标签: 全国通用版2018-2019版高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法学案新人教A版选修2   全国   通用版   2018   2019   高中数学   第二   推理   证明   2.2   直接   间接   反证  
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doc 2.2.2 反证法 学习目标 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程,会用反证法证明数学问题. 知识点 反证法 王戎小时候,爱和小朋友在路上玩耍.一天,他们发现路边的一棵树上结满了李子,小朋友一哄而上,去摘李子,独有王戎没动,等到小朋友们摘了李子一尝,原来是苦的!他们都问王戎:“你怎么知道李子是苦的呢?”王戎说:“假如李子不苦的话,早被路人摘光了,而这树上却结满了李子,所以李子一定是苦的.” 思考 本故事中王戎运用了什么论证思想? 答案 运用了反证法思想. 梳理 (1)定义:假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法. (2)反证法常见的矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾等. 1.反证法属于间接证明问题的方法.( √ ) 2.反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理.( × ) 3.反证法的实质是否定结论导出矛盾.( √ ) 类型一 用反证法证明否定性命题 例1 已知a,b,c,d∈R,且ad-bc=1,求证:a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1. 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用 证明 假设a2+b2+c2+d2+ab+cd=1. 因为ad-bc=1, 所以a2+b2+c2+d2+ab+cd+bc-ad=0, 即(a+b)2+(c+d)2+(a-d)2+(b+c)2=0. 所以a+b=0,c+d=0,a-d=0,b+c=0, 则a=b=c=d=0, 这与已知条件ad-bc=1矛盾,故假设不成立. 所以a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1. 反思与感悟 (1)用反证法证明否定性命题的适用类型: 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题,此类问题的正面比较模糊,而反面比较具体,适合使用反证法. (2)用反证法证明数学命题的步骤 跟踪训练1 已知三个正数a,b,c成等比数列但不成等差数列,求证:,,不成等差数列. 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用 证明 假设,,成等差数列, 则2=+, ∴4b=a+c+2.① ∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac,② 由②得b=,代入①式, 得a+c-2=(-)2=0, ∴a=c,从而a=b=c. 这与已知a,b,c不成等差数列相矛盾, ∴假设不成立.故,,不成等差数列. 类型二 用反证法证明“至多、至少”类问题 例2 a,b,c∈(0,2),求证:(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a不能都大于1. 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用 证明 假设(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a都大于1. 因为a,b,c∈(0,2), 所以2-a>0,2-b>0,2-c>0. 所以≥>1. 同理≥>1, ≥>1. 三式相加,得 ++>3, 即3>3,矛盾. 所以(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a不能都大于1. 引申探究  已知a,b,c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于. 证明 假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于. ∵a,b,c都是小于1的正数, ∴1-a,1-b,1-c都是正数. ∴≥>=. 同理,>,>. 三式相加,得++>, 即>,显然不成立. ∴(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于. 反思与感悟 应用反证法常见的“结论词”与“反设词” 当命题中出现“至多”“至少”等词语时,直接证明不易入手且讨论较复杂.这时,可用反证法证明,证明时常见的“结论词”与“反设词”如: 结论词 反设词 结论词 反设词 至少有一个 一个也没有 对所有x成立 存在某个x0不成立 至多有一个 至少有两个 对任意x不成立 存在某个x0成立 至少有n个 至多有n-1个 p或q 綈p且綈q 至多有n个 至少有n+1个 p且q 綈p或綈q 跟踪训练2 已知a,b,c是互不相等的实数,求证:由y1=ax2+2bx+c,y2=bx2+2cx+a和y3=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点. 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用 证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点, 由y1=ax2+2bx+c,y2=bx2+2cx+a,y3=cx2+2ax+b, 得Δ1=4b2-4ac≤0,Δ2=4c2-4ab≤0, 且Δ3=4a2-4bc≤0. 同向不等式求和,得 4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc≤0, 所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac≤0, 所以(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≤0,所以a=b=c. 这与题设a,b,c互不相等矛盾, 因此假设不成立,从而命题得证. 类型三 用反证法证明唯一性命题 例3 求证:方程2x=3有且只有一个根. 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用 证明 ∵2x=3,∴x=log23. 这说明方程2x=3有根. 下面用反证法证明方程2x=3的根是唯一的. 假设方程2x=3至少有两个根b1,b2(b1≠b2), 则=3, =3,两式相除得=1, ∴b1-b2=0,则b1=b2,这与b1≠b2矛盾. ∴假设不成立,从而原命题得证. 反思与感悟 用反证法证明唯一性命题的一般思路:证明“有且只有一个”的问题,需要证明两个命题,即存在性和唯一性.当证明结论是以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时,可先证“存在性”,由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾,因此可用反证法证其唯一性. 跟踪训练3 若函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,求证:方程f(x)=0在区间[a,b]上至多有一个实根. 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用 证明 假设方程f(x)=0在区间[a,b]上至少有两个实根,设α,β为其中的两个实根.因为α≠β ,不妨设α<β,又因为函数f(x)在[a,b]上是增函数,所以f(α)<f(β).这与假设f(α)=0=f(β)矛盾,所以方程f(x)=0在区间[a,b]上至多有一个实根. 1.证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”,第一步应假设(  ) A.三角形中至少有一个直角或钝角 B.三角形中至少有两个直角或钝角 C.三角形中没有直角或钝角 D.三角形中三个角都是直角或钝角 考点 反证法及应用 题点 如何正确进行反设 答案 B 2.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么直线c与b的位置关系为(  ) A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 答案 C 解析 假设c∥b,而由c∥a,可得a∥b,这与a,b异面矛盾,故c与b不可能是平行直线. 