标签: 全国通用版2018-2019版高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理学案新人教A版选修2   全国   通用版   2018   2019   高中数学   第二   推理   证明   2.1   合情   演绎   理学  
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doc 2.1.1 合情推理 学习目标 1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用. 知识点一 归纳推理 思考 (1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电,猜想:一切金属都能导电. (2)统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估计总体. 以上属于什么推理? 答案 属于归纳推理. 梳理 (1)定义:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). (2)特征:由部分到整体,由个别到一般的推理. 知识点二 类比推理 思考 科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征:(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星;(2)有大气层,在一年中也有季节更替;(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,等等.由此,科学家猜想:火星上也可能有生命存在.他们使用了什么样的推理? 答案 类比推理. 梳理 (1)定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理. (2)特征:由特殊到特殊的推理. 知识点三 合情推理 思考 归纳推理与类比推理有何区别与联系? 答案 区别:归纳推理是由特殊到一般的推理;而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理. 联系:在前提为真时,归纳推理与类比推理的结论都可真可假. 梳理 (1)定义:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.通俗地说,合情推理就是合乎情理的推理. (2)推理的过程 ―→―→―→ 1.类比推理得到的结论可作为定理应用.( × ) 2.由个别到一般的推理为归纳推理.( √ ) 3.在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( × ) 类型一 归纳推理 例1 (1)观察下列等式: 1+1=2×1, (2+1)(2+2)=22×1×3, (3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5, … 照此规律,第n个等式可为_____________________________________________________. (2)已知f(x)=,设f1(x)=f(x),fn(x)=fn-1(fn-1(x))(n>1,且n∈N*),则f3(x)的表达式为________,猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为________. 考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 (1)(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1) (2)  解析 (1)观察规律可知,左边为n项的积,最小项和最大项依次为(n+1),(n+n),右边为连续奇数之积乘以2n,则第n个等式为(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1). (2)∵f(x)=,∴f1(x)=. 又∵fn(x)=fn-1(fn-1(x)), ∴f2(x)=f1(f1(x))==, f3(x)=f2(f2(x))==, f4(x)=f3(f3(x))==, f5(x)=f4(f4(x))==, ∴根据前几项可以猜想fn(x)=. 引申探究  在本例(2)中,若把“fn(x)=fn-1(fn-1(x))”改为“fn(x)=f(fn-1(x))”,其他条件不变,试猜想fn(x) (n∈N*)的表达式. 解 ∵f(x)=,∴f1(x)=. 又∵fn(x)=f(fn-1(x)), ∴f2(x)=f(f1(x))==, f3(x)=f(f2(x))==, f4(x)=f(f3(x))==. 因此,可以猜想fn(x)=. 反思与感悟 (1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法 ①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律; ②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征; ③提炼出等式(或不等式)的综合特点; ④运用归纳推理得出一般结论. (2)数列中的归纳推理:在数列问题中,常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和. ①通过已知条件求出数列的前几项或前n项和; ②根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解; ③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式. 跟踪训练1 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=3,满足Sn=6-2an+1(n∈N*). (1)求a2,a3,a4的值; (2)猜想an的表达式. 考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在数列中的应用 解 (1)因为a1=3,且Sn=6-2an+1(n∈N*), 所以S1=6-2a2=a1=3,解得a2=, 又S2=6-2a3=a1+a2=3+,解得a3=, 又S3=6-2a4=a1+a2+a3=3++,解得a4=. (2)由(1)知a1=3=,a2==,a3==,a4==,…,猜想an=(n∈N*). 例2 有两种花色的正六边形地面砖,按下图的规律拼成若干个图案,则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是(  ) A.26 B.31 C.32 D.36 考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案 B 解析 有菱形纹的正六边形的个数如下表: 图案 1 2 3 … 个数 6 11 16 … 由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项,以5为公差的等差数列,所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6+5×(6-1)=31.故选B. 反思与感悟 归纳推理在图形中的应用策略 跟踪训练2 用火柴棒摆“金鱼”,如图所示: 按照上面的规律,第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为(  ) A.6n-2 B.8n-2 C.6n+2 D.8n+2 考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案 C 解析 归纳“金鱼”图形的构成规律知,后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分,故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8,公差是6的等差数列,所以第n个“金鱼”图需要的火柴棒的根数为an=8+(n-1)×6=6n+2. 