标签: 2020高考数学大一轮复习第八章解析几何课下层级训练48抛物线(含解析)文新人教A版  
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doc 课下层级训练(四十八) 抛物线 [A级 基础强化训练] 1.点M(5,3)到抛物线y=ax2(a≠0)的准线的距离为6,那么抛物线的方程是(  ) A.y=12x2       B.y=12x2或y=-36x2 C.y=-36x2 D.y=x2或y=-x2 D [分两类a>0,a<0,可得y=x2或y=-x2.] 2.已知AB是抛物线y2=8x的一条焦点弦,|AB|=16,则AB中点C的横坐标是(  ) A.3     B.4     C.6     D.8 C [设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p=16,又p=4,所以x1+x2=12,所以点C的横坐标是=6.] 3.(2016·全国卷Ⅰ)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=(  ) A. B.1 C. D.2 D [∵y2=4x,∴F(1,0). 又∵曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,∴P(1,2). 将点P(1,2)的坐标代入y=(k>0)得k=2.] 4.(2019·皖北协作区联考)已知抛物线C:x2=2py(p>0),若直线y=2x被抛物线所截弦长为4,则抛物线C的方程为(  ) A.x2=8y B.x2=4y C.x2=2y D.x2=y C [由得或 即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p),则=4,得p=1(舍去负值),故抛物线C的方程为x2=2y.] 5.(2018·山东潍坊二模)直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x交于A,B两点,F为C的焦点,若sin ∠ABF=2sin ∠BAF,则k的值是(  ) A. B. C.1 D. B [分别过A,B项抛物线的准线作垂线,垂足分别为M,N,则AF=AM,BF=BN. 设直线y=(x+2)(k>0)与x轴交于点P,则P(-2,0). ∵抛物线的方程为y2=8x,∴抛物线的准线方程为x=-2,即点P在准线上.∵sin ∠ABF=2sin ∠BAF, ∴根据正弦定理可得AF=2BF,∴AM=2BN, ∴==,即B为PA的中点. 联立方程组消去x可得y2-+16=0. 设A,B,则y1y2=16. ∵B为PA的中点,∴y1=2y2,即B(1,2). ∵P(-2,0),∴直线AB的斜率为.] 6.直线l过抛物线x2=2py(p>0)的焦点,且与抛物线交于A,B两点,若线段AB的长是6,AB的中点到x轴的距离是1,则此抛物线方程是__________. x2=8y [设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=y1+y2+p=2+p=6,∴p=4.即抛物线方程为x2=8y.] 7.(2018·四川南充三模)已知斜率为2的直线l过抛物线y2=ax的焦点F,且与y轴相交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则a=__________. ±8 [焦点坐标,|OF|=,直线的点斜式方程y=2在y轴的截距是-,所以S△OAF=××=4,解得a2=64,∵a>0,∴a=8,∴y2=8x,故答案为±8.] 8.(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k=________. 2 [方法一 设点A(x1,y1),B(x2,y2),则 ∴y-y=4(x1-x2),∴k== 设AB中点M′(x0,y0),抛物线的焦点为F,分别过点A,B作准线x=-1的垂线,垂足为A′,B′, 则|MM′|=|AB|=(|AF|+|BF|) =(|AA′|+|BB′|). ∵M′(x0,y0)为AB中点, ∴M为A′B′的中点,∴MM′平行于x轴, ∴y1+y2=2,∴k=2. 方法二 由题意知,抛物线的焦点坐标为F(1,0),设直线方程为y=k(x-1),直线方程与y2=4x联立,消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=1,x1+x2=. 由M(-1,1),得=(-1-x1,1-y1),=(-1-x2,1-y2). 由∠AMB=90°,得·=0, ∴(x1+1)(x2+1)+(y1-1)(y2-1)=0, ∴x1x2+(x1+x2)+1+y1y2-(y1+y2)+1=0. 又y1y2=k(x1-1)·k(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1], y1+y2=k(x1+x2-2), ∴1++1+k2-k+1=0, 整理得-+1=0,解得k=2.] 9.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M. (1)求抛物线的方程; (2)若过M作MN⊥FA,垂足为N,求点N的坐标. 解 (1)抛物线y2=2px的准线为x=-, 于是4+=5,∴p=2,∴抛物线方程为y2=4x. (2)由(1)知点A的坐标是(4,4),由题意得B(0,4),M(0,2). 又∵F(1,0),∴kFA=. ∵MN⊥FA,∴kMN=-. ∴FA的方程为y=(x-1),MN的方程为y=-x+2, 联立解方程组得x=,y=, ∴点N的坐标为. 