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doc 第2讲 函数的应用 [考情考向分析] 1.求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型,主要以选择题、填空题的形式出现.2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体,主要考查函数的最值问题. 热点一 函数的零点 1.零点存在性定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b)使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根. 2.函数的零点与方程根的关系 函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标. 例1 (1)(2018·广西桂林、贺州、崇左三市调研)已知f(x)=+x-,则y=f(x)的零点个数是(  ) A.4 B.3 C.2 D.1 答案 C 解析 令+x-=0,化简得2|x|=2-x2,画出y1=2|x|,y2=2-x2的图象,由图可知,图象有两个交点,即函数f(x)有两个零点. (2)(2018·天一大联考)关于x的方程(x2-2x)2e2x-(t+1)(x2-2x)ex-4=0(t∈R)的不等实根的个数为(  ) A.1 B.3 C.5 D.1或5 答案 B 解析 设f(x)=(x2-2x)ex,则f′(x)=(x+)(x-)ex,所以函数f(x)在(-∞,-),(,+∞)上单调递增,在(-,)上单调递减,且当x→-∞时,f(x)→0,f(-)=(2+2)e-,f(0)=0,f()=(2-2)·e,当x→+∞,f(x)→+∞,由此画出函数y=f(x)的草图,如图所示. 关于x的方程(x2-2x)2e2x-(t+1)(x2-2x)ex-4=0, 令u=f(x),则u2-(t+1)u-4=0,Δ=(t+1)2+16>0,故有两个不同的解u1,u2, 又u1u2=f(-)f()=-4, 所以不等实根的个数为3. 思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题,常见的有 (1)函数零点大致存在区间的确定. (2)零点个数的确定. (3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定. 解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法,尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解. 跟踪演练1 (1)(2018·安庆模拟)定义在R上的函数f(x),满足f(x)=且f(x+1)=f(x-1),若g(x)=3-log2x,则函数F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)内的零点有(  ) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 答案 B 解析 由f(x+1)=f(x-1)得f(x)周期为2,作函数f(x)和g(x)的图象, 图中,g(3)=3-log23>1=f(3), g(5)=3-log25<1=f(5), 可得有两个交点,所以选B. (2)已知函数f(x)满足:①定义域为R;②∀x∈R,都有f(x+2)=f(x);③当x∈[-1,1]时,f(x)=-|x|+1,则方程f(x)=log2|x|在区间[-3,5]内解的个数是(  ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案 A 解析 画出函数图象如图所示,由图可知,共有5个解. 热点二 函数的零点与参数的范围 解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题,关键是利用函数方程思想或数形结合思想,构建关于参数的方程或不等式求解. 例2 (1)已知偶函数f(x)满足f(x-1)=,且当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-loga(x+2)有3个零点,则实数a的取值范围是________. 答案 (3,5) 解析 ∵偶函数f(x)满足f(x-1)=, 且当x∈[-1,0]时,f(x)=x2, ∴f(x-2)=f(x-1-1)==f(x), ∴函数f(x)的周期为2,在区间[-1,3]内函数g(x)=f(x)-loga(x+2)有3个零点等价于函数f(x)的图象与y=loga(x+2)的图象在区间[-1,3]内有3个交点. 当0<a<1时,函数图象无交点,数形结合可得a>1且解得3<a<5. (2)(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是(  ) A.[-1,0) B.[0,+∞) C.[-1,+∞) D.