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doc 回扣3 三角函数、三角恒等变换与解三角形 1.三种三角函数的性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象 单调性 在(k∈Z) 上单调递增;在(k∈Z) 上单调递减 在[-π+2kπ,2kπ] (k∈Z)上单调递增; 在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上单调递减 在(k∈Z)上单调递增 对称性 对称中心:(kπ,0)(k∈Z); 对称轴:x=+kπ(k∈Z) 对称中心:(k∈Z); 对称轴:x=kπ(k∈Z) 对称中心: (k∈Z) 2.函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0,A>0)的图象 (1)“五点法”作图 设z=ωx+φ,令z=0,,π,,2π,求出相应的x的值与y的值,描点、连线可得. (2)由三角函数的图象确定解析式时,一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口. (3)图象变换 y=sin xy=sin(x+φ) y=sin(ωx+φ) y=Asin(ωx+φ). 3.准确记忆六组诱导公式 对于“±α,k∈Z”的三角函数值与α角的三角函数值的关系口诀:奇变偶不变,符号看象限. 4.三角函数恒等变换“四大策略” (1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin2θ+cos2θ=tan 45°等. (2)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次. (3)弦、切互化:一般是切化弦. (4)灵活运用辅助角公式asin α+bcos α=sin(α+φ). 5.正弦定理及其变形 ===2R(2R为△ABC外接圆的直径). 变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. sin A=,sin B=,sin C=. a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. 6.余弦定理及其推论、变形 a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C. 推论:cos A=,cos B=, cos C=. 变形:b2+c2-a2=2bccos A,a2+c2-b2=2accos B, a2+b2-c2=2abcos C. 7.面积公式 S△ABC=bcsin A=acsin B=absin C. 1.利用同角三角函数的平方关系式求值时,不要忽视角的范围,要先判断函数值的符号. 2.在求三角函数的值域(或最值)时,不要忽略x的取值范围. 3.求函数f(x)=Asin(ωx+φ)的单调区间时,要注意A与ω的符号,当ω<0时,需把ω的符号化为正值后求解. 4.三角函数图象变换中,注意由y=sin ωx的图象变换得到y=sin(ωx+φ)的图象时,平移量为,而不是φ. 5.在已知两边和其中一边的对角利用正弦定理求解时,要注意检验解是否满足“大边对大角”,避免增解. 1.若sin θ·cos θ=,则tan θ+的值是(  ) A.-2 B.2 C.±2 D. 答案 B 解析 tan θ+=+==2. 2.下列函数中,最小正周期为π的偶函数是(  ) A.y=sin B.y=cos C.y=sin 2x+cos 2x D.y=sin x+cos x 答案 A 解析 化简函数的解析式,A中,y=cos 2x是最小正周期为π的偶函数. 3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=2,c=,cos A=-,则b的值为(  ) A.1 B. C. D. 答案 A 解析 根据余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A, 则22=b2+()2-2b××,所以b2+b-2=0, 解得b=1,或b=-2(舍去),故选A. 4.要得到函数y=sin的图象,只需将函数y=sin 4x的图象(  ) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 答案 B 解析 ∵y=sin=sin, ∴要得到y=sin的图象,只需将函数y=sin 4x的图象向右平移个单位长度. 5.若函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)(0<θ<π)的图象关于点对称,则函数f(x)在上的最小值是(  ) A.-1 B.- C.- D.- 答案 B 解析 f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ) =2sin, 则由题意知,f=2sin=0,又因为0<θ<π,所以<π+θ+<, 所以π+θ+=2π, 所以θ=,所以f(x)=-2sin 2x. 又因为函数f(x)在上是减函数, 所以函数f(x)在上的最小值为 f=-2sin =-,故选B. 6.(2016·全国Ⅲ)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A等于(  ) A. B. C.- D.- 答案 C 解析 设BC边上的高AD交BC于点D, 由题意B=,AD=BD=BC,DC=BC, tan∠BAD=1,tan∠CAD=2,tan A==-3, 所以cos A=-,故选C. 7.若sin 2α=,sin(β-α)=,且α∈,β∈,则α+β的值是(  ) A. B. C.或 D.