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文档内容摘要
doc (一)三角函数与解三角形 1.(2018·天津河北区模拟)已知函数f(x)=sin+cos+2sin xcos x,x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)当x∈时,求函数f(x)的最大值和最小值. 解 (1)∵f(x)=sin+cos+2sin xcos x =sin 2xcos +cos 2xsin +cos 2xcos -sin 2xsin +sin 2x =cos 2x+sin 2x =2sin, ∴T=π. (2)∵0≤x≤,∴≤2x+≤, ∵当≤2x+≤,即0≤x≤时,函数f(x)单调递增, 当≤2x+≤,即≤x≤时,函数f(x)单调递减, 且f(0)=,f=2,f=-, ∴f(x)max=2,f(x)min=-. 2.(2018·天津河北区模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若B=2C,2b=3c. (1)求cos C的值; (2)求sin的值. 解 (1)由2b=3c及正弦定理可得2sin B=3sin C, 又B=2C, ∴2sin 2C=3sin C, ∴4sin Ccos C=3sin C, ∵0<C<π,∴sin C≠0. ∴cos C=. (2)由(1)得cos C=,0<C<π, ∴sin C==, ∴sin 2C=2sin Ccos C=, cos 2C=2cos2C-1=. ∴sin=(sin 2C+cos 2C) ==. 3.(2018·潍坊模拟)已知函数f(x)=sin2x-cos2x+2·sin xcos x(x∈R). (1)求f(x)的最小正周期; (2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(A)=2,c=5,cos B=,求△ABC中线AD的长. 解 (1)f(x)=-cos 2x+sin 2x=2sin, ∴T==π, ∴函数f(x)的最小正周期为π. (2)由(1)知f(x)=2sin, ∵在△ABC中,f(A)=2,∴sin=1, 又A∈(0,π),∴2A-∈, ∴2A-=,∴A=. 又cos B=,∴sin B=, ∴sin C=sin(A+B)=×+×=, 在△ABC中,由正弦定理=,得=, ∴a=7,∴BD=, 在△ABD中,由余弦定理得 AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos B =52+2-2×5××=, ∴AD=. 4.(2018·重庆市綦江区调研)已知a=(2cos x,2sin x),b=,函数f(x)=cos〈a,b〉. (1)求函数f(x)的零点; (2)若锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且f(A)=1,求的取值范围. 解 (1)由条件可知,a·b=2cos x·sin+2sin x·cos=2sin, ∴f(x)=cos〈a,b〉===sin. 由2x-=kπ,k∈Z,解得x=+,k∈Z, 即函数f(x)的零点为x=+,k∈Z. (2)由正弦定理得=, 由(1)知,f(x)=sin, 又f(A)=1,得sin=1, ∴2A-=2kπ+,k∈Z, 又A∈(0,π),得A=, ∵A+B+C=π,∴C=-B,代入上式化简得, = = ==2sin. 又在锐角△ABC中,有0<B<, 0<C=-B<, ∴<B<,∴<B+<, 则有<sin≤1, 即<≤2. 5.(2018·河南省郑州外国语学校调研)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+sin B=sin C. (1)若cos2A=sin2B+cos2C+sin Asin B,求sin A+sin B的值; (2)若c=2,求△ABC面积的最大值. 解 (1)∵cos2A=sin2B+cos2C+sin Asin B, ∴1-sin2A =sin2B+1-sin2C+sin Asin B, ∴sin2A +sin2B-sin2C=-sin Asin B, ∴由正弦定理,得a2+b2-c2=-ab, ∴由余弦定理,得cos C==-, 又0<C<π,∴C=, ∴sin A+sin B=sin C=sin =. (2)当c=2,a+b=c=2, ∴cos C===-1, ∴sin C===, ∴S=absin C=ab=. ∵a+b=2≥2, 即0<ab≤3,当且仅当a=b=时等号成立, ∴S=≤=, ∴△ABC面积的最大值为.

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