标签: 全国通用版2018-2019版高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.2函数的极值与导数一学案新人教A版选修2   全国   通用版   2018   2019   高中数学   第一章   导数   及其   应用  
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doc 1.3.2 函数的极值与导数(一) 学习目标 1.了解函数极值的概念,会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件. 知识点一 函数的极值点和极值 思考 观察函数y=f(x)的图象,指出其极大值点和极小值点及极值. 答案 极大值点为e,g,i,极大值为f(e),f(g),f(i);极小值点为d,f,h,极小值为f(d),f(f),f(h). 梳理 (1)极小值点与极小值 若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,就把点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值 若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f′(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,就把点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极大值点、极小值点统称为极值点;极大值、极小值统称为极值. 知识点二 函数极值的求法与步骤 (1)求函数y=f(x)的极值的方法 解方程f′(x)=0,当f′(x0)=0时, ①如果在x0附近的左侧函数单调递增,即f′(x)>0,在x0的右侧函数单调递减,即f′(x)<0,那么f(x0)是极大值; ②如果在x0附近的左侧函数单调递减,即f′(x)<0,在x0的右侧函数单调递增,即f′(x)>0,那么f(x0)是极小值. (2)求可导函数f(x)的极值的步骤 ①确定函数的定义区间,求导数f′(x); ②求方程f′(x)=0的根; ③列表; ④利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表,根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值. 1.导数为0的点一定是极值点.( × ) 2.函数的极大值一定大于极小值.( × ) 3.函数y=f(x)一定有极大值和极小值.( × ) 4.极值点处的导数一定为0.( × ) 类型一 求函数的极值点和极值 例1 求下列函数的极值. (1)f(x)=-2;(2)f(x)=. 考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 不含参数的函数求极值问题 解 (1)函数f(x)的定义域为R. f′(x)==-. 令f′(x)=0,得x=-1或x=1. 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞) f′(x) - 0 + 0 - f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 由上表可以看出,当x=-1时,函数有极小值,且极小值为f(-1)=-3; 当x=1时,函数有极大值,且极大值为f(1)=-1. (2)函数f(x)=的定义域为(0,+∞), 且f′(x)=. 令f′(x)=0,解得x=e. 当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表: x (0,e) e (e,+∞) f′(x) + 0 - f(x) ↗ 极大值 ↘ 因此,x=e是函数的极大值点,极大值为f(e)=,没有极小值. 反思与感悟 函数极值和极值点的求解步骤 (1)确定函数的定义域. (2)求方程f′(x)=0的根. (3)用方程f′(x)=0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并列成表格. (4)由f′(x)在方程f′(x)=0的根左右的符号,来判断f(x)在这个根处取极值的情况. 特别提醒:当实数根较多时,要充分利用表格,使极值点的确定一目了然. 跟踪训练1 求下列函数的极值点和极值. (1)f(x)=x3-x2-3x+3; (2)f(x)=x2e-x. 考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 不含参数的函数求极值问题 解 (1)f′(x)=x2-2x-3. 令f′(x)=0,得x1=-1,x2=3, 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 由上表可以看出,当x=-1时,函数有极大值,且极大值f(-1)=,当x=3时,函数有极小值,且极小值f(3)=-6. (2)函数f(x)的定义域为R. f′(x)=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x. 令f′(x)=0,得x=0或x=2. 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞) f′(x) - 0 + 0 - f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 由上表可以看出,当x=0时,函数有极小值,且极小值为f(0)=0. 当x=2时,函数有极大值,且极大值为f(2)=4e-2. 例2 已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),当实数a≠时,求函数f(x)的单调区间与极值. 考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 含参数求极值问题 解 f′(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex. 令f′(x)=0,解得x=-2a或x=a-2, 由a≠知-2a≠a-2. 分以下两种情况讨论: ①若a>,则-2a<a-2. 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-2a) -2a (-2a,a-2) a-2 (a-2,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)上是增函数,在(-2a,a-2)上是减函数,函数f(x)在x=-2a处取得极大值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a,函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2. ②若a<,则-2a>a-2. 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,a-2) a-2 (a-2,-2a) -2a (-2a,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以f(x)在(-∞,a-2),(-2a,+∞)上是增函数,在(a-2,-2a)上是减函数,函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2,函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a. 反思与感悟 讨论参数应从f′(x)=0的两根x1,x2相等与否入手进行. 跟踪训练2 已知函数f(x)=x-aln x(a∈R). (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程; (2)求函数f(x)的极值. 考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 含参数求极值问题 解 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-. (1)当a=2时,f(x)=x-2ln x,f′(x)=1-(x>0), 因而f(1)=1,f′(1)=-1. 