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doc 第1讲 直线与圆 [考情考向分析] 考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题).此类问题难度属于中低档,一般以选择题、填空题的形式出现. 热点一 直线的方程及应用 1.两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2存在,则l1∥l2⇔k1=k2,l1⊥l2⇔k1k2=-1.若给出的直线方程中存在字母系数,则要考虑斜率是否存在. 2.求直线方程 要注意几种直线方程的局限性.点斜式、斜截式方程要求直线不能与x轴垂直,两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,而截距式方程不能表示过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线. 3.两个距离公式 (1)两平行直线l1:Ax+By+C1=0, l2:Ax+By+C2=0间的距离d=(A2+B2≠0). (2)点(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式d=(A2+B2≠0). 例1 (1)(2018·上饶模拟)“a=-3”是“直线l1:ax-(a+1)y+1=0与直线l2:2x-ay-1=0垂直”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由直线l1:ax-(a+1)y+1=0与直线l2:2x-ay-1=0垂直可得,2a+a(a+1)=0,解得a=0或-3,所以“a=-3”是“直线l1:ax-(a+1)y+1=0与直线l2:2x-ay-1=0垂直”的充分不必要条件,故选A. (2)在平面直角坐标系xOy中,直线l1:kx-y+2=0与直线l2:x+ky-2=0相交于点P,则当实数k变化时,点P到直线x-y-4=0的距离的最大值为________. 答案 3 解析 由题意得,当k≠0时,直线l1:kx-y+2=0的斜率为k,且经过点A(0,2),直线l2:x+ky-2=0的斜率为-,且经过点B(2,0),且直线l1⊥l2,所以点P落在以AB为直径的圆C上,其中圆心坐标为C(1,1),半径为r=, 由圆心到直线x-y-4=0的距离为d==2, 所以点P到直线x-y-4=0的最大距离为 d+r=2+=3. 当k=0时,l1⊥l2,此时点P(2,2). 点P到直线x-y-4=0的距离d==2. 综上,点P到直线x-y-4=0的距离的最大值为3. 思维升华 (1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况. (2)对解题中可能出现的特殊情况,可用数形结合的方法分析研究. 跟踪演练1 (1)(2018·上海市虹口区模拟)直线ax+(a-1)y+1=0与直线4x+ay-2=0互相平行,则实数a=________. 答案 2 解析 当a≠0时,=≠,解得a=2. 当a=0时,两直线显然不平行.故a=2. (2)(2018·濮阳模拟)圆x2+(y-1)2=1的圆心到直线y=-x-2的距离为________. 答案  解析 圆x2+(y-1)2=1的圆心到直线y=-x-2的距离为=. 热点二 圆的方程及应用 1.圆的标准方程 当圆心为(a,b),半径为r时,其标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,特别地,当圆心在原点时,方程为x2+y2=r2. 2.圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0,表示以为圆心,为半径的圆. 例2 (1)圆心为(2,0)的圆C与圆x2+y2+4x-6y+4=0相外切,则C的方程为(  ) A.x2+y2+4x+2=0 B.x2+y2-4x+2=0 C.x2+y2+4x=0 D.x2+y2-4x=0 答案 D 解析 圆x2+y2+4x-6y+4=0, 即(x+2)2+(y-3)2=9, 圆心为(-2,3),半径为3. 设圆C的半径为r. 由两圆外切知,圆心距为=5=3+r, 所以r=2. 故圆C的方程为(x-2)2+y2=4, 展开得x2+y2-4x=0. (2)已知圆M与直线3x-4y=0及3x-4y+10=0都相切,圆心在直线y=-x-4上,则圆M的方程为(  ) A.2+(y-1)2=1 B.2+2=1 C.2+2=1 D.2+(y-1)2=1 答案 C 解析 到两直线3x-4y=0及3x-4y+10=0的距离都相等的直线方程为3x-4y+5=0,联立方程组解得两平行线之间的距离为2,所以半径为1,从而圆M的方程为2+2=1.故选C. 思维升华 解决与圆有关的问题一般有两种方法 (1)几何法:通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程. (2)代数法:即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数. 