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doc 第3讲 数列的综合问题 [考情考向分析] 1.数列的综合问题,往往将数列与函数、不等式结合,探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景,利用函数观点探求参数的值或范围.3.将数列与实际应用问题相结合,考查数学建模和数学应用能力. 热点一 利用Sn,an的关系式求an 1.数列{an}中,an与Sn的关系 an= 2.求数列通项的常用方法 (1)公式法:利用等差(比)数列求通项公式. (2)在已知数列{an}中,满足an+1-an=f(n),且f(1)+f(2)+…+f(n)可求,则可用累加法求数列的通项an. (3)在已知数列{an}中,满足=f(n),且f(1)·f(2)·…·f(n)可求,则可用累乘法求数列的通项an. (4)将递推关系进行变换,转化为常见数列(等差、等比数列). 例1 已知等差数列{an}中,a2=2,a3+a5=8,数列{bn}中,b1=2,其前n项和Sn满足:bn+1=Sn+2(n∈N*). (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设cn=,求数列{cn}的前n项和Tn. 解 (1)∵a2=2,a3+a5=8, ∴2+d+2+3d=8,∴d=1,∴an=n(n∈N*). ∵bn+1=Sn+2(n∈N*),① ∴bn=Sn-1+2(n∈N*,n≥2).② 由①-②,得bn+1-bn=Sn-Sn-1=bn(n∈N*,n≥2), ∴bn+1=2bn(n∈N*,n≥2). ∵b1=2,b2=2b1, ∴{bn}是首项为2,公比为2的等比数列, ∴bn=2n(n∈N*). (2)由cn==, 得Tn=+++…++, Tn=+++…++, 两式相减,得 Tn=++…+-=1-, ∴Tn=2-(n∈N*). 思维升华 给出Sn与an的递推关系,求an,常用思路:一是利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为an的递推关系,再求其通项公式;二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an. 跟踪演练1 (2018·绵阳诊断性考试)已知数列{an}的前n项和Sn满足:a1an=S1+Sn. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若an>0,数列的前n项和为Tn,试问当n为何值时,Tn最小?并求出最小值. 解 (1)由已知a1an=S1+Sn,① 可得当n=1时,a=a1+a1,解得a1=0或a1=2, 当n≥2时,由已知可得a1an-1=S1+Sn-1,② ①-②得a1=an. 若a1=0,则an=0,此时数列{an}的通项公式为an=0. 若a1=2,则2=an,化简得an=2an-1, 即此时数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列, 故an=2n(n∈N*). 综上所述,数列{an}的通项公式为an=0或an=2n. (2)因为an>0,故an=2n. 设bn=log2 ,则bn=n-5,显然{bn}是等差数列, 由n-5≥0,解得n≥5,所以当n=4或n=5时,Tn最小, 最小值为T4=T5==-10. 热点二 数列与函数、不等式的综合问题 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景,给出数列所满足的条件,通常利用点在曲线上给出Sn的表达式,还有以曲线上的切点为背景的问题,解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系,将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体,考查最值问题,不等关系或恒成立问题. 例2 (2018·遵义联考)已知函数f(x)=ln(1+x)-. (1)若x≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值; (2)设数列{an}的通项an=1+++…+,证明:a2n-an+>ln 2. (1)解 由已知可得f(0)=0, ∵f(x)=ln(1+x)-, ∴f′(x)=,且f′(0)=0. ①若λ≤0,则当x>0时,f′(x)>0,f(x)单调递增, ∴f(x)≥f(0)=0,不合题意; ②若0<λ<, 则当0<x<时,f′(x)>0,f(x)单调递增, ∴当0<x<时,f(x)>f(0)=0,不合题意; ③若λ≥, 则当x>0时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 当x≥0时,f(x)≤f(0)=0,符合题意. 综上,λ≥. ∴实数λ的最小值为. (2)证明 由于a2n-an+=+++…+++, 若λ=,由(1)知,f(x)=ln(1+x)-, 且当x>0时,f(x)<0, 即>ln(1+x), 令x=,则>ln , ∴+>ln , +>ln , +>ln , …, +>ln . 