类型二 类比推理 例3 设等差数列{an}的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列,类比以上结论有:设等比数列{bn}的前n项积为Tn,则T4,________,________,成等比数列. 考点 类比推理的应用 题点 等差数列与等比数列之间的类比 答案   解析 由于等差数列与等比数列具有类比性,且等差数列与和差有关,等比数列与积商有关,因此当等差数列依次每4项的和仍成等差数列时,类比等比数列为依次每4项的积成等比数列.下面证明该结论的正确性: 设等比数列{bn}的公比为q,首项为b1, 则T4=bq6,T8=bq1+2+…+7=bq28, T12=bq1+2+…+11=bq66, T16=bq1+2+…+15=bq120, ∴=bq22,=bq38, =bq54, 即2=·T4,2=·, 故T4,,,成等比数列. 反思与感悟 已知等差数列与等比数列有类似的性质,在类比过程中也有一些规律,如下表所示的部分结论(其中d,q分别是公差和公比): 等差数列 等比数列 定义 an-an-1=d(n≥2) an÷an-1=q(n≥2) 通项公式 an=a1+(n-1)d an=a1qn-1 性质 若m+n=p+q,则am+an=ap+aq 若m+n=p+q,则am·an=ap·aq 跟踪训练3 若数列{an}(n∈N*)是等差数列,则有数列bn=(n∈N*)也是等差数列;类比上述性质,相应地:若数列{cn}是等比数列,且cn>0,则有数列dn=________(n∈N*)也是等比数列. 考点 类比推理的应用 题点 等差数列与等比数列之间的类比 答案  解析 数列{an}(n∈N*)是等差数列,则有数列bn=(n∈N*)也是等差数列.类比猜想:若数列{cn}是各项均为正数的等比数列,则当dn=时,数列{dn}也是等比数列. 例4 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.设a,b,c分别表示三条边的长度,由勾股定理,得c2=a2+b2.类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想. 考点 类比推理的应用 题点 平面几何与立体几何之间的类比 解 如题图,在Rt△ABC中,∠C=90°.设a,b,c分别表示3条边的长度,由勾股定理,得c2=a2+b2. 类似地,如图所示,在四面体P-DEF中,∠PDF=∠PDE=∠EDF=90°.设S1,S2,S3和S分别表示△PDF,△PDE,△EDF和△PEF的面积,相对于直角三角形的两条直角边a,b和1条斜边c,图中的四面体有3个“直角面”S1,S2,S3和1个“斜面”S.于是类比勾股定理的结构,我们猜想S2=S+S+S成立. 反思与感悟 (1)类比推理的一般步骤 (2)中学阶段常见的类比知识点:等差数列与等比数列,向量与实数,空间与平面,圆与球等等,比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下 平面图形 空间图形 点 直线 直线 平面 边长 面积 面积 体积 三角形 四面体 线线角 面面角 跟踪训练4 在长方形ABCD中,对角线AC与两邻边所成的角分别为α,β,cos2α+cos2β=1,则在立体几何中,给出类比猜想并证明. 考点 类比推理的应用 题点 平面几何与立体几何之间的类比 解 在长方形ABCD中, cos2α+cos2β=2+2===1. 于是类比到长方体中,猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α,β,γ, 则cos2α+cos2β+cos2γ=1. 证明如下: cos2α+cos2β+cos2γ=2+2+2 ===1. 1.已知扇形的弧长为l,半径为r,类比三角形的面积公式S=,可推知扇形面积公式S扇等于(  ) A. B. C. D.不可类比 考点 类比推理的应用 题点 平面曲线的类比 答案 C 解析 扇形的弧类比三角形的底边,扇形的半径类比三角形的高,则S扇=. 2.如图为一串白黑相间排列的珠子,按这种规律往下排起来,那么第36颗珠子的颜色为(  ) A.白色 B.黑色 C.白色可能性大 D.黑色可能性大 考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案 A 解析 由题图知,三白二黑周而复始相继排列,根据36÷5=7余1, 可得第36颗应与第1颗珠子的颜色相同,即白色. 3.观察下列各式: a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10等于(  ) A.28 B.76 C.123 D.199 考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 C 解析 利用归纳法:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=3+1=4,a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123,规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和. 4.在平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,类似地,在空间上,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为________. 考点 类比推理的应用 题点 平面几何与立体几何之间的类比 答案 1∶8 解析 设两个正四面体的体积分别为V1,V2, 则V1∶V2=S1h1∶S2h2=S1h1∶S2h2=1∶8. 5.按照图1、图2、图3的规律,第10个图中圆点的个数为________. 考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案 40 解析 图1中的点数为4=1×4, 图2中的点数为8=2×4, 图3中的点数为12=3×4,…, 所以图10中的点数为10×4=40. 1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中,在得到一个新结论前,合情推理能帮助猜测和发现结论,在证明一个数学结论之前,合情推理常常能为证明提供思路与方向. 2.合情推理的过程概括为 ―→―→―→ 一、选择题 1.下面使用类比推理,得出的结论正确的是(  ) A.若“a·3=b·3,则a=b”类比出“若a·0=b·0,则a=b” B.“若(a+b)c=ac+bc”类比出“(a·b)c=ac·bc” C.“若(a+b)c=ac+bc”类比出“=+(c≠0)” D.“(ab)n=anbn”类比出“(a+b)n=an+bn” 考点 类比推理的应用 题点 类比推理的方法、形式和结论 答案 C 解析 显然A,B,D不正确,只有C正确. 2.观察图形规律,在其右下角的空格内画上合适的图形为(  ) A. B.△ C. D.○ 考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案 A 解析 观察可发现规律:①每行、每列中,方、圆、三角三种形状均各出现一次,②每行、每列有两阴影一空白,即得结果. 3.根据给出的数塔猜测123 456×9+7等于(  ) 1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1 111 1 234×9+5=11 111 12 345×9+6=111 111 … A.1 111 110 B.1 111 111 C.1 111 112 D.1 111 113 考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 B 解析 由数塔猜测应是各位都是1的七位数, 即1 111 111. 4.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可推出下列空间结论: ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行; ②垂直于同一个平面的两条直线互相平行; ③垂直于同一条直线的两个平面互相平行; ④垂直于同一平面的两

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