跟踪演练2 (1)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是________,半径是________. 答案 (-2,-4) 5 解析 由已知方程表示圆,则a2=a+2, 解得a=2或a=-1. 当a=2时,方程不满足表示圆的条件,故舍去. 当a=-1时,原方程为x2+y2+4x+8y-5=0, 化为标准方程为(x+2)2+(y+4)2=25, 表示以(-2,-4)为圆心,5为半径的圆. (2)(2018·天津)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为____________. 答案 x2+y2-2x=0 解析 方法一 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. ∵圆经过点(0,0),(1,1),(2,0), ∴ 解得 ∴圆的方程为x2+y2-2x=0. 方法二 画出示意图如图所示, 则△OAB为等腰直角三角形, 故所求圆的圆心为(1,0),半径为1, ∴所求圆的方程为(x-1)2+y2=1, 即x2+y2-2x=0. 热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系:相交、相切和相离,判断的方法主要有点线距离法和判别式法. (1)点线距离法:设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r,则d<r⇔直线与圆相交,d=r⇔直线与圆相切,d>r⇔直线与圆相离. (2)判别式法:设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),方程组消去y,得到关于x的一元二次方程,其根的判别式为Δ,则直线与圆相离⇔Δ<0,直线与圆相切⇔Δ=0,直线与圆相交⇔Δ>0. 2.圆与圆的位置关系有五种,即内含、内切、相交、外切、外离. 设圆C1:(x-a1)2+(y-b1)2=r,圆C2:(x-a2)2+(y-b2)2=r,两圆心之间的距离为d,则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下: (1)d>r1+r2⇔两圆外离. (2)d=r1+r2⇔两圆外切. (3)|r1-r2|<d<r1+r2⇔两圆相交. (4)d=|r1-r2|(r1≠r2)⇔两圆内切. (5)0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)⇔两圆内含. 例3 (1)设圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-2)2+(y+2)2=1,则圆C1与圆C2的位置关系是(  ) A.外离 B.外切 C.相交 D.内含 答案 A 解析 圆心距为=2>1+1, 故两圆外离. (2)(2018·四川省高三“联测促改”活动)过点(1,0)且倾斜角为30°的直线被圆(x-2)2+y2=1所截得的弦长为(  ) A. B.1 C. D.2 答案 C 解析 由题意得,直线方程为y=(x-1), 即x-y-1=0. 圆心(2,0)到直线的距离为d==, 故所求弦长为l=2=2=. 思维升华 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时,要注意数形结合,充分利用圆的几何性质寻找解题途径,减少运算量. (2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题,可以转化为圆心到点的距离问题;圆上的点与直线上点的距离的最值问题,可以转化为圆心到直线的距离问题;圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题,可以转化为圆心到圆心的距离问题. 跟踪演练3 (1)(2018·广州名校联考)已知直线y=ax与圆C:x2+y2-2ax-2y+2=0交于两点A,B,且△CAB为等边三角形,则圆C的面积为________. 答案 6π 解析 圆C化为(x-a)2+(y-1)2=a2-1, 且圆心C(a,1),半径R=(a2>1). ∵直线y=ax和圆C相交,且△ABC为等边三角形, ∴圆心C到直线ax-y=0的距离为 Rsin 60°=×, 即d==. 解得a2=7. ∴圆C的面积为πR2=π(7-1)=6π. (2)如果圆(x-a)2+(y-a)2=8上总存在到原点的距离为的点,则实数a的取值范围是(  ) A.(-3,-1)∪(1,3) B.(-3,3) C.[1,1] D.[-3,-1]∪[1,3] 答案 D 解析 圆心(a,a)到原点的距离为|a|,半径r=2,圆上的点到原点的距离为d.因为圆(x-a)2+(y-a)2=8上总存在点到原点的距离为,则圆(x-a)2+(y-a)2=8与圆x2+y2=2有公共点,r′=,所以r-r′≤|a|≤r+r′,即1≤|a|≤3,解得1≤a≤3或-3≤a≤-1,所以实数a的取值范围是[-3,-1]∪[1,3]. 真题体验 1.(2016·山东改编)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是________. 