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doc (五)坐标系与参数方程 1.(2018·钦州模拟)在平面直角坐标系xOy中,直线l经过点P(-3,0),其倾斜角为α,以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,与坐标系xOy取相同的长度单位,建立极坐标系.设曲线C的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-3=0. (1)若直线l与曲线C有公共点,求倾斜角α的取值范围; (2)设M(x,y)为曲线C上任意一点,求x+y的取值范围. 解 (1)将曲线C的极坐标方程ρ2-2ρcos θ-3=0化为直角坐标方程为x2+y2-2x-3=0, 直线l的参数方程为(t为参数), 将参数方程代入x2+y2-2x-3=0, 整理得t2-8tcos α+12=0. ∵直线l与曲线C有公共点, ∴Δ=64cos2α-48≥0, ∴≤cos α≤1或-1≤cos α≤-,∵α∈[0,π), ∴α的取值范围是∪. (2)曲线C的方程x2+y2-2x-3=0 可化为(x-1)2+y2=4, 其参数方程为(θ为参数), ∵M(x,y)为曲线上任意一点, ∴x+y=1+2cos θ+2sin θ=1+2sin, ∴x+y的取值范围是[1-2,1+2]. 2.(2018·安徽省“皖江八校”联考)在平面直角坐标系xOy中,直线C1:x=0,圆C2:(x-1)2+(y-1-)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C1,C2的极坐标方程; (2)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C1与C2的交点为A,C2与C3的交点为B,求△OAB的面积. 解 (1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ, 所以C1的极坐标方程为ρcos θ=0, 即θ=(ρ∈R), C2的极坐标方程为 ρ2-2ρcos θ-2(1+)ρsin θ+3+2=0. (2)设A,B, 将θ=代入ρ2-2ρcos θ-2(1+)ρsin θ+3+2=0, 得ρ2-2(1+)ρ+3+2=0, 解得ρ1=1+. 将θ=代入ρ2-2ρcos θ-2(1+)ρsin θ+3+2=0, 得ρ2-2(1+)ρ+3+2=0, 解得ρ2=1+. 故△OAB的面积为×(1+)2×sin =1+. 3.(2018·甘肃省西北师范大学附属中学模拟)已知曲线C1的参数方程为(t为参数,0≤α<π),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin. (1)若极坐标为的点A在曲线C1上,求曲线C1与曲线C2的交点坐标; (2)若点P的坐标为(-1,3),且曲线C1与曲线C2交于B,D两点,求|PB|·|PD|. 解 (1)点对应的直角坐标为(1,1), 由曲线C1的参数方程知,曲线C1是过点(-1,3)的直线, 故曲线C1的方程为x+y-2=0. 而曲线C2:ρ=2sin可化为 ρ2=2ρ(sin θ+cos θ), 得直角坐标方程为x2+y2-2x-2y=0. 联立 解得或 故交点坐标分别为(2,0),(0,2). (2)由判断知P在直线C1上, 将代入方程x2+y2-2x-2y=0,得 t2-4(cos α-sin α)t+6=0, 设点B,D对应的参数分别为t1,t2, 则|PB|=|t1|,|PD|=|t2|,又t1t2=6, 所以|PB|·|PD|=|t1|·|t2|=|t1t2|=6. 4.(2018·辽宁省重点高中协作体模拟)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,已知直线l 的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=8sin θ. (1)求曲线C的直角坐标方程,并指出该曲线是什么曲线; (2)若直线l 与曲线C的交点分别为M,N,求|MN|. 解 (1)因为ρcos2θ=8sin θ, 所以ρ2cos2θ=8ρsin θ, 即x2=8y, 所以曲线C表示焦点坐标为(0,2),对称轴为y轴的抛物线. (2)直线l过抛物线的焦点(0,2), 且参数方程为(t 为参数), 代入曲线C的直角坐标方程, 得t2-2t-20=0, 所以t1+t2=2,t1t2=-20. 所以|MN|=|t1-t2|= ==10. 5.(2018·宁夏回族自治区银川一中模拟)在直角坐标系xOy中,圆C1的参数方程为(t为参数),圆C2与圆C1外切于原点O,且两圆圆心的距离|C1C2|=3,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆C1和圆C2的极坐标方程; (2)过点O的直线l1,l2与圆C2异于点O的交点分别为点A和点D,与圆C1异于点O的交点分别为点C和点B,且l1⊥l2.求四边形ABCD面积的最大值. 解 (1)由圆C1的参数方程(t为参数), 得圆C1:(x+1)2+y2=1,故C1(-1,0),r1=1. 又圆C2与圆C1外切于原点O, 且两圆圆心的距离|C1C2|=3, 所以C2(2,0),r2=2, 故圆C2的方程为(x-2)2+y2=4. 所以由得 圆C1的极坐标方程为ρ=-2cos θ, 圆C2的极坐标方程为ρ=4cos θ. (2)由已知设A(ρ1,θ), 由l1⊥l2 可得,B, C(ρ3,θ+π),D. 由(1)得 所以S四边形ABCD=|AC|·|BD| =(ρ1+ρ3)(ρ2+ρ4) =18sin θcos θ=9sin 2θ. 所以当sin 2θ=1,即θ=时,S四边形ABCD有最大值9.

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