[1,+∞) 答案 C 解析 令h(x)=-x-a, 则g(x)=f(x)-h(x). 在同一坐标系中画出y=f(x),y=h(x)图象的示意图,如图所示. 若g(x)存在2个零点,则y=f(x)的图象与y=h(x)的图象有2个交点,平移y=h(x)的图象可知,当直线y=-x-a过点(0,1)时,有2个交点, 此时1=-0-a,a=-1. 当y=-x-a在y=-x+1上方,即a<-1时,仅有1个交点,不符合题意; 当y=-x-a在y=-x+1下方,即a>-1时,有2个交点,符合题意. 综上,a的取值范围为[-1,+∞). 故选C. 思维升华 (1)方程f(x)=g(x)根的个数即为函数y=f(x)和y=g(x)图象交点的个数. (2)关于x的方程f(x)-m=0有解,m的范围就是函数y=f(x)的值域. 跟踪演练2 (1)(2018·四川省凉山州诊断性检测)已知函数f(x)=(a∈R),若函数f(x)在R上有两个零点,则a的取值范围是(  ) A.(0,1] B.[1,+∞) C.(0,1)∪(1,2) D.(-∞,1) 答案 A 解析 ∵函数f(x)=(a∈R)在R上有两个零点,且x=是函数f(x)的一个零点, ∴方程2x-a=0在(-∞,0]上有一个解, 再根据当x∈(-∞,0]时,0<2x≤20=1,可得0<a≤1. 故选A. (2)函数f(x)=,方程[f(x)]2-(m+1)f(x)+1-m=0有4个不相等实根,则m的取值范围是(  ) A. B. C. D. 答案 C 解析 根据题意画出函数f(x)的图象. 当x>0时,f(x)=,则f′(x)=(x>0), 故f(1)=为f(x)在(0,+∞)上的最大值. 设t=f(x),t2-(m+1)t+1-m=0 有两个根t1,t2, 由图可知,对应两个x值的t值只有一个, 故可设t1对应一个x值,t2对应3个x值. 情况为或 当属于第一种情况时,将0代入方程得m=1, 此时二次方程t2-(m+1)t+1-m=0的根是确定的,一个为0,一个为2>,不符合第一种情况的要求; 当属于第二种情况时, 即<m<1. 热点三 函数的实际应用问题 解决函数模型的实际应用问题,首先考虑题目考查的函数模型,并要注意定义域.其解题步骤是:(1)阅读理解,审清题意:分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题.(2)数学建模:弄清题目中的已知条件和数量关系,建立函数关系式.(3)解函数模型:利用数学方法得出函数模型的数学结果.(4)实际问题作答:将数学问题的结果转化成实际问题作出解答. 例3 经测算,某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(升)与速度x(千米/时)(50≤x≤120)的关系可近似表示为: y= (1)该型号汽车速度为多少时,可使得每小时耗油量最低? (2)已知A,B两地相距120千米,假定该型号汽车匀速从A地驶向B地,则汽车速度为多少时总耗油量最少? 解 (1)当x∈[50,80)时, y=(x2-130x+4 900)=[(x-65)2+675], 当x=65时,y有最小值×675=9. 当x∈[80,120]时,函数单调递减,故当x=120时,y有最小值10. 因为9<10,故当x=65时每小时耗油量最低. (2)设总耗油量为l,由题意可知l=y·. ①当x∈[50,80)时, l=y·= ≥=16, 当且仅当x=,即x=70时,l取得最小值16. ②当x∈[80,120]时,l=y·=-2为减函数. 当x=120时,l取得最小值10. 因为10<16,所以当速度为120千米/时时,总耗油量最少. 思维升华 (1)解决函数的实际应用问题时,首先要耐心、细心地审清题意,弄清各量之间的关系,再建立函数关系式,然后借助函数的知识求解,解答后再回到实际问题中去. (2)对函数模型求最值的常用方法:单调性法、基本不等式法及导数法. 跟踪演练3 为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为y=x2-200x+80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. (1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? (2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损? 解 (1)由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理成本为 =x+-200 ≥2-200=200, 当且仅当x=,即x=400时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为200元. (2)设该单位每月获利为S, 则S=100x-y=100x- =-x2+300x-80 000 =-(x-300)2-35 000, 因为400≤x≤600, 所以当x=400时,S有最大值-40 000. 