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doc 第2讲 圆锥曲线 [考情考向分析] 1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等). 热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|). (2)双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|). (3)抛物线:|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PM⊥l于点M. 2.求圆锥曲线标准方程“先定型,后计算” 所谓“定型”,就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置;所谓“计算”,就是指利用待定系数法求出方程中的a2,b2,p的值. 例1 (1)(2018·银川模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,左、右顶点为M,N,过F2的直线l交C于A,B两点(异于M,N),△AF1B的周长为4,且直线AM与AN的斜率之积为-,则C的方程为(  ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+y2=1 答案 C 解析 由△AF1B的周长为4,可知|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4, 解得a=,则M,N(,0). 设点A(x0,y0)(x0≠±), 由直线AM与AN的斜率之积为-, 可得·=-, 即y=-(x-3),① 又+=1,所以y=b2,② 由①②解得b2=2. 所以C的方程为+=1. (2)(2018·龙岩质检)已知以圆C:(x-1)2+y2=4的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A点,B点是抛物线C2:x2=8y上任意一点,BM与直线y=-2垂直,垂足为M,则|BM|-|AB|的最大值为(  ) A.1 B.2 C.-1 D.8 答案 A 解析 因为圆C:(x-1)2+y2=4的圆心为C(1,0), 所以可得以C(1,0)为焦点的抛物线方程为y2=4x, 由解得A(1,2). 抛物线C2:x2=8y的焦点为F(0,2), 准线方程为y=-2, 即有|BM|-|AB|=|BF|-|AB|≤|AF|=1, 当且仅当A,B,F(A在B,F之间)三点共线时,可得最大值1. 思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质,注意当焦点在不同坐标轴上时,椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式. (2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法,可结合草图确定. 跟踪演练1 (1)(2018·石嘴山模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1,F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为,则双曲线的方程为(  ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 答案 D 解析 ∵点(3,4)在以|F1F2|为直径的圆上, ∴c=5,可得a2+b2=25.① 又∵点(3,4)在双曲线的渐近线y=x上, ∴=.② ①②联立,解得a=3且b=4, 可得双曲线的方程为-=1. (2)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线方程为(  ) A.y2=9x B.y2=6x C.y2=3x D.y2=x 答案 C 解析 如图分别过点A,B作准线的垂线,分别交准线于点E,D,设准线交x轴于点G. 设=a,则由已知得=2a, 由抛物线定义,得=a,故∠BCD=30°, 在Rt△ACE中, ∵=|AF|=3,=3+3a,|AC|=2|AE|, ∴3+3a=6,从而得a=1,=3a=3. ∴p===, 因此抛物线方程为y2=3x,故选C. 热点二 圆锥曲线的几何性质 1.椭圆、双曲线中a,b,c之间的关系 (1)在椭圆中:a2=b2+c2,离心率为e==. (2)在双曲线中:c2=a2+b2,离心率为e==. 2.双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系. 例2 (1)设F1,F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,若△AF1F2的面积是△BF1F2面积的三倍,cos∠AF2B=,则椭圆E的离心率为(  ) A. B. C. D. 答案 D 解析 设|F1B|=k, 依题意可得|AF1|=3k,|AB|=4k, ∴|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k. ∵cos∠AF2B=, 在△ABF2中,由余弦定理可得 |AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2||BF2|cos∠AF2B, ∴(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-(2a-3k)(2a-k), 化简可得(a+k)(a-3k)=0, 而a+k>0,故a-3k=0,a=3k, ∴|AF2|=|AF1|=3k,|BF2|=5k, ∴|BF2|2=|AF2|2+|AB|2, ∴AF1⊥AF2,∴△AF1F2是等腰直角三角形. ∴c=a,椭圆的离心率e==. (2)已知双曲线M:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,=2c.若双曲线M的右支上存在点P,使=,则双曲线M的离心率的取值范围为(  ) A. B. C.(1,2) D. 答案 A 解析 根据正弦定理可知=, 所以=,即|PF2|=|PF1|, =2a, 所以=2a,解得=, 而>a+c,即>a+c, 整理得3e2-4e-1<0,解得<e<. 又因为离心率e>1,所以1<e<,故选A. 思维升华 (1)明确圆锥曲线中a,b,c,e各量之间的关系是求解问题的关键. (2)在求解有关离心率的问题时,一般并不是直接求出c和a的值,而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点,建立关于参数c,a,b的方程或不等式,通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围. 跟踪演练2 (1)(2018·全国Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为(  ) A. B. C. D. 答案 D 解析 如图,作PB⊥x轴于点B. 由题意可设|F1F2|=|PF2|=2,则c=1, 由∠F1F2P=120°, 可得|PB|=,|BF2|=1, 故|AB|=a+1+1=a+2, tan∠PAB===, 解得a=4, 所以e==. 故选D. (2)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦距为2c,直线l过点且与双曲线C的一条渐近线垂直,以双曲线C的右焦点为圆心,半焦距为半径的圆与直线l交于M,N两点,若|MN|=c,则双曲线C的渐近线方程为(  ) A.y=±x B.y=±x C.y=±2x D.y=±4x 答案 B 解析 方法一 由题意可设渐近线方程为y=x, 则直线l的斜率kl=-, 直线l的方程为y=-, 整理可得ax+by-a2=0. 