标签: 天津市七校2019届高三数学上学期期中联考试题文(含解析)  
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doc 2018~2019学年度第一学期期中七校联考 高三数学(文科) 温馨提示:使用答题卡的区,学生作答时请将答案写在答题卡上;不使用答题卡的区,学生作答时请将答案写在试卷上. 本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并在规定位置粘帖考试用条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷(选择题,共40分) 注意事项: 1.选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 2.本卷共8小题,每小题5分,共40分. 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.经过点与直线平行的直线方程是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设直线的方程为,代点(0,1)到直线方程得-1+a=0即得a的值,即得直线的方程. 【详解】设直线的方程为,代点(0,1)到直线方程得-1+a=0,所以a=1. 故直线方程为2x-y+1=0.故答案为:B 【点睛】本题主要考查直线方程的求法,考查平行直线的性质,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 2.设变量x, y满足约束条件则目标函数z = y-2x的最小值为( ) A. -7 B. -4 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 画出原不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分, 由题意知,当目标函数表示的直线经过点A(5,3)时,取得最小值,所以的最小值为,故选A. 【考点定位】本小题考查线性规划的基础知识,难度不大,线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现,是高考的重点内容之一,几乎年年必考. 3.若,则下列结论正确的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 对每一个选项逐一判断得解. 【详解】因为<<0,所以b<a<0, 对于选项A,.所以选项A错误. 对于选项B,所以选项B错误. 对于选项C,∵<<0,∴1>>0,∴>2,所以选项C正确. 对于选项D,=-a-b+a+b=0,所以,所以选项D错误. 故答案为:C 【点睛】本题考查了基本不等式,考查比较法比较实数的大小,意在考查学生对这些知识的掌握水平 和分析推理能力. 4.已知m、n是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,则下列命题正确的是 A. 若,则∥ B. 若∥,,则 C. 若, ,则 D. 若,, ,则 【答案】D 【解析】 【分析】 若α⊥γ,α⊥β,则γ∥β或γ与β相交;若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β或α与β相交;若 m∥n,m∥α,则n∥α或n⊂α;若n⊥α,n⊥β,则由平面平行的判定定理知α∥β. 【详解】由m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,知: 若α⊥γ,α⊥β,则γ∥β或γ与β相交,故A不正确; 若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β或α与β相交,故B不正确; 若m∥n,m∥α,则n∥α或n⊂α,故C不正确; 若n⊥α,n⊥β,则由平面平行的判定定理知α∥β,故D正确. 故答案为:D 【点睛】本题考查平面与平面、直线与平面的位置关系的判断,是基础题.解题时要注意空间思维能 力的培养. 5.已知数列是等比数列, ,则当时, A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据已知求出首项和公比,再利用等比数列的求和公式求解. 【详解】由题得 所以数列是一个以4为首项,以4为公比的等比数列, 所以 . 故答案为:D 【点睛】本题主要考查等比数列的通项,考查等比数列的前n项和,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. 6.两圆和相交于两点,则线段的长为 A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求出圆心和半径以及公共弦所在的直线方程,再利用点到直线的距离公式,弦长公式,求得 公共弦的长. 【详解】∵两圆为x2+y2+4x﹣4y=0①,x2+y2+2x﹣8=0,② ①﹣②可得:x﹣2y+4=0. ∴两圆的公共弦所在直线的方程是x﹣2y+4=0, ∵x2+y2+4x﹣4y=0的圆心坐标为(﹣2,2),半径为2, ∴圆心到公共弦的距离为d=, ∴公共弦长=. 故答案为:C 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系,考查两圆的公共弦长的计算,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. 7.已知数列的各项均为正数,则数列的前15项和为 A. 3 B. 4 C. 127 D. 128 【答案】A 【解析】 【分析】 由题得是一个等差数列,求出,再求出,再利用裂项相消法求和. 【详解】由题得是一个以1为首项,以1为公差的等差数列,所以, 所以, 所以数列的前15项和为. 故答案为:A 【点睛】本题主要考查数列通项的求法,考查等差数列的通项和裂项相消法求和,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 8.棱长为1的正方体中,为线段上的动点,则下列结论正确的有 ①三棱锥的体积为定值; ②;③的最大值为; ④的最小值为2 A. ①② B. ①②③ C. ③④ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】 ①由A1B∥平面DCC1D1,可得线段A1B上的点M到平面DCC1D1的距离都为1,又△DCC1的面积为定值,即可得出三棱锥M﹣DCC1的体积为定值. ②由A1D1⊥DC1,A1B⊥DC1,可得DC1⊥面A1BCD1,即可判断出正误. ③当0<A1P< 时,利用余弦定理即可判断出∠APD1为钝角. ④将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形,线段AD1即为AP+PD1的最小值,再利用余弦定理即可判断出正误. 【详解】①A1B∥平面DCC1D1,∴线段A1B上的点M到平面DCC1D1的距离都为1,又△DCC1的面积为定值,因此三棱锥M﹣DCC1的体积V==为定值,故①正确. ②A1D1⊥DC1,A1B⊥DC1,∴DC1⊥面A1BCD1,D1P⊂面A1BCD1,∴DC1⊥D1P,故②正确. ③当0<A1P< 时,在△AD1M中,利用余弦定理可得∠APD1为钝角,∴故③不正确; ④将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形,线段AD1即为AP+PD1的最小值, 在△D1A1A中,∠D1A1A=135°,利用余弦定理解三角形得 AD1==<2,故④不正确. 因此只有①②正确. 故答案为:A. 【点睛】本题考查了空间位置关系、线面平行于垂直的判断与性质定理、空间角与空间距离,考查了 数形结合方法、推理能力与计算能力,属于中档题. 