标签: 全国通用版2018-2019版高中数学第一章导数及其应用1.2导数的计算第3课时简单复合函数的导数学案新人教A版选修2   全国   通用版   2018   2019   高中数学   第一章   导数   及其   应用   1.2   计算  
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doc 第3课时 简单复合函数的导数 学习目标 1.了解复合函数的概念,掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则,并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax+b)的导数). 知识点 复合函数的概念及求导法则 已知函数y=ln(2x+5),y=sin(x+2). 思考 这两个函数有什么共同特征? 答案 函数y=ln(2x+5),y=sin(x+2)都是由两个基本函数复合而成的. 梳理 复合函数的概念 一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)). 复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 1.函数y=e-x的导数为y′=e-x.( × ) 2.函数f(x)=sin(-x)的导数为f′(x)=cos x.( × ) 3.函数y=cos(3x+1)由函数y=cos u,u=3x+1复合而成.( √ ) 类型一 求复合函数的导数 例1 求下列函数的导数. (1)y=; (2)y=log2(2x+1); (3)y=ecos x+1; (4)y=sin2. 考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数 解 (1)y=, 设y=,u=1-2x2, 则y′=()′(1-2x2)′=·(-4x) =-·(-4x)=2x. (2)设y=log2u,u=2x+1, 则yx′=yu′·ux′==. (3)设y=eu,u=cos x+1, 则yx′=yu′·ux′=eu·(-sin x) =-ecos x+1sin x. (4)y= 对于t=cos, 设u=4x+, 则t=cos u,tu′ux′=-4sin u=-4sin. ∴y′=2sin. 反思与感悟 (1)求复合函数的导数的步骤 (2)求复合函数的导数的注意点:①分解的函数通常为基本初等函数;②求导时分清是对哪个变量求导;③计算结果尽量简洁. 跟踪训练1 求下列函数的导数. (1)y=(x2-4)2;(2)y=ln(6x+4); (3)y=103x-2;(4)y=; (5)y=sin;(6)y=cos2x. 考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数 解 (1)y′=2(x2-4)(x2-4)′=2(x2-4)·2x =4x3-16x. (2)y′=·(6x+4)′=. (3)y′=(103x-2ln 10)·(3x-2)′=3×103x-2ln 10. (4)y′=·(2x-1)′= . (5)y′=cos·′=3cos. (6)y′=2cos x·(cos x)′=-2cos x·sin x=-sin 2x. 例2 求下列函数的导数. (1)y=; (2)y=x; (3)y=xcossin. 考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数 解 (1)∵(ln 3x)′=×(3x)′=, ∴y′= ==. (2)y′=(x)′ =x′+x()′ =+ =. (3)∵y=xcossin =x(-sin 2x)cos 2x=-xsin 4x, ∴y′=′ =-sin 4x-cos 4x·4 =-sin 4x-2xcos 4x. 反思与感悟 (1)在对函数求导时,应仔细观察及分析函数的结构特征,紧扣求导法则,联系学过的求导公式,对不易用求导法则求导的函数,可适当地进行等价变形,以达到化异求同、化繁为简的目的. (2)复合函数的求导熟练后,中间步骤可以省略,即不必再写出函数的复合过程,直接运用公式,由外及内逐层求导. 跟踪训练2 求下列函数的导数. (1)y=sin3x+sin x3; (2)y=xln(1+2x). 考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数 解 (1)y′=(sin3x+sin x3)′=(sin3x)′+(sin x3)′ =3sin2xcos x+cos x3·3x2 =3sin2xcos x+3x2cos x3. (2)y′=x′ln(1+2x)+x[ln(1+2x)]′ =ln(1+2x)+. 类型二 复合函数导数的应用 例3 设f(x)=ln(x+1)++ax+b(a,b∈R,a,b为常数),曲线y=f(x)与直线y=x在(0,0)点相切,求a,b的值. 考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数的综合应用 解 由曲线y=f(x)过(0,0)点, 可得ln 1+1+b=0,故b=-1. 由f(x)=ln(x+1)++ax+b, 得f′(x)=++a, 则f′(0)=1++a=+a, 即为曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线的斜率. 由题意,得+a=,故a=0. 反思与感悟 复合函数导数的应用问题,正确的求出此函数的导数是前提,审题时注意所给点是不是切点,挖掘题目隐含条件,求出参数,解决已知经过一定点的切线问题,寻求切点是解决问题的关键. 跟踪训练3 曲线y=esin x在点(0,1)处的切线与直线l平行,且与l的距离为,求直线l的方程. 考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数的综合应用 解 由y=esin x, 得y′=(esin x)′=cos xesin x, 即=1, 则切线方程为y-1=x-0,即x-y+1=0. 若直线l与切线平行,可设直线l的方程为x-y+c=0. 两平行线间的距离d==,得c=3或c=-1. 故直线l的方程为x-y+3=0或x-y-1=0. 1.函数y=(ex+e-x)的导数是(  ) A.(ex-e-x) B.(ex+e-x) C.ex-e-x D.ex+e-x 考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数 答案 A 解析 y′=′=(ex-e-x). 2.函数y=x2cos的导数为(  ) A.y′=2xcos-x2sin B.y′=2xcos-2x2sin C.y′=x2cos-2xsin D.y′=2xcos+2x2sin 考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数 答案 B 解析 y′=(x2)′cos+x2′ =2xcos+x2′ =2xcos-2x2sin. 3.已知函数f(x)=ln(3x-1),则f′(1)=________. 考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数 答案  解析 ∵f′(x)=·(3x-1)′=,∴f′(1)=. 4.函数y=2cos2x在x=处的切线斜率为________. 考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 -1 解析 由函数y=2cos2x=1+cos 2x, 得y′=(1+cos 2x)′=-2sin 2x, 所以函数在x=处的切线斜率为-2sin=-1. 5.