焦点(c,0)到直线l的距离d==, 则弦长为2=2=c, 整理可得c4-9a2c2+12a3c-4a4=0, 即e4-9e2+12e-4=0, 分解因式得=0. 又双曲线的离心率e>1,则e==2, 所以= = =, 所以双曲线C的渐近线方程为y=±x. 方法二 圆心到直线l的距离为=, ∴=, ∴c2-3ac+2a2=0, ∴c=2a,b=a, ∴渐近线方程为y=±x. 热点三 直线与圆锥曲线 判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法 (1)代数法:联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x,y的方程组,消去y(或x)得一元二次方程,此方程根的个数即为交点个数,方程组的解即为交点坐标. (2)几何法:画出直线与圆锥曲线的图象,根据图象判断公共点个数. 例3 (2018·衡水金卷调研)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点. (1)若直线AB与椭圆的长轴垂直,|AB|=a,求椭圆的离心率; (2)若直线AB的斜率为1,|AB|=,求椭圆的短轴与长轴的比值. 解 (1)由题意可知,直线AB的方程为x=-c, ∴|AB|==a, 即a2=4b2, 故e====. (2)设F1(-c,0),则直线AB的方程为y=x+c, 联立消去y, 得(a2+b2)x2+2a2cx+a2c2-a2b2=0, Δ=4a4c2-4a2(a2+b2)(c2-b2)=8a2b4. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=-,x1x2=, ∴|AB|=|x1-x2| =·=· ==, ∴a2=2b2,∴=, ∴=,即椭圆的短轴与长轴之比为. 思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程,利用根与系数的关系,设而不求思想,弦长公式等简化计算;涉及中点弦问题时,也可用“点差法”求解. 跟踪演练3 如图,过抛物线M:y=x2上一点A(点A不与原点O重合)作抛物线M的切线AB交y轴于点B,点C是抛物线M上异于点A的点,设G为△ABC的重心(三条中线的交点),直线CG交y轴于点D.设点A(x0,x)(x0≠0). (1)求直线AB的方程; (2)求的值. 解 (1)因为y′=2x, 所以直线AB的斜率k=y′=2x0. 所以直线AB的方程y-x=2x0(x-x0), 即y=2x0x-x, 即直线AB的方程为2x0x-y-x=0. (2)由题意得,点B的纵坐标yB=-x, 所以AB的中点坐标为. 设C(x1,y1),G(x2,y2), 直线CG的方程为x=my+x0. 由 联立得m2y2+(mx0-1)y+x=0. Δ=(mx0-1)2-4×m2×=1-2mx0>0, 即mx0<. 因为G为△ABC的重心,所以y1=3y2. 由根与系数的关系,得y1+y2=4y2=, y1y2=3y=. 所以=, 解得mx0=-3±2,满足Δ>0. 所以点D的纵坐标yD=-=, 故==4±6. 真题体验 1.(2017·北京)若双曲线x2-=1的离心率为,则实数m=________. 答案 2 解析 由双曲线的标准方程知, a=1,b2=m,c=, 故双曲线的离心率e===, ∴1+m=3,解得m=2. 2.(2017·全国Ⅱ改编)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则双曲线C的离心率为________. 答案 2 解析 设双曲线的一条渐近线方程为y=x, 圆的圆心为(2,0),半径为2, 由弦长为2,得圆心到渐近线的距离为=. 由点到直线的距离公式,得=,解得b2=3a2.所以双曲线C的离心率e====2. 3.(2017·全国Ⅱ改编)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为________. 答案 2 解析 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.由直线方程的点斜式,可得直线MF的方程为y=(x-1). 联立方程组 解得或 ∵点M在x轴的上方,∴M(3,2). ∵MN⊥l,∴N(-1,2). ∴|NF|==4, |MF|=|MN|=3-(-1)=4. ∴△MNF是边长为4的等边三角形. ∴点M到直线NF的距离为2. 4.(2017·山东)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为________. 答案 y=±x 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2), 由消去x, 得a2y2-2pb2y+a2b2=0, ∴y1+y2=. 又∵|AF|+|BF|=4|OF|, ∴y1++y2+=4×,即y1+y2=p, ∴=p,即=,∴=, ∴双曲线的渐近线方程为y=±x. 押题预测 1.已知F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2作双曲线一条渐近线的垂线,垂足为点A,交另一条渐近线于点B,且=,则该双曲线的离心率为(  ) A. B. C. D.2 押题依据 圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂,其中离心率、渐近线是高考命题的热点. 答案 A 解析 由F2(c,0)到渐近线y=x的距离为d==b,即||=b,则||=3b. 在△AF2O中,||=a , ||=c,tan∠F2OA=,tan∠AOB==,化简可得a2=2b2,即c2=a2+b2=a2,即e==,故选A. 2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且点在该椭圆上. (1)求椭圆C的方程; (2)过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,若△AOB的面积为,求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程. 押题依据 椭圆及其性质是历年高考的重点,直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注. 解 (1)由题意可得e==, 又a2=b2+c2, 所以b2=a2. 因为椭圆C经过点, 所以+=1, 解得a2=4,所以b2=3, 故椭圆C的方程为+=1. (2)由(1)知F1(-1,0),设直线l的方程为x=ty-1, 由消去x,得(4+3t2)y2-6ty-9=0, 显然Δ>0恒成立,设A(x1,y1),B(x2,y2), 则y1+y2=,y1y2=-, 所以|y1-y2|= = =, 所以S△AOB=·|F1O|·|y1-y2| ==, 化简得18t4-t2-17=0, 即(18t2+17)(t2-1)=0, 解得t=1,t=-(舍去). 又圆O的半径r==, 所以r=,故圆O的方程为x2+y2=. A组 专题通关 1.(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为(  ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 答案 B 解析 由y=x,

全国通用版2019高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲圆锥曲线学案理.doc

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