故该单位不获利,需要国家每月至少补贴40 000元,才能使该单位不亏损. 真题体验 1.(2016·天津改编)已知函数f(x)=sin2+sin ωx-(ω>0,x∈R).若f(x)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是______________. 答案 ∪ 解析 f(x)=+sin ωx- =(sin ωx-cos ωx)=sin. 因为函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点, 所以>2π-π,所以>π,所以0<ω<1. 当x∈(π,2π)时,ωx-∈,若函数f(x)在区间(π,2π)内有零点,则ωπ-<kπ<2ωπ-(k∈Z),即+<ω<k+(k∈Z). 当k=0时,<ω<;当k=1时,<ω<. 所以函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点时, 0<ω≤或≤ω≤. 2.(2017·山东改编)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是______________. 答案 (0,1]∪[3,+∞) 解析 设f(x)=(mx-1)2,g(x)=+m,在同一直角坐标系中,分别作出函数f(x)=(mx-1)2=m22与g(x)=+m的大致图象. 分两种情形: (1)当0<m≤1时,≥1,如图①,当x∈[0,1]时,f(x)与g(x)的图象有一个交点,符合题意. (2)当m>1时,0<<1,如图②,要使f(x)与g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点,只需g(1)≤f(1),即1+m≤(m-1)2,解得m≥3或m≤0(舍去). 综上所述,m∈(0,1]∪[3,+∞). 3.(2017·江苏)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)=其中集合D=,则方程f(x)-lg x=0的解的个数是________. 答案 8 解析 由于f(x)∈[0,1),则只需考虑1≤x<10的情况,在此范围内,当x∈Q,且x∉Z时,设x=,p,q∈N*,p≥2且p,q互质.若lg x∈Q,则由lg x∈(0,1),可设lg x=,m,n∈N*,m≥2且m,n互质.因此=, 则10n=m,此时左边为整数,右边为非整数,矛盾.因此lg x∉Q,因此lg x不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等,只需考虑lg x与每个周期内x∉D部分的交点,画出函数草图.图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数,属于每个周期内x∉D部分,且x=1处(lg x)′==<1,则在x=1附近仅有1个交点,因此方程解的个数为8. 押题预测 1.f(x)=2sin πx-x+1的零点个数为(  ) A.4 B.5 C.6 D.7 押题依据 函数的零点是高考的一个热点,利用函数图象的交点确定零点个数是一种常用方法. 答案 B 解析 令2sin πx-x+1=0,则2sin πx=x-1,令h(x)=2sin πx,g(x)=x-1,则f(x)=2sin πx-x+1的零点个数问题就转化为两个函数h(x)与g(x)图象的交点个数问题.h(x)=2sin πx的最小正周期为T==2,画出两个函数的图象,如图所示,因为h(1)=g(1),h>g,g(4)=3>2,g(-1)=-2,所以两个函数图象的交点一共有5个,所以f(x)=2sin πx-x+1的零点个数为5. 2.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,则实数a的取值范围是(  ) A.[-1,1) B.[0,2] C.(-2,2] D.[-1,2) 押题依据 利用函数零点个数可以得到函数图象的交点个数,进而确定参数范围,较好地体现了数形结合思想. 答案 D 解析 g(x)=f(x)-2x=要使函数g(x)恰有三个不同的零点,只需g(x)=0恰有三个不同的实数根, 所以或 所以g(x)=0的三个不同的实数根为x=2(x>a), x=-1(x≤a),x=-2(x≤a). 再借助数轴,可得-1≤a<2. 所以实数a的取值范围是[-1,2),故选D. 3.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为________m. 押题依据 函数的实际应用是高考的必考点,函数的最值问题是应用问题考查的热点. 答案 20 解析 如图, 过A作AH⊥BC交BC于点H,交DE于点F, 易知===,∴AF=x, ∴FH=40-x(0<x<40), 则矩形花园的面积S=x(40-x)≤2, 当且仅当40-x=x, 即x=20

全国通用版2019高考数学二轮复习专题六函数与导数第2讲函数的应用学案理.doc

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