3.用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60°”,应先假设这个三角形中(  ) A.有一个内角小于60° B.每一个内角都小于60° C.有一个内角大于60° D.每一个内角都大于60° 考点 反证法及应用 题点 如何正确进行反设 答案 B 4.用反证法证明“在同一平面内,若a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,应假设(  ) A.a不垂直于c B.a,b都不垂直于c C.a⊥b D.a与b相交 考点 反证法及应用 题点 如何正确进行反设 答案 D 5.用反证法证明:关于x的方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0,当a≤-或a≥-1时,至少有一个方程有实数根. 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用 证明 假设三个方程都没有实数根,则由判别式都小于零,得 则解得-<a<-1, 与a≤-或a≥-1矛盾,故原命题成立. 用反证法证题要把握三点 (1)必须先否定结论,对于结论的反面出现的多种可能,要逐一论证,缺少任何一种可能,证明都是不全面的; (2)反证法必须从否定结论进行推理,且必须根据这一条件进行论证,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行论证,就不是反证法; (3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以与已知矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾,但推导出的矛盾必须是明显的. 一、选择题 1.反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是 ①与已知条件矛盾;②与假设矛盾;③与定义、公理、定理矛盾;④与事实矛盾. 其中正确的为(  ) A.①② B.②③ C.③④ D.①②③④ 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用 答案 D 2.用反证法证明命题:“若直线AB,CD是异面直线,则直线AC,BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤: ①则A,B,C,D四点共面,所以AB,CD共面,这与AB,CD是异面直线矛盾; ②所以假设错误,即直线AC,BD也是异面直线; ③假设直线AC,BD是共面直线. 则正确的序号顺序为(  ) A.①②③ B.③①② C.①③② D.②③① 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用 答案 B 解析 根据反证法的三个基本步骤“反设—归谬—结论”可知顺序应为③①②. 3.否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,正确的反设为(  ) A.a,b,c都是偶数 B.a,b,c都是奇数 C.a,b,c中至少有两个偶数 D.a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数 考点 反证法及应用 题点 如何正确进行反设 答案 D 解析 自然数a,b,c的奇偶性共有四种情形:3个都是奇数,1个偶数2个奇数,2个偶数1个奇数,3个都是偶数,所以否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,正确的反设为“a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数”. 4.有下列叙述: ①“a>b”的反面是“a<b”;②“x=y”的反面是“x>y或x<y”;③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”;④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”.其中正确的叙述有(  ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 考点 反证法及应用 题点 如何正确进行反设 答案 B 解析 ①错,应为a≤b;②对;③错,应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上;④错,应为三角形至少有2个钝角. 5.用反证法证明命题:“a,b∈N,ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应为(  ) A.a,b都能被5整除 B.a,b都不能被5整除 C.a,b不都能被5整除 D.a不能被5整除 考点 反证法及应用 题点 如何正确进行反设 答案 B 解析 “至少有一个”的否定是“一个也没有”,即“a,b都不能被5整除”. 6.①已知p3+q3=2,证明:p+q≤2.用反证法证明时,可假设p+q≥2; ②若a,b∈R,|a|+|b|<1,求证:方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1. 以下结论正确的是(  ) A.①与②的假设都错误 B.①的假设正确;②的假设错误 C.①与②的假设都正确 D.①的假设错误;②的假设正确 考点 反证法及应用 题点 如何正确进行反设 答案 D 解析 对于①,结论的否定是p+q>2,故①中的假设错误;对于②,其假设正确,故选D. 7.设a,b,c都是正数,则三个数a+,b+,c+(  ) A.都大于2 B.至少有一个大于2 C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用 答案 C 解析 假设a+<2,b+<2,c+<2, 则++<6. 又++ =++≥2+2+2=6, 这与假设得到的不等式相矛盾,从而假设不正确,所以这三个数至少有一个不小于2. 二、填空题 8.用反证法证明命题“若x2-(a+b)x+ab≠0,则x≠a且x≠b”时,应假设________. 考点 反证法及应用 题点 如何正确进行反设 答案 x=a或x=b 9.设a,b是两个实数,给出下列条件: ①a+b=1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2.其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是______.(填序号) 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用 答案 ③ 10.某珠宝店丢了一件珍贵珠宝,以下四人中只有一人说真话,只有一人偷了珠宝.甲:我没有偷;乙:丙是小偷;丙:丁是小偷;丁:我没有偷. 根据以上条件,可以判断偷珠宝的人是_______. 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用 答案 甲 解析 假如甲:我没有偷是真的,则乙:丙是小偷;丙:丁是小偷是假的;丁:我没有偷就是真的,与他们四人中有一人说真话矛盾. 假如甲:我没有偷是假的,则丁:我没有偷就是真的, 乙:丙是小偷,丙:丁是小偷是假的,成立. ∴可以判断偷珠宝的人是甲. 11.若下列两个方程x2+(a-2)x+a2=0,x2+ax-2a=0中至少有一个方程有实根,则实数a的取值范围是____________________. 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用 答案 (-∞,-8]∪[-2,+∞) 解析 若两方程均无实根, 则Δ1=(a-2)2-4a2=(3a-2)(-a-2)<0, ∴a<-2或a>. Δ2=a2+8a=a(a+8)<0, ∴-8<a<0,故-8<a<-2. 若两个方程至少有一个方程有实根, 则a≤-8或a≥-2. 三、解答题 12.若a,b,c均为实数,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+.求证a,b,c中至少有一个是大于0的. 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用 证明 假设a,b,c都不大于0, 则a≤0,b≤0,c≤0, ∴a+b+c≤0, 而a+b+c=++=(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+π=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3, ∴a+b+c>0.这与

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