第Ⅱ卷(非选择题,共110分) 注意事项: 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共12小题,共110分. 二、填空题:本大题共有6小题,每小题5分,共30分. 9.已知两点,以线段为直径的圆的方程为________________. 【答案】 【解析】 【分析】 先求出圆心的坐标和半径,即得圆的方程. 【详解】由题得圆心的坐标为(1,0),|MN|= 所以圆的半径为所以圆的方程为. 故答案为: 【点睛】本题主要考查圆的方程的求法,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 10.在等差数列中,,则____________. 【答案】9 【解析】 【分析】 先由求出,再求出公差d,最后求. 【详解】因为, 因为,所以d=2. 所以. 故答案为:9 【点睛】本题主要考查等差数列的通项,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. 11.一个几何体的正视图由2个全等的矩形组成,侧视图也是矩形,俯视图由两个全等的直角三角形组成,数据如图所示,则该几何体的体积为____________. 【答案】12 【解析】 【分析】 先找到三视图对应的几何体原图,再求几何体的体积. 【详解】由三视图可知原几何体如图所示(两个全等的三棱柱), 所以几何体的体积为. 故答案为:12 【点睛】本题主要考查三视图找几何体原图,考查几何体体积的计算,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 12.已知数列的前项和为,且,则____________. 【答案】99 【解析】 【分析】 先利用项和公式求出的通项,再代入化简求解. 【详解】令n=1,所以 由题得,,(n≥2) 两式相减得 所以数列是一个以1为首项,以3为公比的等比数列, 所以 故答案为:99 【点睛】本题主要考查数列通项的求法,考查对数运算,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 13.已知,的最小值为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】 先化简,再利用基本不等式求最小值. 【详解】由题得 . 当且仅当时取等. 故答案为: 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.解题的关键是常量代换. 14.过点的直线与曲线交于两点,则直线的斜率的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】 先画出方程对应的曲线,作出圆的切线AB,求出AB的斜率,求出AC的斜率,数形结合得到直线l的斜率的范围. 【详解】由题得,它表示单位圆的上半部分(包含两个端点),曲线如图所示, 由题得 设直线AB的斜率为k,则直线的方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0, 因为直线AB和圆相切,所以, 所以直线l的斜率范围为 故答案为: 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.解题的关键是求出AC和AB的斜率. 三、解答题:本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.已知等差数列的前项和为,等比数列的前项和为,. (Ⅰ)若,求的通项公式; (Ⅱ)若,求. 【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)26 【解析】 【分析】 (Ⅰ)先求得,再求的通项公式. (Ⅱ)由 解得,再求. 【详解】(Ⅰ)设的公差为,的公比为,则 解得(舍), ∴的通项公式为 . (Ⅱ) 解得 ∴. 【点睛】本题主要考查等差数列等比数列的通项的求法,考查等差数列等比数列的前n项和,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 16.如图,在三棱柱中,侧面为菱形,且平面. (Ⅰ)求证:; (Ⅱ)当点在的什么位置时,使得∥平面,并加以证明. 【答案】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ)见解析 【解析】 【分析】 (Ⅰ)先证明平面,再证明. (Ⅱ)当点是的中点时,有∥平面 先证明再证明平面. 【详解】(Ⅰ)证明:连结,∵为菱形 ∴ 由已知, ∴ ∵, ∴平面. 又∵平面, ∴ (Ⅱ)当点是的中点时,有∥平面 证明:设,连结 由已知可得四边形是平行四边形, ∴是的中点, ∵是的中点 ∴ 又平面,平面 ∴平面 【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明,意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理转化能力. 17.已知函数(为常数). (Ⅰ)当时,解不等式; (Ⅱ)若,当时,恒成立,求的取值范围. 【答案】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ) 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由题意得 ,再对b分类讨论得解. (Ⅱ)由题意不等式当时恒成立。当时,不等式对于恒成立, 当时,在时恒成立,再利用基本不等式求右边函数的最大值得解. 【详解】(Ⅰ)由题意得 当时,即时,不等式解集为 当时,即时,不等式解集为 当时,解集为 . (Ⅱ)由题意不等式当时恒成立。 当时,不等式对于恒成立 当时, 即在时恒成立 . 又 当且仅当时取等号 ∴ 综上,的取值范围是。 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法和恒成立问题,考查基本不等式求最值,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 18.已知圆的圆心在直线上,且过圆上一点的切线方程为. (Ⅰ)求圆的方程; (Ⅱ)设过点的直线与圆交于另一点,以为直径的圆过原点,求直线的方程. 【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由题意,过点的直径所在直线方程为 ,再联立求得圆心坐标为,再求得半径即得圆的方程. (Ⅱ)先求得直线方程为 ,由可得点坐标为 ,再利用两点式写出直线l的方程. 【详解】(Ⅰ)由题意,过点的直径所在直线方程为 解得, ∴圆心坐标为 半径 ∴圆的方程为 (Ⅱ) ∵以为直径的圆过原点,∴ 又 ∴ ∴直线方程为 由,可得点坐标为 ∴ 直线方程为 即直线的方程为 【点睛】本题主要考查直线和圆的方程的求法,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. 19.如图,在三棱锥中,,,侧面为等边三角形,侧棱,点为线段的中点. (Ⅰ)求证:平面平面; (Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ) 【解析】 【分析】 (Ⅰ)先证明面,即证平面平面. (Ⅱ)设中点为,连结项证明是直线与平面所成的角,再求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】解:(Ⅰ) 设中点为,连结, ∵为等边三角形,∴ 又,∴ 由已知,, ∴, 又为正三角形,且,∴. ∵,∴. ∴ 即 ∴面 ∴平面平面. (Ⅱ)设中点为,连结 ∵点为线段的中点,∴∥ 由(Ⅰ)知平面. ∴ 平面 ∴

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