4n,二项式系数之和为B=2n,故==32,解得n=5. 真题体验 1.(2017·全国Ⅱ改编)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有________种. 答案 36 解析 由题意可得,其中1人必须完成2项工作,其他2人各完成1项工作,可得安排方式为C·C·A=36(种),或列式为C·C·C=3××2=36(种). 2.(2016·上海)在n的二项展开式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于________. 答案 112 解析 由2n=256,得n=8, 通项公式Tk+1=C··k=C(-2)k·, 令=0,得k=2,则常数项为C(-2)2=112. 3.(2017·浙江)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=________,a5=________. 答案 16 4 解析 a4是x项的系数,由二项式的展开式得 a4=C·C·2+C·C·22=16. a5是常数项,由二项式的展开式得a5=C·C·22=4. 4.(2017·浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有________种不同的选法.(用数字作答) 答案 660 解析 方法一 只有1名女生时,先选1名女生,有C种方法;再选3名男生,有C种方法;然后排队长、副队长位置,有A种方法.由分步乘法计数原理,知共有CCA=480(种)选法. 有2名女生时,再选2名男生,有C种方法;然后排队长、副队长位置,有A种方法.由分步乘法计数原理,知共有CA=180(种)选法.所以依据分类加法计数原理知共有480+180=660(种)不同的选法. 方法二 不考虑限制条件,共有AC种不同的选法, 而没有女生的选法有AC种, 故至少有1名女生的选法有AC-AC=840-180=660(种). 押题预测 1.某电视台一节目收视率很高,现要连续插播4个广告,其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告,要求最后播放的必须是商业广告,且2个商业广告不能连续播放,则不同的播放方式有(  ) A.8种 B.16种 C.18种 D.24种 押题依据 两个计数原理是解决排列、组合问题的基础,也是高考考查的热点. 答案 A 解析 可分三步:第一步,最后一个排商业广告有A种方法;第二步,在前两个位置选一个排第二个商业广告有A种方法;第三步,余下的两个排公益宣传广告有A种方法.根据分步乘法计数原理,可得不同的播放方式共有AAA=8(种). 2.为配合足球国家战略,教育部特派6名相关专业技术人员到甲、乙、丙三所足校进行专业技术培训,每所学校至少一人,其中王教练不去甲校的分配方案种数为(  ) A.60 B.120 C.240 D.360 押题依据 排列、组合的综合问题是常见的考查形式,解决问题的关键是先把问题正确分类. 答案 D 解析 6名相关专业技术人员到三所足校,每所学校至少一人,可能的分组情况为4,1,1;3,2,1;2,2,2.(1)对于第一种情况,由于王教练不去甲校,王教练自己去一个学校有C种,其余5名分成一人组和四人组有CA种,共CAC=20(种);王教练分配到四人组且该组不去甲校有CCA=40(种),则第一种情况共有20+40=60(种).(2)对于第二种情况,王教练分配到一人组有CCAC=40(种),王教练分配到三人组有CCCA=120(种),王教练分配到两人组有CCCA=80(种),所以第二种情况共有40+80+120=240(种).(3)对于第三种情况,共有CCCC=60(种). 综上所述,共有60+240+60=360(种)分配方案. 3.设(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7,则代数式a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7的值为(  ) A.-14 B.-7 C.7 D.14 押题依据 二项式定理作为选择题或填空题设计,属于必考试题,一般试题难度有所控制,考查常数项、指定项的系数、最值、系数和等类型,本题设计角度新颖、典型,有代表性. 答案 A 解析 对已知等式的两边求导,得 -14(1-2x)6=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4+6a6x5+7a7x6, 令x=1,有a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7=-14. 4.(1+2x)10的展开式中系数最大的项是________. 押题依据 二项展开式中的系数是历年高考的热门考题,本题通过求

全国通用版2019高考数学二轮复习专题三概率与统计第1讲计数原理学案理.doc

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