或 答案 A 解析 ∵sin 2α=,α∈, ∴2α∈,即α∈,cos 2α=-, 又sin(β-α)=,β∈, ∴β-α∈,cos(β-α)=-, ∴cos(α+β)=cos [(β-α)+2α] =cos(β-α)cos 2α-sin(β-α)sin 2α =×-×=, 又α+β∈, ∴α+β=,故选A. 8.设函数y=sin ωx(ω>0)的最小正周期是T,将其图象向左平移T个单位长度后,得到的图象如图所示,则函数y=sin ωx(ω>0)的单调递增区间是(  ) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 答案 A 解析 方法一 由已知图象知,y=sin ωx(ω>0)的最小正周期是2×=,所以=,解得ω=,所以y=sin x. 由2kπ-≤x≤2kπ+得到单调递增区间是(k∈Z). 方法二 因为T=,所以将y=sin ωx(ω>0)的图象向左平移T个单位长度后, 所对应的解析式为y=sin ω. 由图象知,ω=,所以ω=, 所以y=sinx.由2kπ-≤x≤2kπ+得到单调递增区间是(k∈Z). 9.已知f(x)=sin x+cos x(x∈R),函数y=f(x+φ)的图象关于直线x=0对称,则φ的值可以是(  ) A. B. C. D. 答案 B 解析 已知f=sin x+cos x=2sin, y=f=2sin关于直线x=0对称, 所以f(0)=2sin=±2, 所以φ+=+kπ,k∈Z,φ=+kπ,k∈Z, 当k=0时,φ=,故选B. 10.已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)-1,其图象与直线y=1相邻两个交点的距离为,若f(x)>0对x∈恒成立,则φ的取值范围是(  ) A. B. C. D. 答案 B 解析 由已知得函数f(x)的最小正周期为,则ω=, 当x∈时,x+φ∈, 因为f(x)>0,即cos>, 所以(k∈Z), 解得-+2kπ≤φ≤-+2kπ(k∈Z), 又|φ|<,所以-<φ≤-,故选B. 11.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则f的值为________. 答案 1 解析 根据图象可知,A=2,=-, 所以周期T=π,ω==2.又函数过点, 所以sin=1,又0<φ<π, 所以φ=,则f(x)=2sin, 因此f=2sin=1. 12.已知函数f(x)=3sin(ω>0)和g(x)=3cos(2x+φ)的图象的对称中心完全相同,若x∈,则f(x)的取值范围是________. 答案  解析 由两个三角函数图象的对称中心完全相同可知,两函数的周期相同,故ω=2, 所以f(x)=3sin, 那么当x∈时,-≤2x-≤, 所以-≤sin≤1,故f(x)∈. 13.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,角B为锐角,且sin2B=8sin A·sin C,则的取值范围为____________. 答案  解析 因为sin2B=8sin A·sin C,由正弦定理可知, b2=8ac,所以cos B= == =-5∈(0,1), 令t=,t>0,则0<-5<1, 解得<t2<,即t∈. 14.如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=,cos∠BAD=-,sin∠CBA=,则BC的长为________. 答案 3 解析 因为cos∠BAD=-, 故sin∠BAD==, 在△ADC中运用余弦定理,可得 cos∠CAD==, 则sin∠CAD= =, 所以sin∠BAC=sin(∠BAD-∠CAD) =×+×==, 在△ABC中运用正弦定理,可得 =⇒BC=××=3. 15.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos C+(cos A-sin A)cos B=0. (1)求角B的大小; (2)若a=2,b=,求△ABC的面积. 解 (1)由已知得 -cos(A+B)+cos Acos B-sin Acos B=0, 即sin Asin B-sin Acos B=0,因为sin A≠0, 所以sin B-cos B=0, 又cos B≠0,所以tan B=, 又0<B<π,所以B=. (2)因为sin B=,cos B=,b=, 所以===, 又a=2,所以sin A==, 因为a<b,所以cos A=. 因为A+B+C=π, 所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=, 所以S△ABC=absin C=. 16.已知函数f(x)=sin xcos x+sin2x+(x∈R). (1)当x∈时,求函数f(x)的最小值和最大值; (2)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=,f(C)=2,若向量m=(1,a)与向量n=(2,b)共线,求a,b的值. 解 (1)∵函数f(x)=sin xcos x+sin2x+(x∈R), ∴f(x)=sin 2x++ =sin 2x-cos 2x+1 =sin+1. ∵-≤x≤,∴-≤2x-≤, ∴-≤sin≤1, ∴1-≤sin+1≤2, ∴f(x)的最小值是1-,最大值是2. (2)∵f(C)=sin+1=2, ∴sin=1, ∵0<C<π,∴-<2C-<, ∴2C-=,解得C=. ∵向量m=(1,a)与向量n=(2,b)共线, ∴b-2a=0,即b=2a.① 由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos , 即a2+b2-ab=3.② 由①②得a=1,b=2.

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