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doc 规范答题示例8 解析几何中的探索性问题 典例8 (12分)已知定点C(-1,0)及椭圆x2+3y2=5,过点C的动直线与椭圆相交于A,B两点. (1)若线段AB中点的横坐标是-,求直线AB的方程; (2)在x轴上是否存在点M,使·为常数?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 审题路线图 (1)→→ (2)→→→ 规 范 解 答·分 步 得 分 构 建 答 题 模 板 解 (1)依题意,直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x+1), 将y=k(x+1)代入x2+3y2=5,消去y整理得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0.2分 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 由线段AB中点的横坐标是-,得=-=-,解得k=±,适合①. 所以直线AB的方程为x-y+1=0或x+y+1=0.4分 (2)假设在x轴上存在点M(m,0),使·为常数. (ⅰ)当直线AB与x轴不垂直时,由(1)知x1+x2=-,x1x2=. ③ 所以·=(x1-m)(x2-m)+y1y2=(x1-m)(x2-m)+k2(x1+1)(x2+1) =(k2+1)x1x2+(k2-m)(x1+x2)+k2+m2.7分 将③代入,整理得·=+m2=+m2=m2+2m--.9分 注意到·是与k无关的常数, 从而有6m+14=0,解得m=-,此时·=.10分 (ⅱ)当直线AB与x轴垂直时,此时点A,B的坐标分别为,,当m=-时,也有·=.11分 综上,在x轴上存在定点M,使·为常数.12分 第一步 先假定:假设结论成立. 第二步 再推理:以假设结论成立为条件,进行推理求解. 第三步 下结论:若推出合理结果,经验证成立则肯定假设;若推出矛盾则否定假设. 第四步 再回顾:查看关键点,易错点(特殊情况、隐含条件等),审视解题规范性. 评分细则 (1)不考虑直线AB斜率不存在的情况扣1分; (2)不验证Δ>0,扣1分; (3)直线AB方程写成斜截式形式同样给分; (4)没有假设存在点M不扣分; (5)·没有化简至最后结果扣1分,没有最后结论扣1分. 跟踪演练8 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+12=0相切. (1)求椭圆C的方程; (2)设A(-4,0),过点R(3,0)作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P,Q两点,连接AP,AQ分别交直线x=于M,N两点,若直线MR,NR的斜率分别为k1,k2,试问:k1k2是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由. 解 (1)由题意得 ∴ 故椭圆C的方程为+=1. (2)设直线PQ的方程为x=my+3, P(x1,y1),Q(x2,y2),M,N. 由 得(3m2+4)y2+18my-21=0, 且Δ=(18m)2+84(3m2+4)>0, ∴y1+y2=, y1y2=. 由A,P,M三点共线可知,=, ∴yM=.同理可得yN=, ∴k1k2=× == ∵(x1+4)(x2+4)=(my1+7)(my2+7) =m2y1y2+7m(y1+y2)+49 ∴k1k2==-,为定值.

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