以上各式两边分别相加可得 ++++++…++ >ln +ln +ln +…+ln , 即+++…+++ >ln ···…·=ln =ln 2, ∴a2n-an+>ln 2. 思维升华 解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点 (1)数列是一类特殊的函数,函数定义域是正整数,在求数列最值或不等关系时要特别重视. (2)解题时准确构造函数,利用函数性质时注意限制条件. (3)不等关系证明中进行适当的放缩. 跟踪演练2 (2018·南昌模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),满足S4=2a4-1,S3=2a3-1. (1)求{an}的通项公式; (2)记bn=log2(n∈N*),数列{bn}的前n项和为Tn,求证:++…+<2. (1)解 设{an}的公比为q, 由S4-S3=a4,S4=2a4-1得, 2a4-2a3=a4, 所以=2,所以q=2.又因为S3=2a3-1, 所以a1+2a1+4a1=8a1-1,所以a1=1, 所以an=2n-1(n∈N*). (2)证明 由(1)知bn=log2(an+1·an) =log2(2n×2n-1)=2n-1, 所以Tn=n=n2, 所以++…+=++…+<1+++…+ =1+1-+-+…+- =2-<2. 热点三 数列的实际应用 用数列知识解相关的实际问题,关键是合理建立数学模型——数列模型,弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型,它的首项是什么,项数是多少,然后转化为解数列问题.求解时,要明确目标,即搞清是求和,还是求通项,还是解递推关系问题,所求结论对应的是解方程问题,还是解不等式问题,还是最值问题,然后进行合理推算,得出实际问题的结果. 例3 科学研究证实,二氧化碳等温室气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响,环境部门对A市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨,否则将采取紧急限排措施.已知A市2017年的碳排放总量为400万吨,通过技术改造和倡导低碳生活等措施,此后每年的碳排放总量比上一年的碳排放总量减少10%.同时,因经济发展和人口增加等因素,每年又新增加碳排放量m万吨(m>0). (1)求A市2019年的碳排放总量(用含m的式子表示); (2)若A市永远不需要采取紧急限排措施,求m的取值范围. 解 设2018年的碳排放总量为a1,2019年的碳排放总量为a2,…, (1)由已知,a1=400×0.9+m, a2=0.9×+m =400×0.92+0.9m+m=324+1.9m. (2)a3=0.9×+m =400×0.93+0.92m+0.9m+m, …, an=400×0.9n+0.9n-1m+0.9n-2m+…+0.9m+m =400×0.9n+m =400×0.9n+10m =×0.9n+10m. 由已知∀n∈N*,an≤550, (1)当400-10m=0,即m=40时,显然满足题意; (2)当400-10m>0,即m<40时, 由指数函数的性质可得×0.9+10m≤550,解得m≤190. 综合得m<40; (3)当400-10m<0,即m>40时, 由指数函数的性质可得10m≤550, 解得m≤55,综合得40<m≤55. 综上可得所求m的范围是. 思维升华 常见数列应用题模型的求解方法 (1)产值模型:原来产值的基础数为N,平均增长率为p,对于时间n的总产值y=N(1+p)n. (2)银行储蓄复利公式:按复利计算利息的一种储蓄,本金为a元,每期的利率为r,存期为n,则本利和y=a(1+r)n. (3)银行储蓄单利公式:利息按单利计算,本金为a元,每期的利率为r,存期为n,则本利和y=a(1+nr). (4)分期付款模型:a为贷款总额,r为年利率,b为等额还款数,则b=. 跟踪演练3 (2018·上海崇明区模拟)2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目.规划从 2017 年起,在今后的若干年内,每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元,并预测在相当长的年份里,每年的净收入均在上一年的基础上增长50%.记 2016 年为第 1 年,f(n)为第 1 年至此后第 n(n∈N*)年的累计利润(注:含第 n 年,累计利润=累计净收入-累计投入,单位:千万元),且当 f(n)为正值时,认为该项目赢利. (1)试求 f(n)的表达式; (2)根据预测,该项目将从哪一年开始并持续赢利?请说明理由. 解 (1)由题意知,第1年至此后第n(n∈N*)年的累计投入为8+2(n-1)=2n+6(千万元), 第1年至此后第n(n∈N*)年的累计净收入为+×1+×2+…+×n-1 ==n-1(千万元). ∴f(n)=n-1-(2n+6) =n-2n-7(千万元). (2)方法一 ∵f(n+1)-f(n)= - =, ∴当n≤3时,f(n+1)-f(n)<0, 故当n≤4时,f(n)递减; 当n≥4时,f(n+1)-f(n)>0, 故当n≥4时,f(n)递增. 