标签: 全国通用版2018-2019高中数学第三章三角恒等变换3.1和角公式3.1.2两角和与差的正弦练习新人教B版必修4   全国   通用版   2018   2019   高中数学   第三   三角   恒等   变换   3.1   公式   正弦  
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doc 3.1.2 两角和与差的正弦 课时过关·能力提升 1.cos 23°sin 53°-sin 23°cos 53°等于(  )                  A. B.-32 C.- D.32 解析:原式=sin 53°cos 23°-cos 53°sin 23°=sin(53°-23°)=sin 30°=. 答案:A 2.如果α∈π2,π,且sin α=,那么sinα+π4-22cos α等于(  ) A.225 B.-225 C.425 D.-425 解析:sinα+π4-22cos α=sin αcosπ4+cos αsinπ4-22cos α=22sin α=22×45=225. 答案:A 3.函数f(x)=5sin x-12cos x(x∈R)的最小值是(  ) A.-5 B.-12 C.-13 D.0 解析:由于f(x)=5sin x-12cos x=52+122sin(x+φ)=13sin(x+φ),其中,sin φ=-1213,cos φ=513.由于x∈R,所以x+φ∈R,故f(x)的最小值是-13. 答案:C 4.设a=2sin 24°,b=sin 85°-3cos 85°,c=2(sin 47°·sin 66°-sin 24°sin 43°),则(  ) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c 解析:b=sin 85°-3cos 85°=2sin(85°-60°)=2sin 25°, c=2(sin 47°sin 66°-sin 24°sin 43°) =2(sin 47°cos 24°-cos 47°sin 24°)= 2sin(47°-24°)=2sin 23°, 而a=2sin 24°,且sin 23°<sin 24°<sin 25°, 所以必有b>a>c. 答案:D 5.在△ABC中,若sin B=2sin Acos C,则△ABC一定是 (  ) A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 解析:由于A+B+C=π,所以B=π-(A+C). 于是sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C, 因此sin Acos C+cos Asin C=2sin Acos C, 于是sin Acos C-cos Asin C=0,即sin(A-C)=0, 必有A=C,△ABC是等腰三角形. 答案:B 6.已知向量a=(cos x,sin x),b=(2,2),a·b=,则cosx-π4等于(  ) A.-35 B.- C. D. 解析:由a·b=,得2cos x+2sin x=, ∴22cos x+22sin x=45,即cos x-π4=45,故选D. 答案:D 7.若α,β都为锐角,则sin(α+β)与sin α+sin β的值满足 (  ) A.sin(α+β)> sin α+sin β B.sin(α+β)<sin α+sin β C.sin(α+β)=sin α+sin β D.sin(α+β)≥sin α+sin β 解析:将sin(α+β)利用两角和的正弦公式展开,注意锐角条件,则有sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β<sin α+sin β. 答案:B 8.已知tan(α+β)=2,则sinαcosβ+cosαsinβ+cos(α+β)sin(α+β)-cosαcosβ+sinαsinβ=    .  解析:原式=sin(α+β)+cos(α+β)sin(α+β)-cos(α+β)=tan(α+β)+1tan(α+β)-1=2+12-1=3. 答案:3 9.要使sin α-3cos α=2m+1有意义,则m的取值范围是    .  解析:由于sin α-3cos α=212sinα-32cosα=2sinα-π3, 因此-2≤2m+1≤2,即-32≤m≤12. 答案:-32,12 ★10.已知cosπ4-α=35,sin3π4+β=513,其中π4<α<3π4,0<β<π4,求sin(α+β)的值. 解:∵α+β+π2=3π4+β-π4-α, ∴sin(α+β)=-cosπ2+(α+β) =-cos 3π4+β-π4-α =-cos3π4+βcosπ4-α-sin3π4+βsinπ4-α. ∵π4<α<3π4,0<β<π4, ∴-π2<π4-α<0,3π4<3π4+β<π. ∴sinπ4-α=-45,cos3π4+β=-1213. ∴sin(α+β)=--1213×35-513×-45=5665. ★11.已知函数f(x)=-1+2sin 2x+mcos 2x的图象经过点A(0,1),求此函数在0,π2上的最值. 解:∵点A(0,1)在函数f(x)的图象上, ∴1=-1+2sin 0+mcos 0,解得m=2. ∴f(x)=-1+2sin 2x+2cos 2x=2(sin 2x+cos 2x)-1=22sin2x+π4-1. ∵0≤x≤π2,∴π4≤2x+π4≤5π4. ∴-22≤sin2x+π4≤1. ∴-3≤f(x)≤22-1. ∴函数f(x)的最大值为22-1,最小值为-3.

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