答案 相交 解析 ∵圆M:x2+(y-a)2=a2, ∴圆心坐标为M(0,a),半径r1=a, 圆心M到直线x+y=0的距离d=, 由几何知识得2+()2=a2,解得a=2. ∴M(0,2),r1=2. 又圆N的圆心坐标为N(1,1),半径r2=1, ∴|MN|==. 又r1+r2=3,r1-r2=1, ∴r1-r2<|MN|<r1+r2,∴两圆相交. 2.(2016·上海)已知平行直线l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则l1,l2的距离是________. 答案  3.(2018·全国Ⅰ)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=________. 答案 2 解析 由x2+y2+2y-3=0,得x2+(y+1)2=4. ∴圆心C(0,-1),半径r=2. 圆心C(0,-1)到直线x-y+1=0的距离d==, ∴|AB|=2=2=2. 4.(2018·全国Ⅲ改编)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是________. 答案 [2,6] 解析 设圆(x-2)2+y2=2的圆心为C,半径为r,点P到直线x+y+2=0的距离为d,则圆心C(2,0),r=,所以圆心C到直线x+y+2=0的距离为2,可得dmax=2+r=3,dmin=2-r=.由已知条件可得|AB|=2,所以△ABP面积的最大值为|AB|·dmax=6,△ABP面积的最小值为|AB|·dmin=2. 综上,△ABP面积的取值范围是[2,6]. 押题预测 1.已知圆C关于y轴对称,经过点(1,0)且被x轴分成的两段弧长比为1∶2,则圆C的方程为(  ) A.2+y2= B.2+y2= C.x2+2= D.x2+2= 押题依据 直线和圆的方程是高考的必考点,经常以选择题、填空题的形式出现,利用几何法求圆的方程也是数形结合思想的应用. 答案 C 解析 由已知得圆心在y轴上,且被x轴所分劣弧所对的圆心角为.设圆心坐标为(0,a),半径为r, 则rsin =1,rcos =|a|,解得r=, 即r2=,|a|=,即a=±, 故圆C的方程为x2+2=. 2.设m,n为正实数,若直线(m+1)x+(n+1)y-4=0与圆x2+y2-4x-4y+4=0相切,则mn(  ) A.有最小值1+,无最大值 B.有最小值3+2,无最大值 C.有最大值3+2,无最小值 D.有最小值3-2,最大值3+2 押题依据 直线与圆的位置关系是高考命题的热点,本题与基本不等式结合考查,灵活新颖,加之直线与圆的位置关系本身承载着不等关系,因此此类题在高考中出现的可能性很大. 答案 B 解析 由直线(m+1)x+(n+1)y-4=0与圆(x-2)2+(y-2)2=4相切,可得=2,整理得m+n+1=mn.由m,n为正实数可知,m+n≥2(当且仅当m=n时取等号),令t=,则2t+1≤t2,因为t>0,所以t≥1+,所以mn≥3+2.故mn有最小值3+2,无最大值.故选B. 3.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+ax+2ay-9=0(a>0)相交,公共弦的长为2,则a=________. 押题依据 本题已知公共弦长,求参数的范围,情境新颖,符合高考命题的思路. 答案  解析 联立两圆方程 可得公共弦所在直线方程为ax+2ay-5=0, 故圆心(0,0)到直线ax+2ay-5=0的距离为 =(a>0). 故2=2, 解得a2=, 因为a>0,所以a=. A组 专题通关 1.若<α<2π,则直线+=1必不经过(  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 B 解析 令x=0,得y=sin α<0, 令y=0,得x=cos α>0, 直线过(0,sin α),(cos α,0)两点,因而直线不过第二象限. 2.(2018·呼和浩特调研)设直线l1:x-2y+1=0与直线l2:mx+y+3=0的交点为A,P,Q分别为l1,l2上任意两点,点M为P,Q的中点,若|AM|=|PQ|,则m的值为(  ) A.2 B.-2 C.3 D.-3 答案 A 解析 根据题意画出图形,如图所示. 直线l1:x-2y+1=0 与直线l2:mx+y+3=0 的交点为A,M 为PQ 的中点, 若|AM|=|PQ|, 则PA⊥QA, 即l1⊥l2,∴1×m+(-2)×1=0,解得m=2. 3.我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术,也就是用内接正多边形去逐步逼近圆,即圆内接正多边形边数无限增加时,其周长就越逼近圆周长,这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项

全国通用版2019高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆学案文.doc

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