曲线y=在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________. 考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 e2 解析 y′=, 切线的斜率k=e2, 则切线方程为y-e2=(x-4), 令x=0,得y=-e2, 令y=0,得x=2, ∴切线与坐标轴围成的面积为×2×|-e2|=e2. 求简单复合函数f(ax+b)的导数 实质是运用整体思想,先把简单复合函数转化为常见函数y=f(u),u=ax+b的形式,然后再对y=f(u)与u=ax+b分别求导,并把所得结果相乘.灵活应用整体思想把函数化为y=f(u),u=ax+b的形式是关键. 一、选择题 1.下列函数不是复合函数的是(  ) A.y=-x3-+1 B.y=cos C.y= D.y=(2x+3)4 考点 简单复合函数的导数 题点 复合函数的判断 答案 A 解析 A中的函数是一个多项式函数,B中的函数可看作函数u=x+,y=cos u的复合函数,C中的函数可看作函数u=ln x,y=的复合函数,D中的函数可看作函数u=2x+3,y=u4的复合函数,故选A. 2.函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数 答案 D 解析 y′=[(x+1)2]′(x-1)+(x+1)2(x-1)′ =2(x+1)(x-1)+(x+1)2 =3x2+2x-1, 所以y′|x=1=4. 3.设函数f(x)=(1-2x3)10,则f′(1)等于(  ) A.0 B.60 C.-1 D.-60 考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数 答案 B 解析 f′(x)=10(1-2x3)9(-6x2) 所以f′(1)=10(1-2)9(-6)=60. 4.函数y=xln(2x+5)的导数为(  ) A.ln(2x+5)- B.ln(2x+5)+ C.2xln(2x+5) D. 考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数 答案 B 解析 y′=[xln(2x+5)]′ =x′ln(2x+5)+x[ln(2x+5)]′ =ln(2x+5)+x··(2x+5)′ =ln(2x+5)+. 5.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a等于(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 D 解析 y′=a-,由题意得=2,即a-1=2, 所以a=3. 6.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(  ) A. B. C. D.1 考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 A 解析 ∵=-2e-2×0=-2,∴曲线在点(0,2)处的切线方程为y=-2x+2. 由得x=y=, ∴A, 则围成的三角形的面积为××1=. 7.已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是(  ) A. B. C. D. 考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 D 解析 y′== =. ∵ex+≥2, ∴ex++2≥4, ∴y′∈[-1,0),即tan α∈[-1,0), ∴α∈. 二、填空题 8.函数y=sin 2xcos 3x的导数是________________. 考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数 答案 2cos 2xcos 3x-3sin 2xsin 3x 解析 ∵y=sin 2xcos 3x, ∴y′=(sin 2x)′cos 3x+sin 2x(cos 3x)′ =2cos 2xcos 3x-3sin 2xsin 3x. 9.曲线y=xex-1在点(1,1)处切线的斜率为________. 考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 2 解析 y′=ex-1+xex-1=(x+1)ex-1, 故曲线在点(1,1)处的切线斜率为(1+1)e1-1=2. 10.若y=f(x)=(2x+a)2,且f′(2)=20,则a=________. 考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数 答案 1 解析 令u=2x+a, 则yx′=yu′·ux′=(u2)′(2x+a)′=4(2x+a), 则f′(2)=4(2×2+a)=20,∴a=1. 11.若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是________. 考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 (-ln 2,2) 解析 设P(x0,), ==-2,得x0=-ln 2, ∴P(-ln 2,2). 12.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为________. 考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 2 解析 设切点坐标是(x0,x0+1), 依题意有 由此得x0=-1,a=2. 三、解答题 13.曲线y=e2xcos 3x在点(0,1)处的切线与直线l平行,且与l的距离为,求直线l的方程. 考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数的综合应用 解 由y′=(e2xcos 3x)′ =(e2x)′cos 3x+e2x(cos 3x)′ =2e2xcos 3x+e2x(-3sin 3x) =e2x(2cos 3x-3sin 3x), 得=2. 则切线方程为y-1=2(x-0), 即2x-y+1=0. 若直线l与切线平行,可设直线l的方程为 2x-y+c=0, 两平行线间的距离d==,得c=6或c=-4. 故直线l的方程为2x-y+6=0或2x-y-4=0. 四、探究与拓展 14.已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是________. 考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 2x-y=0 解析 设x>0,则-x<0,f(-x)=ex-1+x. 因为f(x)为偶函数,所以f(x)=ex-1+x,f′(x)=ex-1+1,f′(1)=2,即所求的切线方程为y-2=2(x-1), 即2x-y=0. 15.求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线l:2x-y+3=0的最短距离. 考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数的综合应用 解 作出直线l:2x-y+3=0和曲线y=ln(2x-1)的图象(图略)可知它们无公共点,所以平移直线l,当l与曲线相切时,切点到直线l的距离就是曲线上的点到直线l的最短距离,y′=(2x-1)′=. 设切点为P(x0,y0), 所以=2,所以x0=1, 所以y0=ln(2

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