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doc 规范答题示例8 函数的单调性、极值与最值问题 典例8 (12分)已知函数f(x)=ln x+a(1-x). (1)讨论f(x)的单调性; (2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围. 审题路线图 ―→―→. 规 范 解 答·分 步 得 分 构 建 答 题 模 板 解 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-a(x>0). 若a≤0,则f′(x)>0, 所以f(x)在(0,+∞)上单调递增. 若a>0,则当x∈时,f′(x)>0; 当x∈时,f′(x)<0. 所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.5分 所以当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增, 当a>0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减.6分 (2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值,不合题意; 当a>0时,f(x)在x=处取得最大值, 最大值为f=ln+a=-ln a+a-1. 因此f>2a-2等价于ln a+a-1<0.9分 令g(a)=ln a+a-1,则g(a)在(0,+∞)上单调递增,g(1)=0. 于是,当0<a<1时,g(a)<0;当a>1时,g(a)>0. 因此,a的取值范围是(0,1).12分 第一步 求导数:写出函数的定义域,求函数的导数. 第二步 定符号:通过讨论确定f′(x)的符号. 第三步 写区间:利用f′(x)的符号确定函数的单调性. 第四步 求最值:根据函数单调性求出函数最值. 评分细则 (1)函数求导正确给1分; (2)分类讨论,每种情况给2分,结论1分; (3)求出最大值给2分; (4)构造函数g(a)=ln a+a-1给2分; (5)通过分类讨论得出a的范围,给2分. 跟踪演练8 (2018·全国Ⅱ)已知函数f(x)=x3-a(x2+x+1). (1)若a=3,求f(x)的单调区间; (2)证明:f(x)只有一个零点. (1)解 当a=3时,f(x)=x3-3x2-3x-3, f′(x)=x2-6x-3. 令f′(x)=0,解得x=3-2或x=3+2. 当x∈(-∞,3-2)∪(3+2,+∞)时,f′(x)>0; 当x∈(3-2,3+2)时,f′(x)<0. 故f(x)的单调递增区间为(-∞,3-2),(3+2,+∞),单调递减区间为(3-2,3+2). (2)证明 因为x2+x+1>0在R上恒成立, 所以f(x)=0等价于-3a=0. 设g(x)=-3a, 则g′(x)=≥0在R上恒成立,当且仅当x=0时g′(x)=0, 所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增. 故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点. 又f(3a-1)=-6a2+2a-=-62-<0, f(3a+1)=>0,故f(x)有一个零点. 综上,f(x)只有一个零点.

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