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doc 第一节 平面向量的线性运算与基本定理 限时规范训练(限时练·夯基练·提能练) A级 基础夯实练 1.(2018·吉林白山模拟)AC为平行四边形ABCD的一条对角线,=(2,4),=(1,3),则=(  ) A.(2,4)        B.(3,7) C.(1,1) D.(-1,-1) 解析:选D.∵=-=(-1,-1), ∴==(-1,-1). 2.(2018·保定模拟)若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2)则c=(  ) A.-a+b B.a-b C.a-b D.-a+b 解析:选B.设c=λ1a+λ2b,则(-1,2)=λ1(1,1)+λ2(1,-1)=(λ1+λ2,λ1-λ2), ∴λ1+λ2=-1,λ1-λ2=2,解得λ1=,λ2=-, 所以c=a-b. 3.(2018·唐山模拟)设a,b为不共线的非零向量,=2a+3b,=-8a-2b,=-6a-4b,那么(  ) A.与同向,且||>|| B.与同向,且||<|| C.与反向,且||>|| D.∥ 解析:选A.=++=2a+3b+(-8a-2b)+(-6a-4b)=-12a-3b,又=-8a-2b, ∴=. ∵>0,∴与同向,且||=||>||. ∴||>||. 4.(2018·江门二模)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行,则A=(  ) A. B. C. D. 解析:选B.因为m∥n,所以asin B-bcos A=0,由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0,又sin B≠0,从而tan A=,由于0<A<π,所以A=. 5.(2018·合肥模拟)已知a,b是不共线的两个向量,向量=λa+b,=a+μb(λ,μ∈R),则A,B,C三点共线的充要条件为(  ) A.λ+μ=2 B.λ-μ=1 C.λμ=1 D.λμ=-1 解析:选C.∵向量a和b不共线,∴和为非零向量,则A,B,C三点共线的充要条件为存在k(k≠0),使得=k,即λa+b=k(a+μb)=ka+kμb,∵a和b不共线,∴λ=k,1=kμ,∴λμ=1,故选C. 6.(2018·九江模拟)如图,在6×6的方格纸中,若起点和终点均在格点的向量a,b,c满足c=xa+yb(x,y∈R),则x+y=(  ) A.0 B.1 C.5 D. 解析:选D.建立如图所示平面直角坐标系,设小方格的边长为1. 则向量a=(1,2),b=(2,-1),c=(3,4), ∵c=xa+yb, 即解得 ∴x+y=+=. 7.(2018·河北保定质检)设M是△ABC所在平面上的一点,且++=0,,D是AC的中点,则的值为(  ) A. B. C.1 D.2 解析:选A.∵D是AC的中点,∴+=0,.又∵++=0,,∴=-(+)=-×2,即=3,故=,∴=.故选A. 8.(2018·常州八校联考)在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为CD,BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ等于________. 解析:因为=+=+=+(+)=2++=2--,所以=-,∴λ=-,μ=. 所以λ+μ=. 答案: 9.(2018·银川模拟)已知D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,给出下列命题:①=a-b;②=a+b;③=-a+b;④++=0,.其中正确命题的个数为________. 解析:=a,=b,=+=-a-b,故①错误;=+=a+b,故②正确; =(+)=(-a+b)=-a+b,故③正确; ∴++=-b-a+a+b+b-a=0,. ∴正确的命题为②③④. 答案:3 10.(2018·济南模拟)已知非零向量e1,e2,a,b满足a=2e1-e2,b=ke1+e2.给出以下结论: ①若e1与e2不共线,a与b共线,则k=-2; ②若e1与e2不共线,a与b共线,则k=2; ③存在实数k,使得a与b不共线,e1与e2共线; ④不存在实数k,使得a与b不共线,e1与e2共线. 其中正确的是________(只填序号). 解析:若a与b共线,即a=λb,即2e1-e2=λke1+λe2,而e1与e2不共线, 所以解得k=-2.故①正确,②不正确. 若e1与e2共线,则e2=λe1,有 因为e1,e2,a,b为非零向量,所以λ≠2且λ≠-k,所以a=b,即a=b,这时a与b共线,所以不存在实数k满足题意.故③不正确,④正确. 综上,正确的结论为①④. 答案:①④ B级 能力提升练 11.(2018·河南中原名校联考)如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,=3,F为AE的中点,则=(  ) A.-      B.- C.-+ D.-+ 解析:选C.解法一:如图,取AB的中点G,连接DG,CG,则易知四边形DCBG为平行四边形,所以==-=-,所以=+=+=+=+,于是=-=-=+-=-+. 解法二:=(+)=-+× =-+(-)=-+(-) =-+=-+. 12.(2018·烟台质检)在△ABC中,N是AC边上一点,且=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为(  ) A. B. C.1 D.3 解析:选B.如图,因为=,P是上一点, 所以=,=m+=m+. 因为B,P,N三点共线, 所以m+=1,所以m=. 13.(2018·山西四校联考)在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=3,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若=x+(1-x),则x的取值范围是(  ) A. B. C. D. 解析:选D.依题意,设=λ,其中1<λ<,则有=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ. 又=x+(1-x),且,不共线,于是有x=(1-λ)∈,即x的取值范围是. 14.(2018·洛阳模拟)已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心,动点P满足=++2,则点P一定为△ABC的(  ) A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点(非重心) C.重心 D.AB边的中点 解析:选B.如图设AB的中点为M,则+=,所以=(+2),即3=+2⇒-=2-2⇒=2.又与有公共点P,所以P,M,C三点共线,且P是CM上靠近C点的一个三等分点. 15.(2017·江苏卷)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且tan α=7,与的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n=________. 解析:由tan α=7,得tan==-. 以O为原点,OA方向为x轴正半轴建立坐标系(图略),则A点坐标为(1,0). 由tan=-,的模为1,可得B.由tan α=7,的模为,可得C. 由=m+n,代入A、B、C点坐标可得, 解得 ∴m+n=3. 答案:3 C级 素养加强练 16.(2018·天水模拟)如图,在等腰直角三角形ABC中,点O是斜边BC的中点,过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N,若=m,=n(m>0,n>0),则mn的最大值为________. 解析:以A为坐标原点,线段AC、AB所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设△ABC的腰长为2,则B(0,2),C(2,0),O(1,1). ∵=m,=n, ∴M,N, ∴直线MN的方程为+=1, ∵直线MN过点O(1,1),∴+=1,即m+n=2, ∴mn≤=1,当且仅当m=n=1时取等号, ∴mn的最大值为1. 答案:1

2020高考数学大一轮复习 第四章 平面向量、复数、算法 第一节 平面向量的线性运算与基本定理检测 理 新人教A版.doc

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