所以曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为 y-1=-(x-1),即x+y-2=0. (2)由f′(x)=1-=,x>0,知 ①当a≤0时,f′(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值; ②当a>0时,由f′(x)=0,解得x=a. 又当x∈(0,a)时,f′(x)<0, 当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0, 从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值. 综上,当a≤0时,函数f(x)无极值; 当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值. 类型二 利用函数的极值求参数 例3 (1)已知函数f(x)的导数f′(x)=a(x+1)(x-a),若f(x)在x=a处取到极大值,则a的取值范围是(  ) A.(-∞,-1) B.(0,+∞) C.(0,1) D.(-1,0) (2)已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1时有极值0,则a=________,b=________. 考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值点求参数 答案 (1)D (2)2 9 解析 (1)若a<-1,因为f′(x)=a(x+1)(x-a), 所以f(x)在(-∞,a)上单调递减,在(a,-1)上单调递增, 所以f(x)在x=a处取得极小值,与题意不符; 若-1<a<0,则f(x)在(-1,a)上单调递增,在(a,+∞)上单调递减,从而在x=a处取得极大值. 若a>0,则f(x)在(-1,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,与题意不符,故选D. (2)因为f(x)在x=-1时有极值0,且f′(x)=3x2+6ax+b, 所以即 解得或 当a=1,b=3时,f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0, 所以f(x)在R上为增函数,无极值,故舍去. 当a=2,b=9时,f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3). 当x∈(-3,-1)时,f(x)为减函数, 当x∈(-1,+∞)时,f(x)为增函数, 所以f(x)在x=-1处取得极小值,因此a=2,b=9. 反思与感悟 已知函数的极值求参数时应注意两点 (1)待定系数法:常根据极值点处导数为0和极值两个条件列出方程组,用待定系数法求解. (2)验证:因为导数值为0不一定此点就是极值点,故利用上述方程组解出的解必须验证. 跟踪训练3 设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点. (1)试确定常数a和b的值; (2)判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由. 考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值点求参数 解 (1)∵f(x)=aln x+bx2+x, ∴f′(x)=+2bx+1, ∴f′(1)=f′(2)=0,∴a+2b+1=0且+4b+1=0, 解得a=-,b=-. (2)由(1)可知f(x)=-ln x-x2+x, 且定义域是(0,+∞), f′(x)=-x-1-x+1=-. 当x∈(0,1)时,f′(x)<0;当x∈(1,2)时,f′(x)>0; 当x∈(2,+∞)时,f′(x)<0. 故x=1是函数f(x)的极小值点,x=2是函数f(x)的极大值点. 1.函数f(x)的定义域为R,它的导函数y=f′(x)的部分图象如图所示,则下面结论错误的是(  ) A.在(1,2)上函数f(x)为增函数 B.在(3,4)上函数f(x)为减函数 C.在(1,3)上函数f(x)有极大值 D.x=3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点 考点 函数极值的综合应用 题点 函数极值在函数图象上的应用 答案 D 解析 根据导函数图象知,x∈(1,2)时,f′(x)>0,x∈(2,4)时,f′(x)<0,x∈(4,5)时,f′(x)>0.∴f(x)在(1,2),(4,5)上为增函数,在(2,4)上为减函数,x=2是f(x)在[1,5]上的极大值点,x=4是极小值点.故选D. 2.设函数f(x)=+ln x,则(  ) A.x=为f(x)的极大值点 B.x=为f(x)的极小值点 C.x=2为f(x)的极大值点 D.x=2为f(x)的极小值点 考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 不含参数的函数求极值问题 答案 D 解析 函数f(x)=+ln x的定义域为(0,+∞). f′(x)=-, 令f′(x)=0,即-=0得,x=2, 当x∈(0,2)时,f′(x)<0,当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0. 因为x=2为f(x)的极小值点,故选D. 3.函数f(x)=ax-1-ln x(a≤0)在定义域内的极值点的个数为________. 考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 判断极值点的个数 答案 0 解析 因为x>0,f′(x)=a-=, 所以当a≤0时,f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立, 所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减, 所以f(x)在(0,+∞)上没有极值点. 4.已知曲线f(x)=x3+ax2+bx+1在点(1,f(1))处的切线斜率为3,且x=是y=f(x)的极值点,则a+b=________. 考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值(点)求参数 答案 -2 解析 f′(x)=3x2+2ax+b, 由题意知即 解得则a+b=-2. 5.已知函数f(x)=ax2+bln x在x=1处有极值. (1)求a,b的值; (2)判断f(x)的单调区间,并求极值. 考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值(点)求参数 解 (1)f′(x)=2ax+, 由题意得 即 ∴a=,b=-1. (2)由(1)得, f′(x)=x-==. 又f(x)的定义域为(0,+∞), 令f′(x)=0,解得x=1. 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (0,1) 1 (1,+∞) f′(x) - 0 + f(x) ↘ 极小值 ↗ ∴f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞). f(x)极小值=f(1)=. 1.求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域; (2)求导数f′(x); (3)解方程f′(x)=0得方程的根; (4)利用方程f′(x)=0的根将定义域分成若干个小开区间,列表,判定导函数在各个小开区间的符号; (5)确定函数的极值,如果f′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正),则f(x)在x0处取得极大(小)值. 2.已知函数极值,确定函数解析式中的参数时,注意两点 (1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解; (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证充分性

全国通用版2018-2019版高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.2函数的极值与导数一学案新人教A版选修2 .doc

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