10.(2019·河南郑州月考)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程; (2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值. 解 (1)直线AB的方程是y=2, 与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0. 由题易知,方程必有两个不等实根. 所以x1+x2=,由抛物线定义得 |AB|=x1+x2+p=+p=9, 所以p=4,从而抛物线方程为y2=8x. (2)由于p=4,则4x2-5px+p2=0, 即x2-5x+4=0,从而x1=1,x2=4, 于是y1=-2,y2=4, 从而A(1,-2),B(4,4).设C(x3,y3), 则=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4) =(4λ+1,4λ-2). 又y=8x3,即[2(2λ-1)]2=8(4λ+1), 整理得(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2. [B级 能力提升训练] 11.(2018·广东茂名二模)若动圆的圆心在抛物线y=x2上,且与直线y+3=0相切,则此圆恒过定点(  ) A.(0,2) B.(0,-3) C.(0,3) D.(0,6) C [直线y+3=0是抛物线x2=12y的准线,由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y=-3的距离与到焦点(0,3)的距离相等,所以此圆恒过定点(0,3).] 12.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及其准线于点A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程为(  ) A.y2=x B.y2=3x C.y2=x D.y2=9x B [如图,分别过点A,B作准线的垂线,交准线于点E,D, 设|BF|=a,则|BC|=2a,由抛物线的定义得,|BD|=a,故∠BCD=30°,在直角三角形ACE中,因为|AE|=|AF|=3,|AC|=3+3a,2|AE|=|AC|,所以6=3+3a,从而得a=1,因为BD∥FG,所以=.即=,解得p=,因此抛物线方程为y2=3x.] 13.已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则实数a的取值范围为__________. [1,+∞) [如图,设C(x0,x)(x≠a),A(-,a),B(,a), 则=(--x0,a-x),=(-x0,a-x). ∵CA⊥CB,∴·=0,即-(a-x)+(a-x)2=0,(a-x)(-1+a-x)=0.∴x=a-1≥0,∴a≥1.] 14.(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=________. 6 [如图,不妨设点M位于第一象限内,抛物线C的准线交x轴于点A,过点M作准线的垂线,垂足为点B,交y轴于点P,∴PM∥OF. 由题意知,F(2,0),|FO|=|AO|=2. ∵点M为FN的中点,PM∥OF,∴|MP|=|FO|=1. 又|BP|=|AO|=2, ∴|MB|=|MP|+|BP|=3. 由抛物线的定义知|MF|=|MB|=3,故|FN|=2|MF|=6.] 15.如图,已知抛物线C∶y2=2px(p>0),焦点为F,过点G(p,0)作直线l交抛物线C于A,M两点,设A(x1,y1),M(x2,y2). (1)若y1y2=-8,求抛物线C的方程; (2)若直线AF与x轴不垂直,直线AF交抛物线C于另一点B,直线BG交抛物线C于另一点N.求证:直线AB与直线MN斜率之比为定值. (1)解 设直线AM的方程为x=my+p, 代入y2=2px得y2-2mpy-2p2=0, 则y1y2=-2p2=-8,得p=2. ∴抛物线C的方程为y2=4x. (2)证明 设B(x3,y3),N(x4,y4). 由(1)可知y3y4=-2p2,y1y3=-p2. 又直线AB的斜率kAB==, 直线MN的斜率kMN==, ∴====2. 故直线AB与直线MN斜率之比为定值. 16.(2018·浙江卷)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上. (1)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴; (2)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围. (1)证明 设P(x0,y0),A,B. 因为PA,PB的中点在抛物线上, 所以y1,y2为方程2=4· 即y2-2y0y+8x0-y=0的两个不同的实根. 所以y1+y2=2y0,因此,PM垂直于y轴. (2)解 由(1)可知,, 所以|PM|=(y+y)-x0=y-3x0, |y1-y2|=2. 因此,△PAB的面积 S△PAB=|PM|·|y1-y2|=(y-4x0). 因为x+=1(x0<0), 所以y-4x0=-4x-4x0+4∈[4,5], 因此,△PAB面积的取值范围是.

2020高考数学大一轮复习 第八章 解析几何 课下层级训练48 抛物线(含解析)文 新人教A版.doc

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