又f(1)=-<0, f(7)=7-21≈17-21=-4<0, f(8)=8-23≈25-23=2>0. ∴该项目将从第8年开始并持续赢利. 答:该项目将从2023年开始并持续赢利. 方法二 设f(x)=x-2x-7(x≥1), 则f′(x)=xln -2,令f′(x)=0, 得x==≈=5, ∴x≈4. 从而当x∈[1,4)时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(4,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 又f(1)=-<0, f(7)=7-21≈17-21=-4<0, f(8)=8-23≈25-23=2>0. ∴该项目将从第8年开始并持续赢利. 答:该项目将从2023年开始并持续赢利. 真题体验 1.(2018·全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=________. 答案 -63 解析 ∵Sn=2an+1,当n≥2时,Sn-1=2an-1+1, ∴an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2), 即an=2an-1(n≥2). 当n=1时,a1=S1=2a1+1,得a1=-1. ∴数列{an}是首项a1=-1,公比q=2的等比数列, ∴Sn===1-2n, ∴S6=1-26=-63. 2.(2017·山东)已知{xn}是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2. (1)求数列{xn}的通项公式; (2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2),…,Pn+1(xn+1,n+1)得到折线P1P2…Pn+1,求由该折线与直线y=0,x=x1,x=xn+1所围成的区域的面积Tn. 解 (1)设数列{xn}的公比为q. 由题意得 所以3q2-5q-2=0, 由已知得q>0, 所以q=2,x1=1. 因此数列{xn}的通项公式为xn=2n-1(n∈N*). (2)过P1,P2,…,Pn+1向x轴作垂线,垂足分别为Q1,Q2,…,Qn+1. 由(1)得xn+1-xn=2n-2n-1=2n-1, 记梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn, 由题意得bn=×2n-1=(2n+1)×2n-2, 所以Tn=b1+b2+…+bn =3×2-1+5×20+7×21+…+(2n-1)×2n-3+(2n+1)×2n-2.① 又2Tn=3×20+5×21+7×22+…+(2n-1)×2n-2+(2n+1)×2n-1,② ①-②得 -Tn=3×2-1+(2+22+…+2n-1)-(2n+1)×2n-1 =+-(2n+1)×2n-1. 所以Tn=(n∈N*). 押题预测 已知数列{an}的前n项和Sn满足关系式Sn=kan+1,k为不等于0的常数. (1)试判断数列{an}是否为等比数列; (2)若a2=,a3=1. ①求数列{an}的通项公式及前n项和Sn的表达式; ②设bn=log2Sn,数列{cn}满足cn=+bn+2·,数列{cn}的前n项和为Tn,当n>1时,求使Tn<Sn+3+成立的最小正整数n的值. 押题依据 本题综合考查数列知识,第(1)问考查反证法的数学方法及逻辑推理能力,第(2)问是高考的热点问题,即数列与不等式的完美结合,其中将求数列前n项和的常用方法“裂项相消法”与“错位相减法”结合在一起,考查了综合分析问题、解决问题的能力. 解 (1)若数列{an}是等比数列,则由n=1得a1=S1=ka2,从而a2=ka3. 又取n=2,得a1+a2=S2=ka3, 于是a1=0,显然矛盾,故数列{an}不是等比数列. (2)①由条件得解得 从而Sn=an+1. 当n≥2时,由Sn-1=an,得an=Sn-Sn-1=an+1-an, 即an+1=2an,此时数列是首项为a2=,公比为2的等比数列. 综上所述,数列{an}的通项公式为an= 从而其前n项和Sn=2n-2(n∈N*). ②由①得bn=n-2, 从而cn=+n·2n-2. 记C1=++…+ =++…+ =, 记C2=1·2-1+2·20+…+n·2n-2, 则2C2=1·20+2·21+…+n·2n-1, 两式相减得C2=(n-1)·2n-1+, 从而Tn=+(n-1)·2n-1+ =+(n-1)·2n-1, 则不等式Tn<Sn+3+可化为+2n+1<2n+1+, 即n2+n-90>0,因为n∈N*且n≠1,故n>9, 从而最小正整

全国通用版2019高考数学二轮复习专题二数列第3讲数列的综合问题学案理.doc

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